P rogrammation M athématique L inéaire TAI Optimisation & Complexité Adeline Dubois Nicolas Hubert Antonin Lapiche 28/05/2010
Programmation Mathématique Linéaire Méthode du simplexe pour résoudre des PML Test du programme PML paramétrée
Ecriture de la forme standard d’un PML Prenons l’inégalité : Contrainte d’inégalité ≤ Contrainte d’inégalité ≥ Contrainte d’égalité =
Ecriture de la forme standard d’un PML Fonction économique Γ : critères de Dantzig Fonction économique Γ : critères de Dantzig Recherche d’un maximum Recherche d’un maximum VE : coefficient le plus grand positif dans Γ VE : coefficient le plus grand positif dans Γ VS : coefficient positif le plus petit dans R’ VS : coefficient positif le plus petit dans R’ Recherche d’un minimum Recherche d’un minimum VE : coefficient le plus négatif dans Γ VE : coefficient le plus négatif dans Γ VS : coefficient positif le plus petit dans R’ VS : coefficient positif le plus petit dans R’
Ecriture de la forme standard d’un PML
Tableau (T0) du simplexe : Tableau (T0) du simplexe : 1 er critère de Dantzig : x 2 1 er critère de Dantzig : x 2 2ème critère de Dantzig : t 1 2ème critère de Dantzig : t 1 Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } T0x1x1 x2x2 t1t1 t2t2 t3t3 e3e3 RR’ t1t t2t t3t Г
Ecriture de la forme standard d’un PML Base non optimale changement de base Base non optimale changement de base Variable entrante : x 1 // Variable sortante : Variable entrante : x 1 // Variable sortante : Nouveau tableau (T1) après pivot sur les lignes : Nouveau tableau (T1) après pivot sur les lignes : 1 er critère de Dantzig : x 2 // 2ème critère de Dantzig : t 1 1 er critère de Dantzig : x 2 // 2ème critère de Dantzig : t 1 Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } T1x1x1 x2x2 t1t1 t2t2 t3t3 e3e3 RR’ x2x2 1/ t2t2 4/301/ t3t3 5/30-1/30100 Г 10/30-20/
Ecriture de la forme standard d’un PML Base non optimale changement de base Base non optimale changement de base Variable entrante : x 2 Variable entrante : x 2 // Variable sortante : t 3 Nouveau tableau (T2) après pivot sur les lignes : Nouveau tableau (T2) après pivot sur les lignes : Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } T2x1x1 x2x2 t1t1 t2t2 t3t3 e3e3 RR’ x2x2 01¼-1/4001 x1x1 101/43/4003 t3t3 00-3/4-5/41-5 Г 00-15/2-5/200-50
Ecriture de la forme standard d’un PML Coûts réduits des variables de base négatifs ou nuls Solution optimale Coûts réduits des variables de base négatifs ou nuls Solution optimale Bénéfice maximal : 50 avec 3 articles A 1 et1 article A 2 Bénéfice maximal : 50 avec 3 articles A 1 et1 article A 2
Test du programme
PML paramétrée Test à effectuer sur chaque paramètre Test à effectuer sur chaque paramètre Dans notre cas : Dans notre cas :
Paramètre P 1 On remplace P1 par : On remplace P1 par : Après développement on a: Après développement on a:
Valeurs critiques 2 valeurs critiques : 2 valeurs critiques : 2 cas d’optimisation en fonction de lambda: 2 cas d’optimisation en fonction de lambda:
1 er cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:
2 nd cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:
Revenu optimal
Paramètre P 2 On remplace P2 par : On remplace P2 par : Après développement on a: Après développement on a:
Valeurs critiques 2 valeurs critiques : 2 valeurs critiques : 2 cas d’optimisation en fonction de lambda: 2 cas d’optimisation en fonction de lambda:
1 er cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:
2 nd cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:
Revenu optimal
Q&R