Stabilisation d’un équilibre instable Udppc 2014 Stabilisation d’un équilibre instable

Plan Le pendule inversé Les phénomènes gyroscopiques La surface piège Les pièges à particules Le lévitron

Le pendule inversé Equilibre et stabilité du pendule l x P j G g j mg Instable Instable j x G g -p p j mg Stable

Le pendule inversé Stabilisation (aspect qualitatif) q q Mouvement du support Horizontal Vertical Fin = -maS Fin = -maS q q q q mg mg aS aS

Le pendule inversé Stabilisation (aspect qualitatif) Oscillation « rapide » du support Mouvement du pendule : Lent + Rapide Mouvement « rapide » z qL Stabilité si : zS aS P

Le pendule inversé Stabilisation par contrôle l Energies q F z g x G l M P m, IP Equations du mouvement (« petits » angles) x J.L.Lagrange (1736-1813)

Le pendule inversé Stabilisation par contrôle (suite) Ka Capteur uc Moteur F r Ka uc u Amplificateur i u i Convertisseur KT

Le pendule inversé Stabilisation par contrôle (fin) Equation en q Energie potentielle effective Stabilité retrouvée si : Galilée 1564-1642 Ep,ef « Le mouvement rectiligne uniforme est comme nul » q q

Le pendule inversé Stabilisation par oscillation du support l Energies z m, IP q x G g Equation du mouvement l P Oscillations du support « petites » et « rapides » x

Le pendule inversé Stabilisation par oscillation (suite) q qL qR lent rapide qR lent P.Kapitza (1894-1984)

Le pendule inversé Stabilisation par oscillation (fin) Ep,ef Exemple Instable p -p q Ep,ef Stable Exemple

Le pendule inversé Quoi d’autre ? ? Pendule double, triple … Théorème Acheson (N pendules couplés) Modes propes : Stabilité NB Pendule triple

Phénomènes gyroscopiques Toupie dormante Axe quasi vertical z’ z Z a Moment cinétique g g R b G y’ m (A,A,C) l a Mouvement de l’axe OZ mg y O b x x’’

Phénomènes gyroscopiques Toupie dormante (suite) Théorème du moment cinétique Conséquences i) si W = 0 « double instabilité » ! ii) Si W 0 couplage « gyroscopique » NB non dissipatif : Projections

Phénomènes gyroscopiques Stabilisation « gyroscopique » Solutions Stable : p imaginaire , X = p2 réel négatif Système linéaire en a0, b0 Condition de stabilité Equation caractéristique

Phénomènes gyroscopiques Au royaume des jouets … Crayon Toupie Oui ! Non !

Phénomènes gyroscopiques Stabilisation « gyroscopique » Couple gyroscopique Z W Gg,s Gg,p y wx wy x Gyroscope.com

Phénomènes gyroscopiques Au royaume des jouets (suite) Monorail Gyroscope.com L.Brennan A.Gray

Phénomènes gyroscopiques Au royaume des jouets (fin) Bicyclette Principe de la stabilisation active de la bicyclette : Si elle penche à droite, le cycliste tourne le guidon vers la droite. Il apparaît des forces axifuges (dirigées vers la gauche) qui exercent un couple de redressement … Effet gyroscopique ? E.H.Jones A.Gray Vieux jouet (1936) Gyrowheel (2010)

La surface piège Un curieux équilibre O Energie potentielle «creux » « selle » « bosse » z g O bille g (1,1) (-1,-1) g Stable (1,-1) Instable Instable Energie potentielle

La surface piège Stabilisation « gyroscopique » Energie cinétique z W Forces généralisées H M x y Forces d’inertie g Equations des petits mouvements (référentiel tournant)

La surface piège Stabilisation « gyroscopique » (suite) Equations Equation caractéristique Stable : p imaginaire , X = p2 réel négatif Solutions Système linéaire en A,B Condition de stabilité

La surface piège Stabilisation « gyroscopique » (fin) Fréquence de rotation (Hz) Durée de piégeage (s) R.H. Thompson, … Can.J.Phys.80:1433-1448 - Energie potentielle effective maximale en O ! Le frottement détruit la stabilisation gyroscopique ! (stabilité « temporaire » - Kelvin)

Piège à particules Equilibre d’une particule chargée Champ électrostatique Energie potentielle Equilibre en O Stable de même signe Potentiel possible Impossible ! N.B. forces linéaires ! (cf théorème d’Earnshaw)

Piège de Penning Champ électrostatique + champ magnétique Energie potentielle coupelle Equations du mouvement zo F.M.Penning (1894-1953) DC ro anneau coupelle Potentiel quadrupolaire H.G.Dehmelt (né en 1922)

Piège de Penning Stabilité Equation modifiées Equation caractéristique Stable : p imaginaire , X = p2 réel négatif Condition de stabilité Solutions

Piège de Paul Champ électrique variable z Piège 3D Piège 2D W.Paul AC Piège 2D W.Paul (1913-1993) V AC

Piège de Paul Piège 2D Potentiel quadrupolaire Equations du mouvement AC Potentiel quadrupolaire Equations du mouvement

Piège de Paul Piège 2D Champ « rapide » Energie potentielle effective Séparation des mouvements Ep,ef lent rapide Stable x y

Pièges macroscopiques ? Piège de Penning Piège de Paul Possible? Exemple mg Fel Position d’équilibre Condition de stabilité oui non

Lévitron Toupie magnétique toupie Fm S P Plaque de mise en place N Aimant avec trou central

Lévitron Equilibre sur l’axe Toupie magnétique Equilibre (Pe) z Dipôle magnétique Equilibre (Pe) Fm Force magnétique mg Rotation nécessaire pour maintenir la bonne orientation

Lévitron Stabilité… Bz Champ magnétique (divB=0 , rotB = 0) Br z P Pe W « très grand » Force totale Instabilité ! Force magnétique Rotation pas trop rapide pour permettre d’aligner M et B !

Lévitron Stabilité… a2 a1 W « convenable » M et B alignés en sens contraire (cf. diamagnétisme) Force totale a2 Stabilité possible ! a1

Conclusion Des questions ?