Signal multi-échelles, ondelettes Module Le Signal Géophysique, DEA de Géophysique Interne cours du 5 nov. 2003 (Intervenant : Pascal Sailhac) Propriétés des objets géophysiques : Complexes, bruités et multi-échelles Géophysicien Outils de traitement : Fractals, Chaos, & Ondelettes

Introduction   Objectifs Méthodes Des méthodes multi-échelles sont nécessaires à l’interprétation et au traitement des données géophysiques Objectifs Méthodes Fractals et géostatistiques Chaos déterministe Ondelettes continues Inversion multigrille et discrètes  1) Interprétation / Analyse 2) Accélérateur de traitement et d’inversion de données, débruitage, archivage 

Introduction Applications Des méthodes multi-échelles sont nécessaires à l’interprétation et au traitement des données géophysiques Applications 1) Applications à l’interprétation et l’analyse Réseaux de failles et fractures Fluctuations temporelles (magnétisme, gravimétrie, etc.) Divers phénomènes non stationnaires dans le temps et l’espace Nécessité de filtrer des bruits de divers origines et dynamique, de nature non stationnaire (avec des fenêtres fréquentielles dépendant du temps ou du lieu) Nécessité de gérer des gros volumes de données (passage de données en coupe 2D à des volumes 3D et à la 4D) Ondes sismiques et géoradar (caractères des sources et atténuation du sous-sol) Electromagnétisme basse fréquence (impédance non stationnaire pour le monitoring) Données de potentiels (profondeurs et formes des sources gravi, mag, PS…) 2) Application au traitement des données

Points abordés aujourd’hui Fractals et chaos déterministe (Rapidement) Ondelettes continues 1. Principales notions autour du cas de fluctuations temporelles en géomagnétisme 2. Application sur des données sismiques en forage A. Théorie A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier A.2 Limitation : superposition de fonctions oscillantes, non oscillantes et transitions A.3 Représentations Temps-Fréquence et spectres d’énergie instantané A.4 Ondelettes A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.4.2 Scalogramme et spectre local A.4.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion) A.4.4 A N-Dimensions : Ondelettes tensorielles B. Exemples d’applications géophysiques B.1 Sismique B.2 Illustrations numériques simples avec Matlab B.3 Champs de potentiels

Fractals et chaos déterministe 1. Principales notions autour du cas de fluctuations temporelles en géomagnétisme Approches non linéaire et multifractale du champ géomagnétique. L. Hongre, P. Sailhac, M. Alexandrescu et J. Dubois, Phys. Earth Plan. Int. (1999), 110, 157-190 Extraits du résumé (traduit) : L'analyse multifractale nous fournit une caractérisation de l'énergie d'échelles du processus tandis que l'exposant de Lyapunov donne une autre mesure statistique de la stabilité de la dynamique. Les analyses non linéaires et multifractales ont été finalement appliquées aux valeurs moyennes horaires du champ magnétique enregistré à l'observatoire d'Eskdalemuir (ESK) pendant 79 years (692,520 points de mesure pour chaque composante). La corrélation entre l'activité solaire (le nombre de Wolf), la nature instable du champ magnétique, et le spectre des singularités, précisent le forçage des cycles solaires sur la dynamique du champ magnétique à l'observatoire ESK.

Fractals et chaos déterministe Données du champ magnétique à l'observatoire ESK : La figure ci-dessous montre la composante vertical Z et son spectre de Fourier. On y retrouve les principales périodes connues pour les influences externes et internes, essentiellement associées à la rotation de la Terre, la variation du pôle de rotation, et à celle du pôle magnétique.

Fractals et chaos déterministe Forçage des cycles solaires sur la dynamique du champ magnétique à l'observatoire ESK : La figure ci-dessous montre les spectres des régularités et l'activité solaire (associé à la surface des taches solaires). La valeur moyenne H0, calculée pour des périodes de deux ans, tracées en noir, prouve que le comportement principal est semblable à un mouvement brownien fractionnaire avec l'exposant H0 d'environ 0,6. Connexion vers le pdf

Fractals et chaos déterministe 2. Application sur des données sismiques en forage Quelle classe de distributions suivent les coefficients de réflexion du réservoir de Gullfaks? Caractérisation statistique et modélisation. P. Sailhac et S.E. Ryan-Grigor, 28 août 1998, Schlumberger Report: SCR/SR/1998/031/RES/U Extraits du résumé (traduit) : Nous avons analysé l'hétérogénéité de l'impédance acoustique mesurée dans des puits verticaux du réservoir de Gullfaks (Mer du Nord), avec l'objectif de caractériser des environnements de sédimentation particuliers. L'analyse a été réalisée par la statistique des coefficients de réflexion calculés comme les incréments du logarithme de l'impédance. Ces incréments sont définis pour une certaine différence de profondeurs, et leur comportement avec cette différence a des caractères d'invariance d'échelles. La nature de la probabilité de distribution (PDF) des coefficients de réflexion a été étudiée par ajustement à un modèle de distribution Lévy-stable présentant des largeurs caractéristiques CL fonctions de l’échelle L. A Gullfaks, il modélise bien les petites échelles en dessous du mètres, et donne des exposants d'échelles H caractérisant la stabilité des lithologies dans l'environnement de sédimentation. Connexion vers le pdf

A. Ondelettes Continues : Théorie A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier A.2 Limitation : superposition de fonctions oscillantes, non oscillantes, et transitions Oscillantes : fi(x)=cos(2puix)  Ei(u)=d(u-ui)/4 f(x)=f1(x)+f2(x)  E(u)=E1(u)+E2(u) Transition : f(x)=f1(x)H(-x)+f2(x)H(x)  E(u)≠E1(u)+E2(u) compléments avec textes et équations !

A.3 Temps-fréquence et spectre d’énergie instantané Domaine de Fourier ou des Fréquences T=2p/f même frequence partout Domaine Temps-Fréquence ou Position-Echelle Résolution temps-fréquence

A.4 Ondelettes A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles

A.4 Ondelettes   A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.4.2 Scalogramme et spectre local A.4.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion)  A.4.4 A N-dimensions (cartes, blocs 3D, 4D) : Ondelettes tensorielles  Décompositions position-échelle-angles d’Euler (Pour une carte: décomposition position-échelle-azimut)

C. Illustrations numériques simples sur Matlab Lancer Matlab, puis dans le répertoire “OndelettesMontréal”, taper “TestSignaux” Il s’agit d’un script éducatif initialement réalisé pour un cours donné à l’Ecole Polytechnique de Montréal en février 2000. Il permet de calculer les spectres de Fourier de différents signaux, et de les comparer à la transformée en ondelette calculé avec l’ondelette de Cauchy.

B.1 Application en sismique Représentation des sources sismiques (sweep/chirp) Source ‘‘propre’’ Source + harmoniques (d’après Li et al., Geophysics 60, 1995, 501-516)

Caractérisation des traces sismiques Vosges Temps (s) 30 40 Fréquence Fossé Temps (s) 30 40 Fréquence (d’après J. Pi Alperin, DEA 2000, EOST)

B.2 Application aux champs de potentiel Wavelet Domain Aeromagnetism Magnetic Signature of Dikes Magnetic Signature of a Fault Geology Green Belt (sandstone, quartzite,…) Mainly Acid Plutonism (~granodiorite)

Ondelettes de Poisson (potentiel multipolaire) 1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in x 1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in x General expression of 2D wavelets of order g = Sgi are obtained by Convolution of oblic derivatives in directions qi and upward continuation: Oblic derivations Upward continuation

Inversion au 1ier ordre : Sources homogènes (lois d’échelles en puissance) Examples of local homogeneous source of simple degree a (-3,-2,-1, or 0) Point, a=-3 Horizontal line, a=-2 Vertical line, a=-2 Vertical strip, a=-1 Vertical step, a=0 Definition of homogeneous source s:

TO de la composante verticale de la pesanteur causée par des sources homogènes Wavelet domain of local homogeneous sources analysed using Point, a=-3 Horizontal line, a=-2 Vertical line, a=-2 Vertical strip, a=-1 Vertical step, a=0 Lines of modulus maxima converge to homogeneous sources

1ier ordre : TO suit des lois d’échelles en puissance Point, a=-3 Horizontal line, a=-2 Vertical line, a=-2 Amplitude-altitude decrease law: Vertical strip, a=-1 Vertical step, a=0 Normalised wavelet coefficient

1ier ordre : TO suit des lois d’échelles en puissance Point, a=-3 Horizontal line, a=-2 Vertical line, a=-2 Amplitude-altitude decrease law: Normalised wavelet coefficient Source depth Source intensity factor Source geometric factor related to a [here: b = a-1 = -(N+2). ]

Application minière sur les levés aéromagnétiques Altitude Pente = caractéristique de la géométrie de la source Loi d’échelle en puissance le long de la ligne rouge (à l’aplomb d’une cheminée de kimberlite) Altitude + Depth

2nd ordre : Question des sources étendues Modulus maxima lines are not straight Scaling law does not follow a single power law for all scales

2nd ordre : Nouveaux termes dans les lois d’échelles pour les sources étendues Examples of extended source having simple multipolar expansion: z y Dx Dy Dz x New scaling law of wavelet modulus maxima: New term for extended sources

2nd ordre : Une source étendue contribue dans le développement multipolaire Newtonian potential caused by extended source with variable density: Continuous sum of poles Same potential in multipolar expansion: Discrete sum of multipoles Strength of each multipole of order l:

2nd ordre : Formules du cas d’un ellipsoïde Example of triaxial ellipsoid analysed using horizontal wavelets : New term depending on azimuthal angle j First term of local homogeneous source, similar to that of a small local sphere obtained by Hornby et al. (1999) Expansion is for large values of

Bibliographie (1) Ouvrages de références Benoit Mandelbrot, 1975, Les objets fractals, Flammarion, Paris. Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe, 1988, The science of fractal images, Springer- Verlag, Bremen Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics Donald L. Turcotte, 1992, Fractals and chaos in geology and geophysics, Cambridge Univ. Press Claude Tricot, 1993, Courbes et dimensions fractale, Springer-Verlag, Paris. Marie Farge, Julian Hunt & J. Cristos Vassilicos, 1993, Wavelets, fractals and Fourier transforms: New developments and new Applications, Clarendon Press, Oxford. Efi Foufoula-Georgiou & Praveen Kumar, 1994, Wavelets in Geophysics, Academic Press, San Diego. Jacques Dubois, 1995, La dynamique non linéaire en physique du globe, Masson, Paris. Bruno Torrésani, 1995, Analyse continue par ondelettes, InterEditions, CNRS Editions, Paris. Matthias Holschneider, 1995, Wavelets, an analysis tool, Clarendon Press, Oxford. Wolfgang Dahmen, Andrew J. Kurdila & Peter Oswald, 1997, Multiscale Wavelet Methods for Partial Differential Equations, Academic Press. Stéphane Mallat, 1997/99, A Wavelet tour of signal processing, Academic Press, San Diego.

Bibliographie (2) Articles récents Decomposition of vibroseis data by the multiple filter technique. Li, X.-P. (1997). Geophysics 62, 980-991. Enhancement of signal-to-noise ratio in natural-source transient magnetotelluric data with wavelet transform. Zhang, Y., and K. V. Paulson (1997). Pure appl. geophys. 149, 405–419. Rapid construction of equivalent sources using wavelets. Li, Y., and D. W. Oldenburg (1999). SEG expanded abstract, paper 0167, 4 pp. Identification of sources of potential fields with the continuous wavelety transform: Complex wavelets and application to aeromagnetic profiles in French Guiana. Sailhac, P., A. Galdeano, D. Gibert, F. Moreau, and C. Delor (2000). J. Geophys. Res. 105, 19455-19475. Characterization of geological boundaries using 1-D wavelet transform on gravity data; Theory and application to the Himalayas. Martelet, G., P. Sailhac, F. Moreau, and M. Diament (2001). Geophysics 66, 116-1126. Analytic potentials for the forward and inverse modeling of SP anomalies caused by subsurface fluid flow. Sailhac, P., and G. Marquis (2001). Geophys. Res. Lett. 28, 1851-1854. Identification of sources of potential fields with continuous wavelet transform: application to VLF data. Boukerbout, H., D. Gibert, and P. Sailhac (2003). Geophys. Res. Lett. 30, doi:2003GL016884.

Bibliographie (3) Thèses Douzi Hassan, 1992, Construction de bases multi-échelles et application à l’estimation des paramètres en sismique, Univ. Paris 9. Fatimetou Mohamed-Salek, 1994, Inversion sismique par une méthode multi-échelles, Univ. Paris 9. Frédérique Moreau, 1995, Transformée en ondelettes de mesures géophysiques, Géosciences Rennes. Guy Ouillon, 1995, Application de l’analyse multifractale et de la transformée en ondelettes anisotropes à la caractérisation géométrique multi-échelle des réseaux de failles et de fractures, Univ. Nice-Sophia Antipolis/BRGM. Felix J. Herrmann, 1997, A scaling medium representation, a discussion on well logs, fractals and waves, Delft Univ. Technology. Pascal Sailhac, 1999, Analyse multiéchelles et inversion de données géophysiques en Guyane Française, Institut de Physique du Globe de Paris. Clément Narteau, 1999, Sur l’utilisation de systèmes hiérarchiques et de processus stochastiques en géophysique, Univ. Paris 7. Philippe Gaillot, 2000, Ondelettes continues en Sciences de la Terre - Méthodes et applications, Univ. Toulouse 3. Marc Pessel, 2001, Tomographie électrique multiéchelles, Géosciences Rennes. Divertissement Jouer et analyser des thèmes musicaux issus de l’ensemble de Mandelbrot : http://www.fin.ne.jp/~yokubota/mandele.shtml