formation des images école thématique CNRS « reconstruction d’images » Nice 18 juin, Fréjus 19-22 juin 2012 formation des images Yves Rabbia, UMR Lagrange, rabbia@obs-azur.fr

formation des images : le plan préambule lumière : deux descriptions images : deux visions (parmi d’autres) formation : 1.5 approche(s) optique géometrique / optique diffractive optique géométrique : limites optique diffractive phénoménologie basiques de la théorie machinerie algébrique des « outils » : ( jargon : PSF, MTF) exemples ( presque « au niveau du vécu »)

Lumière, une definition, deux modèles Lumière : phénomène de transport d'énergie deux descriptions intuitives pour ce transport rayons energie portée le long des rayons issus d’une source (empirique, pas de physique en soutien) front d'énergie l’energie emise par la source est portée par le front d’energie, elle se dilue dans l’espace en s’eloignant de la source modèle physique : onde electromagnetique expression typique en un point P de l’espace modelisation en partie incorrecte mais convenable pour notre propos V(t) t f A

synthèse des descriptions intuitives rayon l’énergie est portée par les fronts dilution en 1/dist^2 energie collectée collecteur surface S, distance d collecteur source front d’énergie les rayons sont localement normaux aux fronts d'energie théorème de Malus ils illustrent la direction de propagation de l'énergie portée par les fronts

images : deux aspects optique : distribution d’intensité lumineuse ou ensemble de « points lumineux » traitement du signal : distribution d’intensité lumineuse échantillonnée : ensemble de « pixels » et/ou tableau de nombres 0000000 1110111 1111111 0011100

approche géométrique de la notion d'image mot-clef : conjugaison point à point objet = ensemble de points lumineux (points "objet") point objet = origine d'un faisceau divergent situation idéale : stigmatisme, l'image d'un point est un point. le système transforme le faisceau divergent en un faisceau qui converge vers UN point appelé image du point objet image de l'objet : ensemble des points images Problème : C’EST QUOI PHYSIQUEMENT UN POINT ? hors situation idéale : il n'y a plus stigmatisme les directions des rayons en sortie ne se rencontrent pas en un seul point on parle alors d'aberrations

en passant : resolution and resolution detector resolution : large number of pixels is not the point what counts for the astronomer is the size of pixels over the sky and this depends on the instrument (including observing conditions) one resel may cover several pixels on the detector pixel on the sky jargon : resel, resolution element

optique géométrique : quick-look 01 (souvenirs, souvenirs, .....) notions et outils basiques rayons, dioptre*, indice optique lois de Snell-Descartes : reflexion, refraction incident réfléchi i i ' r n réfracté sin i = sin i’ sin i = n sin r emploi : tracé de rayons position et grandeur des images données par le système optique * dioptre ( grec "dioptrion" : voir à travers) = surface de séparation entre deux milieux d'indices différents, s'applique aux miroirs par extension sémantique n1 n2 dioptre sphérique plan

tracé de rayons : exemples simples, académiques objet d image d' usage de rayons remarquables usage itéré de sini = n sin r

tracé de rayons : exemples ingénierie optique de nos jours c'est fait avec des logiciels d'ingénierie OSLO, ZEEMAX, Code V, ASAP, .......

l’approche geometrique ne parle pas de formation d’image ! le tracé de rayons permet d'avoir une description précise mais partielle et discrète par la distribution des impacts de rayons dans l'image (spot diagram) 40 mm 10000 mm on obtient des details structurels (aberrations), mais on n'a pas accès de façon fondamentale (physique) à la distribution d'énergie pourquoi ? l’approche geometrique nous parle de position, grandeur et aberrations mais pas du processus physique qui decrit la formation de l’image

l'optique géométrique ne restitue pas la distribution d’energie détaillée dans les images. Pourquoi ? parce que ! diffraction ! !

diffraction_ phenomenologie l'experience montre que ce n'est pas le cas et cela independament des histoires d’aberrations et même si le stigmatisme est assuré pour l'optique géométrique (stigmatique) l'image d'un point devrait être un point S S' image système optique objet la distribution obtenue avec un point source à l’infini est la Fonction d’Etalement du Point (FEP) ou Point Spread Function (PSF) axe optique point source à l’infini x r avec une ouverture circulaire c’est la tâche d’Airy

diffraction : basiques de la théorie _ 1 modèle ondulatoire  lumière = onde progressive expression typique modelisation incorrecte mais convenable pour notre propos V(t) t f A A : amplitude, liée à l’energie transportée pendant t : frequence de l’oscillation ( couleur) f : phase de l’onde, c’est quoi physiquement ? temps distance c r t0 S P phase : elle traduit un decalage temporel versus onde de reference n = indice refraction

diffraction_ basiques de la théorie _ 2 la phase decrit les avatars du front d’onde la traversée d’un milieu materiel d’indice « n » induit un trajet « n.r » plus grand que « r » d’où un retard qui se traduit par une deformation du front d’onde cette deformation est decrite par la phase e f1< f2< f3 n1< n2< n3 n1 n2 n3 x

diffraction_ basiques de la théorie _ 3 amplitude complexe pour une longueur d’onde donnée, le facteur « exp(i2pnt) » est commun à tous les points de l’espace recevant la lumière de la source. Ce facteur n’intervient pas dans la distribution spatiale de l’energie. on a vu une expression frequente decrivant l’onde electromagnetique Le facteur qui intervient pour la formation de l’image est celui qui porte la fonction de phase de l’onde et traduit algébriquement les avatars du front d’onde en chaque point, on l’appelle amplitude complexe exemple dans le vide n=1 illustration au cours de la propagation la phase augmente proportionnellement au trajet parcouru ( le vecteur de Fresnel qui decrit y dessine une hélice) Im (y) r(x,y,z) l Re (y) y phase Re Im

diffraction_ basiques de la théorie _4 onde spherique / onde plane onde sphérique déjà vu : intuitif S P(x,y,z) r formulation mathematique : facteur 1/r sur l’amplitude pour exprimer la dilution de l’energie en 1/r2 onde plane evolution de l’onde sphérique quand r devient très grand x,y z front d'onde la dilution n’apparait plus sur un trajet local dr (r+dr  r) la phase est constante dans un plan transversal en z

diffraction_ la machinerie algébrique _ 01 c’est l’optique de Fourier point–clef 1 : amplitude complexe : OK on a vu Qn Qk P rn rk point-clef 2 : principe de Huyghens Fresnel : chaque point Qn d'une distribution d'amplitude émet une onde sphérique Ces ondes sphériques sont toutes synchrones (Huyghens) leurs différences de phase se conservent au cours du temps (Fresnel). L'onde reçue en un point P distant est la somme (pondérée) de ces ondes sphériques (principe de superposition) addition des amplitudes complexes, dont la phase porte le trajet parcouru de Qn à P

diffraction_ la machinerie algébrique _ 02 regles du jeu fondatrices z y x h espace de travail standard 0. lumiere = onde electromagnetique (vecteur champ electrique) approximation scalaire : polarisation ignorée (aspect vectoriel ignoré) approximations de Fresnel : dimensions transversales >> l Dy,Dh,Dx,Dy >> l distances axiales >> distances transversales Z >> x,y,x,h conditions paraxiales (Gauss) faisceaux peu ouverts et peu inclinés sur l’axe

diffraction_ la machinerie algébrique _ 03 exploitation des points-clef si je connais la distribution d'amplitude dans le plan x,h situé à la côte « z » je peux calculer la distribution d'amplitude en chaque point du plan x,y, situé à la côte (z+Z) z y x h P et comment je fais ça ? par une somme pondérée des amplitudes reçues en P chacune exprimant une onde sphérique V(Qn) issue de Qn et portant le chemin r qui dépend des Qn (d'où x et h) et de P (d'où x et y) attention : pour un seul point P, on a besoin des amplitudes de tous les Qn x,y z x,h r(x,h , x,y ) Qn P naïvement on arrive alors à :

diffraction_ la machinerie algébrique _ 04 ça se complique (pas longtemps) on part de l’expression on peut étendre à une somme continue z y x h P V(x,h) c’est l’amplitude qui sort en (x,h) et qu’est ce qu’on fait avec le poids ?? le travail a été fait par Fresnel, Kirchhoff et Helmoltz : considérations mathématiques et physiques et nos approximations avec une amplitude incidente y(x,h) et une transmission pupillaire T(x,h) ça donne :

diffraction_ la machinerie algébrique _ 05 ça redevient presque humain on explicite r(x, h,x,y) (Pythagore) z y x h pupille diffractante transmission T(x,h) écran d'observation onde incidente x,y yZ(x,y) et avec x,y,x,h << Z on a : par suite : pas belle la vie ?? et c’est pas fini le bonheur

diffraction_ la machinerie algébrique _ 06 quelques manipulations cette formulation est horrible, et fait mal à la tête (même pour des matheux ??) pour plus de convivialité  il est interessant d’exhiber son architecture ce qui s’ecrit aussi explicitons : Machin = amplitude complexe sortant de l’ecran diffractant Truc = exponentielle complexe quadratique exprimant un effet de phase au point (x,y) induit par l’addition des ondes issues de l’ecran diffractant. C’est une sorte d’operateur, transformateur de phase (voir manips claude) on note DZ(x,y) et on appelle operateur propagation de Fresnel le produit coeff x truc, et on a

diffraction_ la machinerie algébrique _ 07 autre approche pour yZ(x,y) y(x,y) = amplitude arrivant sur l’ecran diffractant avec source ponctuelle à l’infini et sur l’axe on a y(x,h) = A (onde plane) maintenant on developpe l’integrand horrible, mais là encore on reconnait une architecture familiere c’est la Transformée de Fresnel de T(x,h)

diffraction_ la machinerie algébrique _08 on peut reconnaitre la physique qui est derriere la formule ici on voit que la phase évolue avec la distance entre la pupille diffractante et le plan d'observation là c'est la dilution de l'énergie avec la propagation des ondes spheriques l'integrale, c'est la TF de cette fonction et les facteurs exponentiels à phase quadratique ??

diffraction_ la machinerie algébrique _ 09 facteurs de phase quadratique ? à deux dim ça fait la clef est : écart entre sphère et plan tangent x h(x) rayon R il s'agit de voir la physique portée par les facteurs z x,y x,h r =z+h, le "h" se manifeste (pour les deux plans) dans la phase 2p.chemin/l d'où

diffraction_ la machinerie algébrique _ 10 la transformée de Fresnel c'est bien, mais ce n'est pas très gracieux. Heureusement il y a un coup magique parachuté : la transmission complexe d'une lentille de focale F s'exprime par : si l'écran d'observation est à la distance F de l'écran diffractant et si derrière l'écran diffractant (pupille) on place une lentille mince de focale F, la transmission résultante sera G(x,h ) = T(x,h).LF(x,h) Ainsi dans le plan à la distance F on aura l'amplitude complexe ce qui se réduit à la TF de T(x,h) aux points (x/lz, y/lz) En définitive , on a :

diffraction_ la machinerie algébrique _11 résumé connaissant l'amplitude complexe sortant d'une ouverture diffractante, placée en « z » je sais calculer l'amplitude complexe en tout point d'un plan situé en « z+ Z » sur l'axe de propagation pour cela deux approches possibles convolution avec l'opérateur propagation transformée de Fresnel si j'ajoute une lentille de focale F et que j'observe à la distance F la transformée de Fresnel se réduit à une transformée de Fourier (avec les variables conjuguées qui vont bien) et si l'onde incidente n'est pas plane ? la forme du front d'onde se traduit par une fonction de phase qu'on inclut dans la transmission de l'écran diffractant

diffraction_ la machinerie algébrique _12 résumé pictorial Z x y h z Fresnel pur jus (juste la pupille) ou aussi h Fourier (foyer lentille) y x x ou aussi z F

diffraction_ la machinerie algébrique _ 12 source ponctuelle sur l’axe et à l’infini : l’intensité observée au plan focal est la réponse à un Dirac autrement dit la réponse impulsionnelle pour la pupille considérée infini pupille lentille focale F onde incidente reponse impulsionnelle note : la pupille n’est pas forcément connexe

illustration : observables exemples de reponses impulsionnelles on va en calculer deux

illustration : le montage utilisé pour voir des reponses impulsionnelles pupille diffractante pupille d’entrée d’un instrument

pupille circulaire, diamètre D, longueur d’onde l x h y r x h q x y le premier zero de J1 est à Z= 3.83 (c'est comme ça , c'est les maths) distance à l'origine du premier zero : q0 x q0

deux ouvertures circulaires, diamètre D, separation B h y l/D l/B x

source ponctuelle , à l’infini, hors d’axe x,h phase en x = phase liée à l'inclinaison de la surf d'onde (plane) amplitude sortant de la pupille x a amplitude au foyer intensité observée z x,y x,h I(x,y) a0 F simple translation selon x la PSF (reponse impulsionnelle) n’est pas modifiée

diffraction_ la machinerie algébrique _ 13 on a vu : reponse impulsionnelle (PSF) invariante par on pense à filtrage linéaire et relation entrée sortie avec h = reponse impulsionnelle et ici relation objet-image relation objet-image_ 01 r(t) = s(t) * h(t) I(x,y) = O(x,y) * R(x,y) illustration au niveau du vecu sur le ciel : image objet PSF : R

ak derivation (une variable): diffraction_ la machinerie algébrique _ 14 derivation (une variable): objet = collection de diracs ponderes par la brillance locale relation objet-image_ 02 image = collection de reponses aux diracs ponderes R(x,y) = ak et on peut la jouer en somme continue

diffraction_ la machinerie algébrique _ 15 fonction de transfert_ 01 relation objet-image I(x,y) = O(x,y) * R(x,y) c’est la description de l'image dans l'espace des coordonnées en optique R(x,y) = Point Spread Function (fonction d'étalement du point) fonction de transfert c’est la description dans l'espace des frequences spatiales : un coup de TF = fonction de transfert = TF de la réponse impulsionnelle elle quantifie comment sont transmises les frequences spatiales presentes dans l’objet ( spectre spatial Ô(u,v) ) spectre objet (source) fonction de transfert spectre image (transmis) freq spat

q0 x diffraction_ la machinerie algébrique _ 16 fonction de transfert_ 02 optique de Fourier : PSF = TF(pupille) 2 fonct. de transfert = TF(PSF) = TF(TF(pupille) 2) ce qui nous ramène (en gros) à : fonct. de transfert = pupille  pupille (Parseval-Rayleigh) exemple : lunette ou telescope sans obstruction centrale transmission = fonction camembert PSF : Airy pattern x q0 u +D/l -D/l 1

^ diffraction_ la machinerie algébrique _ 17 fonction de transfert_ 03 exemple à 1 variable : 1 x D P( x/D) l/D l P(u) l2 ^ a u +D/l -D/l 1 frequence de coupure D/l il y a reduction du contenu en frequences du spectre spatial de l’objet les hautes frequences (fins details ) sont perdues : le systeme est un filtre passe-bas

u diffraction_ la machinerie algébrique _ 18 fonction de transfert_ 04 comment on s’en sert ??? u +D/l -D/l 1 exo : quelle fréquence spatiale de l'objet sera transmise avec un gain 0.5 pour un télescope de 10 m, utilisé à 5 µm ? réponse : D/2l = 1million. Un million de quoi ? patate ! de cycles / radian , on dit aussi rad-1 1 u D/l D/2l c'est quoi cette histoire de radian-1 ? et quel rapport avec la pupille ? pupille diamètre D, lobe : l/D angle en radian, frequence u = 1/lobe en rad-1 = D/l ca indique combien de l/D dans un radian 1 rad l/D D

deux remarques importantes z y x h deux remarques importantes remarque 1 : la relation objet-image ne suppose rien sur la forme de la pupille celle-ci peut être diluée (domaine non connexe) remarque 2 : la convolution dans la relation objet-image implique que la reponse impulsionnelle (reponse à un dirac) est invariante par translation (décalage hors d'axe) si tel n'est pas le cas, la relation de convolution n'est pas valide on ne devrait pas parler de fonction de transfert en optique cette contrainte fixe le domaine d’isoplanetisme domaine angulaire, dans lequel la fonction de transfert ne depend pas de la direction de pointage

diffraction_ la machinerie algébrique _ 19 fonction de transfert_ 05 autre exemple de fonction de transfert pupille à deux ouvertures circulaires (derivation à une variable) D’abord la PSF x h y F P(x) x D B l/D l/B a

illustrations réalisées pendant l’école_01 source = bille chromée éclairée par le soleil instrument = telescope, masque à deux ouvertures, systéme dispersif (réseau) webcam, ordinateur

illustrations réalisées pendant l’école_02 à compléter par images de PSF avec manip d’Eric

diffraction_ la machinerie algébrique _ 20 fonction de transfert_ 06 l/D l/B a fonction de transfert = TF de la PSF encore un peu d’algebre 1 1/2 u D/l B/l illustration : avec ce montage on peut sonder des frequences spatiales gouvernées par la separation B des ouvertures bien superieures à la frequence de coupure D/l liée à une ouverture.

résumé / conclusion l’approche « optique géométrique » est très utile en ingénierie optique mais elle ne donne qu’une information discrete et partielle sur l’image formée et sur ses aberrations s’il y a lieu l’approche « diffractive » permet d’avoir une description analytique plus détaillée et plus complète, produisant une fonction continue pour décrire la distribution d’intensité lumineuse qui forme l’image elle utilise le formalisme de la Transformée de Fourier très connu et très commode et qui permet de rattacher l’analyse la formation de l’image à des outils courants dans le domaine du traitement du signal (en particulier la notion de Fonction de Transfert)

une pause qqs secondes pour récupérer

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