La proportionnalité (9) Notion de proportionnalité Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre. x 2 2 + 3 = 5 A objets 2 3 4 5 8 B prix 14 21 28 35 56 x 7 x 2 14 + 21 = 35 7 est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de A à B. 2e ligne 1e ligne

Représentation graphique d’une situation de proportionnalité x y Si x et y sont proportionnels Alors La représentation graphique de y en fonction de x est une droite passant par l’origine. y x O x y Si Les points d’un graphique sont situés sur une droite passant par l’origine Alors Le tableau constitué par leurs coordonnées est un tableau de proportionnalité.

Déterminer une quatrième proportionnelle On donne 3 nombres et on cherche à déterminer un quatrième nombre, dans une situation de proportionnalité. Exemple A 6 9 B 42 x ?  k 6  k = 42 Ou bien D’après l’égalité des produits en croix : x = 9  7 6  x = 9  42 x = 63

Les pourcentages 1/ Appliquer un pourcentage 12% de 300 = 0,12  300 = 36 2/ Calculer un pourcentage C’est un problème de proportionnalité. (calcul d’une 4e proportionnelle) Exemple Dans un collège, il y a 330 filles sur un total de 550 élèves. Quel est le pourcentage de filles dans ce collège ? Proportion de filles = 0,6 = 60% Pour 550 Pour 1 Pour 100

Les échelles L’échelle est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des longueurs réelles aux longueurs sur le plan. Ces longueurs doivent être exprimées dans la même unité. 1/ Cas d’une réduction réalité 10 cm (échelle < 1) Échelle = = 2/10 plan 0,2 2 cm 1/5 Dans cet exemple, les longueurs sur plan sont 5 fois plus petites que les longueurs réelles et inversement les longueurs réelles sont 5 fois plus grandes…

2/ Cas d’un agrandissement réalité 2 cm (échelle > 1) Échelle = = 10/2 plan 5 10 cm 5/1 Pour déterminer l’échelle d’une carte ou d’un schéma, il suffira de calculer le rapport de la plus grande longueur sur la plus petite, longueurs exprimées dans la même unité et de voir s’il s’agit d’une réduction ou d’un agrandissement.

Une longueur de 6 m est représentée par 3 cm sur un schéma. Exemple 1 Une longueur de 6 m est représentée par 3 cm sur un schéma. Calculer l’échelle. REALITE : 6 m Réduction (Échelle < 1) PLAN : 3 cm Echelle = 1 / 200

Exemple 2 Un insecte de 3 mm de long est représentée par 6 cm sur un schéma. Calculer l’échelle. REALITE : 3 mm Agrandissement (Échelle > 1) SCHEMA : 6 cm Echelle = 20 / 1

Agrandissement et réduction d’un triangle Le triangle jaune est un agrandissement du triangle rouge. REMARQUE : Les angles se conservent lors d’un agrandissement ou d’une réduction Introduction pour les élèves

// AM AN MN AB AC BC Informations : M  [AB] N  [AC] et (MN) // (BC) A en commun M = B N = C B M A C N Conclusion : Le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN. Si on appelle k l’échelle pour cet agrandissement, alors : AB = k  AM, AC = k  AN et BC = k  MN Autrement dit, les côtés respectifs sont proportionnels… Côtés du triangle AMN Côtés du triangle ABC AM AN MN  k AB AC BC

FIN Exemple de petit problème : (introduction au théorème de Thalès) On donne : PQ = 16,4 m, QR = 8 m et SP = 4,92 m Calculer ST R Les 2 triangles ont leurs côtés respectifs proportionnels car le triangle (PQR) est un agrandissement du triangle (PST) (mêmes angles) T P Q S Côtés du triangle PST Côtés du triangle PQR 4,92 ST TP 16,4 8 PR ST = 2,4 m FIN