Statique des poutres Linéaires Dr J Statique des poutres Linéaires Dr J. Morlier Illustrations tirées de Mechanics of materials Texas Tech University, Lecture notes J walt Oler http://homepages.ulb.ac.be/~rfilomen/teaching.html http://www.civil.uwaterloo.ca/brodland/teaching/movies.asp http://www.netprof.fr/Mecanique/Tous-les-cours-en-video,36,0,0.aspx

I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques

Hypothèses de la RDM

Hypothèses sur les déplacements Hypothèses de Bernouilli Toute section droite avant déformation reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne déformée.  les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchissement). L'hypothèse de Bernoulli permet de négliger le cisaillement dans le cas de la flexion : le risque de rupture est alors dû à l'extension des fibres situées à l'extérieur de la flexion, et la flèche est due au moment fléchissant

I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques

Pour étudier les poutres, on met en relation les efforts de cohésion avec les efforts extérieurs ; les efforts de cohésion avec le tenseur des contraintes, grâce au principe d'équivalence ; le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la loi de Hooke généralisée ; et la forme finale de la poutre, c'est-à-dire le champ des déplacements, avec le champ de tenseur des déformations.

le Principe Fondamental de la Statique donne : Équations d ’équilibre global ez ey ex A B C D le Principe Fondamental de la Statique donne :

Principe de la coupe : transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs

Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques, définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité du problème (on reste en petites déformations), on peut considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une seule sollicitation simple. Pour les sollicitations complexes, on somme les contraintes de toutes les sollicitations simples (principe de superposition).

I. Définition II. Approche RDM (exemples) III. Théorèmes énergétiques

Exemple 1: Réactions

Exemple 2: cisaillement

Exemple 3: Flexion

Exemple 4: système isostatique

Diagramme NTM On part en A de M=0 Puis en C bras de levier:M=2*2kN Puis en B: M=2kN*4 -4kn*2=0

Zone 2: Pour x entre 2 et 4m (Coupe à gauche) Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur 4-x) Discontinuité en terme d’effort Zone 2: Pour x entre 2 et 4m (Coupe à gauche) Je lis sens +: T=-Rb=-2kN Je lis sens +: M= (4-x)*2kN Enfin N=0

Je lis sens -: M= -(2kN*x) Enfin N=0 Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur x) Zone 1: Pour x entre 0 et 2m (Coupe à droite) !!!-!!! Je lis sens -: T=-(-2kN) Je lis sens -: M= -(2kN*x) (Bras de levier en x) Enfin N=0

I. Définition II. Approche RDM (Flexion) III. Théorèmes énergétiques

sollicitation de flexion On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples et soumise à un effort P à chaque extrémité C P A B D a b RC RB x y Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre

diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant aP A B C D b Mz P -P Ty x Entre B et C : Ty = 0 Mz = aP = constante Flexion pure sur BC déformée en arc de cercle de courbure constante R (sections planes et normales à la fibre moyenne)

Déformation (1) Soit une poutre longue symétrique Imposons un moment de flexion Et étudions « géométriquement » les déformations (allongements ou variation d’angles)

Déformation (2) Regardons l’allongement de la fibre neutre par rapport aux fibres Up and Down Dû à la flexion, certaines fibres se contractent d’autres s’allongent…

Déformation (3) On a besoin de définir le centroid de la section et l’axe neutre de la poutre On définit aussi rho le rayon de courbure

Déformation (4) Puis la distance y à l’axe neutre de la poutre et en prenant un section infime ds on peut écrire

Déformation (5)

Déformation = relation linéaire (y)

Section non symétrique ?? Moment d’inertie

I=Moment d’inertie [m4]

Moment de flexion En haut y=ymax, maximum de contraintes de compression

Moment de flexion

Moment de flexion (2)

Moment de flexion (3)

Contraintes Vs moment

Substituant et en intégrant La relation entre moment de flexion et courbure reste valide pour des chargements transverses. On peut exprimer la courbure géométriquement en fonction de la dérivée seconde du déplacement y Substituant et en intégrant EDO qui donne le déplacement d’1poutre

Les constantes sont identifiées en utilisant les conditions aux limites Cas simples (isostatique) Simplement suportée Sur appui Encastrée Des chargements plus compliqués requierent plus d’intégrales et d’utiliser les conditions de continuités de déplacement et pente.

<Résumé de la Démarche> Les constantes sont identifiées en utilisant les conditions aux limites Pour une poutre sous chargement distribué, L’équation des poutres devient ( donne les Formules de Bresse en déplacement) En intégrant 4 fois

degré d ’hyperstaticité n inconnues de réaction p équations d ’équilibre ( p - n ) est le degré d ’hyperstaticité ( p - n ) > 0 : hypostatique ( p - n ) = 0 : isostatique ( p - n ) < 0 : hyperstatique Exemples F Structure hyperstatique q(x) F Structure isostatique A chaque discontinuité: coupe pas assez d’eq pour résoudre Voir Théorèmes énergétiques en annexe

I. Définition II. Approche RDM (Cisaillement) III. Théorèmes énergétiques

cisaillement g contrainte tangentielle moyenne module de COULOMB Configuration initiale Configuration déformée F F g g est l ’angle de glissement contrainte tangentielle moyenne module de COULOMB

Le moment statique Q d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l ’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ’axe

Shear stress in web-flange beams The variation of shear flow across the section depends only on the variation of the first moment For a box beam, q grows smoothly from zero at A to a maximum at C and C’ and then decreases back to zero at E.

Shear stress in web-flange beams For a wide-flange beam, the shear flow increases symmetrically from zero at A and A‘, reaches a maximum at C and the decreases to zero at E and E’

FG07_07c.TIF Notes: Using an analysis similar to that just given we can determine the shear-stress distribution acting over the cross section.

Calculs du CdG et inertie SOLUTION: Calculs du CdG et inertie Une poutre en fonte subit un moment de 3 kN-m . Sachant que E = 165 GPa , déterminer les contraintes de fléxions et le rayon de courbure dela poutre Appliquer la formule de la fléxion Moment d’inertie de la section = y I M m s Calculer la courbure

SOLUTION:

contraintes courbure mm 10 868 m 038 . kN 3 022 ´ × = I c M s 4 9 - B kN 3 022 - ´ × = I c M B A s courbure