‘Umar Al-Khayyām غياث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نيشابوری

Sommaire Introduction L’homme de sciences Al-Khayyām mathématicien : Les équations du troisième degré Exemple de résolution géométrique d’une équation Al-Khayyām philosophe Conclusion

Tombeau d’Al-Khayyām

Mathématiques Astronomie Médecine Philosophie Sciences naturelles, théologie et météorologie

Ses travaux mathématiques Traité d’algèbre Traité sur la division du quart de cercle Commentaire sur l’œuvre d’Euclide et notamment la théorie des parallèles Traité sur l’extraction de la racine n-ième

Classification des équations du troisième degré Binômes [6] 𝑏𝑥=𝑐 𝑎𝑥²=𝑐 𝑥3=𝑐 𝑎𝑥²=𝑏𝑥 𝑥3=𝑏𝑥 𝑥3=𝑎𝑥² Trinômes [6] 𝑥²+𝑏𝑥=𝑐 𝑥²+𝑐=𝑏𝑥 𝑥²=𝑏𝑥+𝑐 𝑥3+𝑎𝑥²=𝑏𝑥 𝑥3+𝑏𝑥=𝑎𝑥² 𝑥3=𝑎𝑥²+𝑏𝑥 Trinômes [6] 𝑥3+𝑏𝑥=𝑐 cercle-parabole 𝑥3+𝑐=𝑏𝑥 parabole-hyperbole 𝑥3=𝑏𝑥+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑎𝑥²=𝑏𝑥 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑐=𝑎𝑥² parabole-hyperbole 𝑥3=𝑎𝑥²+𝑐 parabole-hyperbole Quadrinômes [7] 𝒙𝟑+𝒂𝒙²+𝒃𝒙=𝒄 cercle-parabole 𝒙𝟑+𝒂𝒙²+𝒄=𝒃𝒙 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑏𝑥+𝑐=𝑎𝑥² parabole-hyperbole 𝑥3=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑎𝑥²=𝑏𝑥+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑏𝑥=𝑎𝑥²+𝑐 parabole-hyperbole 𝑥3+𝑐=𝑎𝑥²+𝑏𝑥 hyperbole-hyperbole

x3 +bx=c Démonstration géométrique de l’existence d’une racine. 𝑏 Soit AB le coté d’un carré d’aire égale à b (AB= √𝑏 ), et soit BC=h la hauteur du solide construit sur le carré et telle que AB².BC=c (BC=h= 𝑐 𝐴𝐵² = 𝑐 𝑏 ) A 𝑏 h=c/b B C

Prolongeons AB jusqu’au point G Prolongeons AB jusqu’au point G. Traçons la parabole HDB de sommet B, d’axe BG et de coté droit AB. Puis le demi-cercle de diamètre BC. Le cercle coupe la parabole en D, soit G et E les projetés orthogonaux de D sur AB et CB. A 𝑏 h=c/b B C E G D

𝑏 h=c/b L’équation de la parabole donne DG²=BG.AB ⇒ AB∗BG DG =DG ⇒ AB DG = DG BG 𝐀𝐁 𝐃𝐆 = 𝐀𝐁 𝐁𝐄 = 𝐷𝐺 𝐵𝐺 = 𝑩𝑬 𝑩𝑮 = 𝑩𝑬 𝑬𝑫 Or BE*EC=ED² ⇒ 𝐵𝐸 𝐸𝐷 = 𝐸𝐷 𝐸𝐶 Donc 𝐴𝐵 𝐵𝐸 = 𝐵𝐸 𝐸𝐷 = 𝐸𝐷 𝐸𝐶 ⇒ 𝑨𝑩² 𝑩𝑬² = 𝐵𝐸 𝐸𝐷 ∗ 𝐸𝐷 𝐸𝐶 = 𝑩𝑬 𝑬𝑪 D’où AB²*EC=BE3 et AB²*EC+AB²*EB=BE3+AB²*EB Donc AB²(EC+EB)=BE3+AB²*EB ⇒ AB²*BC=BE3+AB²*EB A 𝑏 h=c/b B C E G D c b Et on a : BE3+bEB=c La distance EB est donc solution de l’équation x3 +bx=c fixée au début du problème.

𝑏 𝑥² = 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑐 𝑏 −𝑥 (lemme sur la moyenne proportionnelle) Le choix des courbes. 𝑥3 +b𝑥 =c ⇒ 𝑥3=c-b𝑥 ⇒ 𝑥²×𝑥 =b( 𝑐 𝑏 −𝑥)⇒ 𝑏 𝑥² = 𝑥 𝑐 𝑏 −𝑥 𝑏 𝑥² = 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑐 𝑏 −𝑥 (lemme sur la moyenne proportionnelle) P C (P) : x²= y 𝑏 (C) : x²+y²= hx (h=c/b)

Exemple concret. On veut résoudre l’équation x3+4x=16 On à donc AB= 𝑏 =2 ; c=16 ; donc BC=h=c/b=4 (C) : x²+y²= 4x (P) : x²=2y

Bibliographie Livre : Al-Khayyam Mathématicien, R.Rashed et B.Vahabzadeh, 1999 PDF : Note sur le choix des courbes fait par al-Khayyâm dans sa résolution des équations cubiques et comparaison avec la méthode de Descartes, Nicolas Farès Web : Article Wikipédia : Al-Khayyam, Al-Khwarizmi, Avicène, Article Encyclopédie Universalis : Al-Khayyam http://www.cosmovisions.com/Khayyam.htm http://membres.multimania.fr/nahlaonline/accueilKhayyam.htm