II. Circuits du premier ordre II.1. Equation différentielle I. Définition État intermédiaire du circuit entre deux états permanents stables. Ex: Fermeture ou ouverture d’un interrupteur Ex: Appliquer à t=0 un signal II. Circuits du premier ordre II.1. Equation différentielle τdUs(t)/dt +Us(t)=UE(t) Électronique analogique ING3nvx Étude des circuits électriques ING1 1

Étude des circuits électriques ING1 II.2. Réponse à un échelon de tension Soit UE(t)=E US (t)=Aexp(-t/τ) + E Hypothèse : US(0-)= US(0+)=0 =>A=-E US (t)=E(1-exp(-t/τ))=UC(t) T. Gervais Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 III. Transformée de Laplace (TL) III.1 Introduction Transposition des équations différentielles (variables temps) sous formes d’équations algébriques linéaires (variables p). III.2 Définitions Soit f(t) une fonction quelconque, nulle pour t<0 (fonction causale). La transformée de Laplace de f(t) est définie par: F(p) : image de f(t) f(t) original de F(p) : f(t)=L-1[F(p)] Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 Opérateur « indice unité » u(t) U(t)=0 pour t<0 U(t)=1 pour t≥0 f(t)×u(t) => fonction causale L(F(t) ×u(t)) =F(p) L-1(F(p))=f(t) III.3 Exemples Fonction échelon : f0(t)=A.u(t) Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 Fonction exponentielle : f1(t)=Aexp(-at).u(t) Fonction rampe : f2(t)=At.u(t) Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 IV. Propriétés de la transformée de Laplace Multiplication par une constante L(Af(t).u(t))=A.F(p) Somme de deux fonctions L(f1(t)+f2(t).u(t))=F1(p)+ F2(p) Dérivation L(f ’(t).u(t))=p×F(p)-f(0+) Intégration Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 Théorème du retard L(f (t-τ).u(t-τ))=F(p)×exp(-τp) Théorème de l’amortissement L(e-at×f(t).u(t))=F(p+a) Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale V. La transformée inverse V.1 Principe La transformée de Laplace F(p) de la fonction f(t) recherchée est souvent une fonction rationnelle de deux polynômes dont le degré du numérateur est toujours (en électricité…) inférieur à celui du dénominateur Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 Soient pi les pôles de F(p) : si le dénominateur est de degré n, alors F(p) admet n poles et peut être factorisé: Alors F(p), peut être décomposé en sommes de fonctions rationnelles simples: Les coefficients A, B,…N sont appelés les résidus Chaque terme de la somme est la TL d’une fonction exponentielle Étude des circuits électriques ING1

Étude des circuits électriques ING1 V.2 Méthode Il faudra savoir décomposer en éléments simples une fraction rationnelle (ex : méthode par identification) V.3 Impédances symboliques ZR(p)=R ZL(p)=Lp ZC(p)=1/Cp VI Application : réponse d’un circuit RC à une impulsion rectangulaire Calculez Uc(t) en supposant C déchargé à t=0? Étude des circuits électriques ING1