nombre et calcul à la maternelle et au cycle 2 Denis Butlen, professeur des universités, IUFM de l’académie de Versailles, université de Cergy-Pontoise

Plan I. Construction du nombre II. Numération : principes et situations de référence III. Calcul mental et construction de connaissances numériques IV. Des éléments sur les techniques opératoires (soustraction, multiplication)

Construction du nombre Des situations de référence

Les situations Des activités pré-numériques Construire des collections Classification, tris Désignations (codages et décodages) Enumération Acquisition de la chaîne numérique (activités rituelles et autres activités) Des activités numériques Rangement et ordre Dénombrement Comparaison de grandeurs 11/04/2017 D.B. maternelle

Un exemple de situation pré numérique L’énumération

Un pré-requis insuffisamment enseigné (J. Briand) B.2.3. Enumération Un pré-requis insuffisamment enseigné (J. Briand) 11/04/2017 D.B. maternelle

Quelques repères (1) Les travaux de J. Briand, niveau CP L’activité : dénombrer le nombre d’arbres dessinés (l’élève peut dessiner) Les procédures Partition de la collection avec marquage différents pour chaque classe et comptage 8 8 8 8 8 2 Partition en reliant les éléments de chaque sous-ensemble qui est associé à une lettre, puis couple (nombre, lettre) Exploration de la collection en ligne sans succès (arrêt au 36e élément) Chemin en escargot mais compte le nombre de saut plutôt que d’arbre 44 au lieu de 45) 11/04/2017 D.B. maternelle

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Quelques repères (2) Utile dans la vie courante (faire ses courses avec une liste) Sert pour les opérations et la combinatoire Les tâches de comptage des éléments d’une collection: l’élève doit nécessairement : 1. Être capable de distinguer 2 éléments différents d’une collection 2. Choisir un élément d’une collection 3. Énoncer le mot nombre (un ou le successeur du précédent dans une suite) 4. Conserver la mémoire de collection des éléments déjà choisi 5. Concevoir la collection des objets non encore choisis 6. Recommencer pour le reste de la collection tant qu’il y a des objets à choisir 7. Savoir que l’on a fini 8. Énoncer le dernier mot-nombre. 11/04/2017 D.B. maternelle

Enumération ( Boîtes d’allumettes MS) (1) Matériel : huit à quinze boîtes d ’allumettes identiques percées des deux côtés, une boîte plastique comportant des allumettes situation : L ’enfant doit introduire une allumette et une seule dans chaque boîte validation : ouverture des boîtes Variables de la situation : 8 boîtes fermées mobiles (possible en PS), 15 boîtes fermées mobiles (MS), observateur muet ou conseiller 15 boîtes fermées mobiles (MS), un autre élève doit continuer le travail 15 boîtes fermées fixes. Seul puis interruption du travail et continuation par un autre élève Forme de travail : atelier, 15 mn, individuel Cf. CD-ROM « Apprentissages mathématiques à la maternelle », J. Briand et al, Hatier 11/04/2017 D.B. maternelle

Enumération ( Boîtes d’allumettes MS) (2) Les procédures : Pas de stratégie bien définie Exploration en ligne (la plus utilisée : 10) a. De gauche à droite et de bas en haut (6/10) b. De droite à gauche de haut en bas (1/10) c. De bas en haut alternant droite vers gauche et gauche vers droite (2/10) d. Exploration par arcs de cercle concentriques en débutant en bas à droite (5) e. Mélange d et c (3) Exploration circulaire non organisée (3) 5 élèves n’ont pas produit de marquage (dont 4 avec succès) 11/04/2017 D.B. maternelle

Les activités numériques à la maternelle Cf. J. Briand et al « apprentissage mathématiques à la maternelle », Hatier

B.2.4. Rangement et ordre PS : respecter la file (1) MS : respecter la file (2) GS : boîtes en ligne respecter l ’ordre 11/04/2017 D.B. maternelle

PS/ MS : respecter la file (1) Reproduire une suite ordonnée d ’images ou d ’objets selon un modèle PS : Images alignées sur une réglette modèle proche, nombre 7 modèle éloigné, nombre 7 modèle non visible, nombre 7 PMS : rythmes et perles modèle représenté par un dessin, modèle éloigné, nombre 7 11/04/2017 D.B. maternelle

Respectez le rang (GS) Une liste de lettres ou d ’images étant inscrite sur une bande (train), l ’élève doit reproduire cette liste en découpant une à une les lettres figurant (par ordre alphabétique pour les lettres) ou les images sur une bande modèle qui est éloignée. Il doit se déplacer pour consulter le modèle (autant de fois qu ’il veut) 11/04/2017 D.B. maternelle

Le train avec des lettres, respecter le rang Mobilisation du nombre éventuelle Cf. vidéo 11/04/2017 D.B. maternelle

Boîtes en ligne cf. vidéo CD-ROM Matériel : un bâton orienté, 10 boîtes d ’allumettes, des objets différents à mettre dans les boîtes variables : disposition des boîtes, orientation évolution des procédures 11/04/2017 D.B. maternelle

évolution des listes d ’écritures l'élève dessine les objets en désordre dans la feuille l'élève dessine les boîtes alignées mais en désordre l'élève dessine les boîtes sur 2 niveaux mais les alignements ne sont pas coordonnés l'élève effectue un rabattement incorrect le rabattement est réussi mais pas la position du repère la représentation est correcte. 11/04/2017 D.B. maternelle

Evolution des stratégies à la lecture l'élève ne tient pas compte de la position du repère, même s'il l' a dessiné l'élève tient compte de la position du repère comme une inversion de l'ordre. 11/04/2017 D.B. maternelle

Les procédures prise en compte de la place en comptant à partir du début prise en compte de la place en comptant à partir d ’une lettre ou d ’une image déjà placée évaluation de visu de la place (quand la lettre est au « milieu », par exemple) 11/04/2017 D.B. maternelle

B.3. Activités de dénombrement Construire une collection équipotente à une collection donnée 11/04/2017 D.B. maternelle

B.3.1. Variantes de la situation Modalités de communication : situation d ’autocommunication : l ’élève réalise une deuxième collection équipotente à la première avec celle-ci visible ou non (si dénombrement) situation de communication orale ou écrite (E/R) situation d ’autocommunication différée dans le temps 11/04/2017 D.B. maternelle

B.3.2. Les wagons cf. polycopié autres activités : boutons, buchettes, etc. Les Boutons :Aller chercher autant de boutons que de cases vides Les bûchettes Assembler des bûchettes pour faire un motif Dessiner de motif Reconstruire ce motif (après avoir chercher le nombre de bûchettes nécessaire)… 11/04/2017 D.B. maternelle

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B.3.3. Les matoeufs Utiliser le nombre comme mémoire de quantité pour construire plusieurs collections équipotentes à une collection donnée Contrainte : « 3 sous » Évolution de la complexité (on peut tout commander à la fin. 11/04/2017 D.B. maternelle

Situations pour Petite et moyenne Section Voitures et voyageurs (1 à 3 places) Même principe mais on écrit pas le nombre Cf. CD-ROM 11/04/2017 D.B. maternelle

B.3.4. Autres variantes Construire une collection double d ’une collection donnée : deux oiseaux dans son nid construire une collection triple d ’une collection donnée : les clowns comparer des collections partager des collections 11/04/2017 D.B. maternelle

a. Deux oiseaux dans un nid Entre 4 et 8 nids dans un arbre dessiné Des oiseaux dessinés à découper Commander en une (ou plusieurs fois) autant d’oiseaux qu’il faut, juste ce qu’il faut pour mettre deux oiseaux dans chaque nid Les procédures 11/04/2017 D.B. maternelle

b. Les clowns Même principe mais avec 2 à 4 clowns Chaque chemise doit avoir 3 boutons 11/04/2017 D.B. maternelle

c. Comparer des collections (1) Des nombres pour comparer : Ermel GS : Le jeu des boîtes empilées Matériel : des boîtes empilées (seule, celle du dessus est visible), un dé Règle du jeu : lancé du dé, prendre la boîte si le score obtenu est supérieur au nombre de jetons dans la boîte Gagnant : à la fin de la partie, celui qui a le plus de jetons… 11/04/2017 D.B. maternelle

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c. Comparer des collections (2) Des nombres pour comparer : Ermel GS : Le jeu des boîtes alignées Matériel : des boîtes alignées (toutes visibles), un dé Règle du jeu : lancer du dé, prendre la boîte que l’on veut si le score obtenu est supérieur au nombre de jetons dans la boîte Gagnant : à la fin de la partie, celui qui a le plus de jetons… 11/04/2017 D.B. maternelle

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c. Comparer des collections (1) Le jeu des pistes 3 joueurs, 5 pistes concourantes Si le nombre de cases d’une piste est plus petit que le score du lancé de dé, le jeton est placé sur la case arrivée. Après 5 tours, celui qui a sauvé le plus de jetons a gagné. 11/04/2017 D.B. maternelle

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d. Des nombres pour partager Les caisses Les maracas Les bandes de gommettes Les pots de yaourts Etc. 11/04/2017 D.B. maternelle

Les caisses Objectif : réaliser une partition d’une collection de 26 à 28 objets en 7 parties contenant 3, 4 ou 5 objets chacune Matériel :26 cubes (caisses), 7 cartons (camions) Étape 1 : Répartition des caisses : répartir les caisses dans les camions, on ne peut pas mettre plus de 5 caisses dans un camion et pas moins de 3 caisses Étape 2 : anticipation sur la partition : Il faut commander les 7 camions (camions de 3, camions de 4 ou camions de 5), il faut préparer la commande Étape 3 : modifier la partition : au moment de la commande, le maître déclare ne pas avoir assez de camions de telle catégorie Ex : pour 3 camions de 5 ; 1 camion de 4 ; 3 camions de 3? Il y a un seul camion de 5 Les élèves utilisent les cubes pour préparer les chargements 11/04/2017 D.B. maternelle

Les maracas Matériel : rouleaux de carton, papier aluminium, élastiques, 80 à 100 grains de maïs pour un groupe de 4 à 5 enfants Consigne : « Vous allez fabriquer un maracas chacun avec les rouleaux et les grains de maïs. Pour cela il faut partager les grains, il faut que chacun de vous en ait autant, et il doit en rester le moins possible. Procédures de distribution un à un ou paquet par paquet avec réajustement qui vont mobiliser le dénombrement pour comparer les sous-collections 11/04/2017 D.B. maternelle

Les bandes de gommettes (1) Objectifs Partager une collection comportant un nombre pair d’objets non déplaçables en deux collections équipotentes Constituer une collection équipotente à une collection donnée Constituer une collection ayant deux fois plus d’objets qu’une collection témoin Utiliser le dénombrement pour valiser son travail ou celui d’un pair Matériel Bandes bristol (ou de papier) de même format 27x10 Des bandes avec trait de partage Des bandes avec des gommettes collées en double Des gommettes, ficelle, crayons, ciseaux 11/04/2017 D.B. maternelle

Les bandes de gommettes (2) Organisation : groupe de 6 enfants Étape 0 : présentation de l’activité Présentation de l’activité Simulation : coller des gommettes de part et d’autre du trait sur une bande de manière à ce qu’il y en ait pareil, autant de chaque côté Étape 1 : Groupe émetteur, groupe récepteur Groupe émetteur reçoit une bande et des gommettes en nombre pair (de 6 à 20) C1: placer les gommettes sur la bande, il en faut autant de chaque côté, quand vous êtes sûrs, vous collez C2 : Découpez selon le trait et transmettez à chaque équipe, P donne une bande vierge à chacun des groupes récepteurs 11/04/2017 D.B. maternelle

Les bandes de gommettes (3) C3: Coller les morceaux reçus sur votre bande ; compléter la bande avec des gommettes pour avoir autant de gommettes qu’avant le découpage (à expliciter éventuellement) Validation par équipe, débat (mobilisation du dénombrement) Étape 2 : Les émetteurs reçoivent en 2 exemplaires une bande avec 6 à 10 gommettes déjà collées. C1 : trouver la ligne de partage pour qu’il y en ait autant de chaque côté (simulation avec la ficelle) Idem pour les récepteurs Validation à l’aide de la bande témoin 11/04/2017 D.B. maternelle

Les bandes de gommettes (4) Étape 3 : 2 équipes d’émetteurs, le reste de la classe sont des récepteurs E : bande avec des gommettes ; trouver ligne de partage et découper en deux R : la ½ bande est affichée au tableau ; construire une bande ayant autant de gommettes que la bande initiale Validation avec la partie témoin Étape 4 Institutionnalisation des procédures de recherche de la moitié et du double, vocabulaire : moitié « pour chercher la moitié, on fait un essai à vue, on compte, on ajuste » « pour chercher la bande entière, on compte le nombre de gommettes de la moitié et on le répète deux fois » 11/04/2017 D.B. maternelle

Les bandes de gommettes (5) Étape 5 : évaluation individuelle Compléter une bande dont on connaît la moitié Trouver la ligne de partage sur une bande 11/04/2017 D.B. maternelle

Situations additives 11/04/2017 D.B. maternelle

a. Les paniers Cf. CD-ROM apprentissages mathématiques à la maternelle J. Briand et al Repérer les procédures des élèves 11/04/2017 D.B. maternelle

b. Des nombres pour anticiper (1) À faire avant les paniers (situation additive) Le trésor, cf polycopié (fin GS, début CP) Objectif : Le nombre comme mémoire de quantité et outil d’anticipation, Fréquenter des situations additives L’activité: A partir d’un jet de dé, chaque enfant gagne un certain nombre de pierres précieuses qu’il stocke dans une boîte (trésor) Un lutin farceur fait disparaître tout ou une partie du trésor qu’il mélange avec celles prises au autre enfant. Comment savoir ce qui manque à chacun ? 11/04/2017 D.B. maternelle

e. Des nombres pour anticiper (2) Quatre étapes : 1. Chacun se constitue son trésor an lançant deux dés, échange du trésor contre un reçu 2. Les boîtes sont vides, il faut reconstituer le trésor de chacun 3. Le nombre de pierres augmente par un nouveau lancer de dés 4. Quelques pierres ont disparu, il faut trouver ce qui manque Déroulement : Étape 1: Constitution du trésor : un gestionnaire des « pierres », des joueurs, vérification à chaque étape (phase orale) Utilisation de l’écrit : des cartes (recto : nombre écrit en chiffres, verso : collection de ronds correspondante), une grande boîte cherchant de cachette ; chaque enfant échange son trésor contre un reçu (carte) et vérifie pendant plusieurs jours que le trésor est toujours là. 11/04/2017 D.B. maternelle

e. Des nombres pour anticiper (3) Étape 2 : disparition du trésor, nombre : mémoire de quantité Un grand carton ou tous les trésors d’un groupe sont mélangés( à peine caché) À la place des trésors, un message du lutin-farceur : les enfant doivent retrouver la cachette et trouver un moyen de récupérer son trésor (à l’aide du reçu). Les reçus servent à valider les retraits de chacun Étape 3 : augmentation du trésor Résolution d’un problème additif : u Un dé (1, 2 et 3), lancer du dé (boîte fermée), l’enfant doit prévoir le résultat sans chercher les pierres à rajouter, en les cherchant s’il échoue (boîte fermée), de compter le tout s’il échoue à nouveau Modification des reçus 11/04/2017 D.B. maternelle

e. Des nombres pour anticiper (3) Étape 4 : disparition partielle du trésor Prélèvement par le lutin-farceur de 2 à 3 pierres dans chaque trésor, 1 boîte commune avec toutes les pierres prélevées Travail par groupe de 5 à 6 : Chaque enfant doit trouver combien il lui manque de pierres, validation à l’aide du reçu. On peut apporter des aides Sachets individualisés plutôt que des pierres en vrac Opérer le prélèvement très vite en présence de l’enfant Prélever une seule pierre Utiliser les reçus dès la résolution Étape 5 Au CP on peut envisager de poursuivre en dénombrant de « grandes collections », échange du trésor (ex : deux pierres contre un bonbon, etc…) 11/04/2017 D.B. maternelle

B3.5. Des situations additives Cf. CD-ROM Choisir le panier correspondant à un message et colorier les œufs ex : rouge 4, bleu 3, vert 1 Se déplacer avec le message pour chercher le panier Se déplacer sans le message Alternance de résolution individuelle, en atelier et de bilan-débat, énonciation puis mémorisation de certains faits numériques 11/04/2017 D.B. maternelle

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B.4.Autour de la comptine (activités rituelles et autres activités) Acquisition de la chaîne numérique 11/04/2017 D.B. maternelle

Grilles et messages

Grilles et collections Matériel une enveloppe avec un message 3 6 ou 3 5 7 et le nombre de jetons correspondant Un lot d’enveloppe avec des grilles comportant l’affichage du nombre de cases et la grille correspondante Choisir la grille correspondant à la première enveloppe Phase de bilan visant l’exposition des procédures et de certain fait numériques Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes

I. Autour de la comptine Que sait-on sur le sujet ? l’appel, le nombre de filles et de garçons la cantine le calendrier (vidéo) le nombre de participants à un atelier, le nombre d’ateliers les anniversaires les naissances (vidéo) 11/04/2017 D.B. maternelle

Activités rituelles (2) Réciter la comptine numérique (vidéo) les comptines numériques les jeux avec les doigts (doigts cachés) les jeux de dés les jeux de cartes (bataille, pouilleux) 11/04/2017 D.B. maternelle

La numération Des principes

PLAN I. rappels de numération Rappels sur l’écriture des nombres entiers (N) II. Les situations de numération (nombre entiers)

I.a. Rappels sur l’écriture des nombres entiers (N) Les différents systèmes de numération

Plan 1. Deux situations d’introduction Inventer un système de numération Exploration de la numération orale française II. Les différents systèmes de numération enseignés à l’école Système d’addition Système de position Système hybride (ou polynomial)

Une situation d'introduction Avec les quatre symboles : * £ ¤ ¥ inventer un système de numération. Décrire les règles de fonctionnement de ce système Préciser les limites et les avantages. Apprend-on un tel système de numération à l'école? Si oui lequel?

Une première réponse : le système égyptien (voire romain) Chaque symbole représente une puissance de dix (voire cinq) * → 1 = 100 £ → 10 = 101 ¤ → 100 = 102 ¥ → 1000 = 103 On écrit autant de fois que nécessaire les symboles, on fait des additions implicites, Exemple 3452 = (1000+1000+1000)+(100+100+100+100)+(10+10+10+10+10)+(1+1) → ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ * * On ne peut pas écrire les nombres supérieurs à 999 Des essais ne respectant pas les règles implicites fonctionnant ci-dessus : Jouer sur le sens de l’écriture : * Signifie 10000 ¥ Mais alors un nombre pourrait avoir deux écritures Par exemple 100 peut s’écrire : ¤ et £ £

Liste des mots Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize Dix-sept, Vingt trente quarante cinquante soixante Vingt et un Quatre vingts Cent mille million millard billion trillion, etc

64 43 16 42 4 41 1 40 2 £ * ¤ 72 = 1x 64 + 0 x 16 + 2 x 4 + 0 x 1

Trois systèmes de numération Les systèmes d'addition (les plus "primitifs ") Les systèmes alphabétiques (grec, etc.) Les systèmes égyptien, romain (plus complexe), etc. Les systèmes de position : Notre numération chiffrée (écrite avec des chiffres) Les systèmes babylonien, maya, etc. Les systèmes polynomiaux ou hybrides Notre système de numération avec des mots-nombres (d'autres" chiffres ") Certains systèmes asiatiques (sino-japonais, etc.)

Les systèmes d'addition Branchement système égyptien ou romain Les règles de fonctionnement Les chiffres représentent les puissances de la base (principale: en générale dix ou auxiliaire: souvent 5) Les opérations implicites: des additions (plus rarement des soustractions) On écrit autant de fois que nécessaire (à concurrence de la valeur de la base, les chiffres) On ne peut pas écrire tous les nombres (car il y a potentiellement un nombre infmi de puissances de la base) L'ordre n'est pas nécessaire (us et coutumes)

Le système romain Des règles de fonctionnement Deux bases une base 10 une base auxiliaire 5 Un ordre partiel des additions (et des soustractions, « dérives ») Des chiffres représentant les puissances des bases : I pour un, V pour cinq, X pour dix L pour cinquante C pour cent D pour cinq cents M pour mille (et ensuite ????) Pas de zéros mais des fractions en base douze .. et des abaques pour les opérations

Les systèmes de position Branchement système babylonien, maya Des règles de fonctionnement Les chiffres représentent les coefficients multiplicatifs des puissances de la base (base principale: en générale dix parfois vingt ou soixante ou base auxiliaire: souvent 5 parfois dix) Les opérations implicites: des additions et des multiplications On écrit que les coefficients multiplicatifs sauf en cas d'absence de zéro (Babylone) (éventuellement à concurrence de la valeur de la base, les chiffres) On peut pas écrire tous les nombres sauf en cas d'absence de zéro (Babylone) L'ordre est indispensable

Système de numération hybrides ou polynomiaux Les bases : Base dix le plus souvent Références: numération écrite avec des mots-nombres, systèmes sino-japonais Deux (voire trois) types de chiffres représentant respectivement : Les puissances de la bases Les coefficients multiplicatifs des puissances de la base Opérations implicites: multiplications, additions On ne peut pas écrire tous les nombres

Système de numération avec des mots-nombres Les bases : Base dix avec base auxiliaire mille des traces de bases " anciennes ": seize, vingt Trois types de chiffres représentant respectivement: Les puissances de la bases: dix, cent, mille, million, etc. (lesquels ?) Les coefficients multiplicatifs des puissances de la base: zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize (parfois utilisés localement) Des concaténations des deux précédents: vingt (pour deux dix), trente (pour trois dix), quarante, cinquante, soixante . Opérations implicites: multiplications, additions .:. On ne peut pas écrire tous les nombres

Des situations de références

Les situations de référence Les situations d’échanges pour travailler l’écriture du nombre Les situations de groupements (rendus nécessaires quand il s’agit de dénombrer des collections importantes) Les situations qui amènent à repenser les groupements par rapport aux échanges Les situations de découverte du point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) qui amènent à regarder comment s’enchaînent les écritures Les situations d’exploration des règles de la numération orale (écrite avec des mots traduits par des nombres) Les situations autour du passage de la numération écrite (chiffrée) de position à la numération orale (utilisant des mots)

Les situations qui amènent à repenser les groupements par rapport aux échanges Il s’agit de répondre à la question : à quoi sert la numération ? à lire dans l’écriture d’un nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués (Exemples de situations dans ERMEL : « les craies »; « stockage » « les daltons » « les timbres », « les tickets de cantine », « les trombones »). à structurer les ensembles de nombres à partir de leurs écritures canoniques mais aussi à partir de décompositions plutôt canoniques à construire des algorithmes opératoires efficaces à faciliter l’usage des systèmes métriques

Les situations qui amènent à repenser les groupements par rapport aux échanges Au travers des évaluations, on constate un déficit en CE2 et en sixième « Dans 238, combien de paquets de dix ? » 50 % réussissent à répondre en CE2 mais peu lisent directement la réponse « sur le nombre » En sixième, on observe 80 % de réussite et seulement un élève sur deux qui mobilise des connaissances sur la numération Le problème des Daltons, le problème des « craies », des timbres

Les situations de découverte du point de vue algorithmique À traiter dans les deux systèmes de numération amènent à regarder comment les écritures des nombres se transforment de un en un Toutes les activités autour des compteurs (avec des chiffres ou avec des mots) et des calculatrices entrent dans cette catégorie en liaison avec un travail avec les abaques. t s’enchaînent les écritures Un travail autour des familles de nombres comme la situation du « jeu du château » en CP / CE1. La structuration des nombres est également en jeu dans les situations utilisant la droite numérique comme « les fils numériques » ou encore celle qui consiste à fabriquer le « livre du million » : chaque page contient mille nombres (famille des mille).

Les situations d’exploration des règles de la numération orale Numération écrite avec des mots traduits par des nombres Il s’agit de faire travailler les élèves sur ce qui distingue les deux systèmes de numération. Construire un dictionnaire de nombre Construire une simulation de « compteur » adaptée à la numération orale (écrite avec des mots)

Les situations d’exploration des règles de la numération orale déterminer le nombre de « chiffres » (d’étiquettes) nécessaires pour écrire les nombres entiers jusqu’à un nombre donné 10n. utiliser ces étiquettes pour écrire la suite des nombres entiers, déterminer les régularités, la variation de la longueur des écritures, (faire une frise), etc. une écriture d’un nombre N étant donnée, quelles étiquettes faut-il changer pour écrire : N + 1, N – 1, N + 10, N + 20, …, N + 10n, N+ a10 avec 0<a<9, 2N, 10N, 20N, 10n xN, etc.

Les situations d’exploration des règles de la numération orale exemple : 17 x 10n dix-sept ↔ 17 cent soixante dix ↔ 170 mille sept cent ↔ 1 700 dix sept mille ↔ 17 000 cent soixante dix mille ↔ 170 000 un million sept cent mille ↔ 1. 700 000 dix sept million ↔ 17 000 000 cent soixante dix million ↔ 170 000 000 etc.

Les situations d’exploration des règles de la numération orale Un nombre étant donnée par son écriture chiffrée, combien faut-il d’étiquettes pour l’écrire. Un nombre étant oralement ou par écrit (avec des mots), déterminer le nombre de chiffres nécessaires pour l’écrire Test : construire simultanément des suites de nombres (de 1 en 1, de 2 en 2, de 10 en 10, de 100 en 100, etc…) en numération chiffrée et numération orale un nombre étant donné oralement, écrire ce que l’on entend avec des chiffres, retrouver l’écriture canonique.

Les situations autour du passage de la numération écrite (chiffrée) de position à la numération orale On ne peut se limiter à des dictées de nombres. Un travail spécifique est à mener. Exemple : « les mots nombres » sur ERMEL 2347 lu « deux mille trois cent quarante-sept » soit 2 - 1000 – 3 – 100 – 40 – 7 2000 + 300 + 47 2347

Les situations d’échanges Ces situations sont incontournables au cycle 2 Elles permettent d’explorer les règles d’échanges qui justifient le système de numération de position Au CP c’est la situation de type « jeu du banquier » au CE1, c’est le « jeu du caissier » L’évolution se traduit au niveau de la règle d’échanges (un contre cinq, puis un contre dix) et tout le travail sur la monnaie.

Les situations de groupements Les groupements sont rendus nécessaires quand il s’agit de dénombrer des collections importantes Pour les CP, il s’agira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 30 à 100 objets au CE de plusieurs centaines voire milliers Ces situations amènent à constater que l’utilisation des paquets de dix puis des paquets de paquets va faciliter la détermination de l’écriture du cardinal qui pourra être d’abord traduit sous la forme d’une écriture additive L’évolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes. Dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les cahiers » (CE1), « les craies » (CE2), « les trombones » (CM1) et « les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie.

III. Calcul mental et construction de connaissances numériques Référence : le nombre au cycle 2 Les enjeux du calcul mental, le paradoxe de l ’automatisme, un travail sur les pré-requis

I.2. Éléments bibliographiques Des ouvrages de référence BOULE F., (1997), Performances et démarches de calcul mental au cycle III. Éléments pour une pédagogie du calcul mental, Thèse de doctorat, Villeneuve d’Asq, Presses universitaires du Septentrion BUTLEN D. (2007) Le calcul mental, entre sens et technique, Presses universitaires de Franche Comté, Besançon BUTLEN D. PEZARD M., (2007) Conceptualisation en mathématiques et élèves en difficulté, Grand N, n° 79, 3-32, IREM de Grenoble, université Joseph Fourrier, Grenoble 1 BUTLEN D. PEZARD M. et al, (2000) le rôle du calcul mental dans la connaissance des nombres, des opérations et dans la résolution de problèmes, Repères-IREM n°41, Tpiques éditions Des exemples de progressions LETHIELLEUX C., (1992), Calcul mental, volumes 1 et 2, Paris, Armand Colin PELTIER M.L. : Calcul mental, collection Mosaïques, Hatier, Paris 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 89

II. Les enjeux du calcul mental, le paradoxe de l ’automatisme Du diagnostic au traitement des pré-requis, le paradoxe de l’automatisme 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 90

Du diagnostic à un premier traitement des difficultés Une manière de poser le problème Un diagnostic (daté historiquement) Deux dynamiques et un paradoxe Des exemples d’activités préparatoires, un travail sur les pré-requis 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 91

II.1. Une manière de poser le problème Calcul de 45 + 17 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 92

Les procédures simulation mentale de l’algorithme écrit, l’élève « pose dans sa tête » l’opération en colonnes : utilisation de la décomposition additive canonique de l’un ou des deux termes : 45 + 17 = 45 + 10 +7 = 55 + 7 = 62 ou 45 + 17 = 40 + 5 + 10 + 7 = 50 + 12 = 62 ; utilisation d’une décomposition additive de l’un des termes s’appuyant sur un passage à une dizaine supérieure : 45 + 17 = 45 + 5 + 12 = 50 + 12 = 62 ou 45 + 15 + 2 = 60 + 2 = 62 ou 2 + 43 + 17 =2 + 60 = 62 ; utilisation d’une décomposition soustractive de l’un des termes : 45 + 20 – 3 = 65 – 3 = 62 ;

Ces procédures se différencient par les connaissances mobilisées, le coût en mémoire et en calcul. Des recherches ont montré que les procédures mobilisées par les élèves de fin de cycle 2, sont : l’algorithme écrit « posé dans la tête » (procédure quasi majoritaire), les différentes procédures mobilisant des décompositions canoniques et, beaucoup plus rarement, celles mobilisant d’autres décompositions additives ou soustractives. Ces dernières nécessitent une prise en compte de la spécificité des nombres intervenant dans le calcul et de leurs propriétés, leur domaine de validité est limité. Un enseignement spécifique préalable semble donc nécessaire.

calcul de produits, évolution des procédures Une hiérarchie de procédures Addition réitérée algorithme posé dans la tête distributivité simple mobilisation de décompositions soustractives mobilisation de décompositions multiplicatives Des connaissances peu disponibles 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 95

II.3. Deux dynamiques le paradoxe de l’automatisme 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 96

II.3. Deux dynamiques le paradoxe de l’automatisme 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 97

Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes Construction du sens des opérations, connaissances sur les nombres et maîtrise des techniques opératoires : des développements imbriqués Une dynamique positive : Des pré-requis sur les nombres et les opérations des connaissances disponibles —> mobilisation de procédures adaptées —> exploration des nombres et des propriétés —> des connaissances plus riches, plus disponibles —> une plus grande adaptabilité Une dynamique négative : un manque de pré-requis sur les nombres et les opérations —> des connaissances peu disponibles —> mobilisation de procédures sûres (automatisées) mais peu économiques —> peu ou pas d’exploration des nombres et des propriétés —> un déficit de connaissances disponibles —> une plus faible adaptabilité 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 98

Le paradoxe de l ’automatisme Une installation suffisante de faits numériques mémorisés de modules élémentaires de calcul permet aux élèves d e mobiliser des procédures plus adaptées, plus économiques et d ’échapper à l ’automatisme Pour cela, il est nécessaire : de faire appel à la mémoire d ’institutionnaliser à la fois la procédure et son domaine d ’efficacité 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 99

II. 4. Des activités préparatoires Une intervention sur les pré- requis 17/01/11 Denis Butlen - Calcul mental et résolution de problèmes 100

Types d’activités : Additions et soustractions

trois séries d’activités Une première série d’activités, plus traditionnelles, revient à explorer, mémoriser et tester les tables d’additions. Une deuxième série d’activités porte sur la recherche de compléments à dix, cent, mille, etc. Une troisième concerne davantage les additions et soustractions mentales. Nous présentons ici uniquement les calculs élémentaires à automatiser et les faits numériques à mémoriser. Pour les aborder, le professeur aura recours à différents types de matériels et différents modes de gestion.

Les tables d’addition Les résultats des tables d’addition deviendront progressivement des faits numériques automatisés. Certains s’acquièrent plus vite que d’autres (n + 1, n + n) ; certaines désignations (par exemple, les constellations ou les doigts dans le cas de 5 + n avec n compris entre 1 et 5) peuvent aider à en « voir » quelques uns. Mais ce n’est pas toujours la taille des nombres qui rend le calcul plus difficile (ainsi 5 + 5 est plus vite mémorisé que 4 + 3).

Les tables d’addition Le premier type est constitué de jeux de calcul mental utilisant différents supports : jeux de cartes (bataille, mariages, recto-verso…), jeux de dominos, lotos, labyrinthes, etc. (différents ouvrages détaillent ces jeux). Un second type d’activités a aussi pour objectif la mémorisation des tables, il convient de distinguer : La recherche de la somme ou de la différence : 8 + 7 = ? 9 – 3 = ? La recherche de l’un des termes de la somme ou de la différence : 9 + ? = 14 7  14 8 - ? = 5 ? – 7 = 4 La recherche des deux termes de la somme ou de la différence : ? + ? = 18 ? - ? = 6

b. Recherche de compléments Compléter à 10 Servant de base à de nombreuses procédures de calcul réfléchi, les cinq paires de nombres non nuls dont la somme est 10 sont à connaître suffisamment tôt. Les différentes représentations des nombres (constellations, doigts des mains, etc.) contribuent à leur mémorisation. Afin de rendre disponibles différentes décompositions d’un nombre, dans cette activité mais aussi dans beaucoup d’autres, le professeur pourra jouer sur la formulation de la consigne chaque consigne privilégie un point de vue compléter une collection, se déplacer sur la droite numérique, égaliser deux collections, etc.). Ces changements de point de vue participent de la construction du nombre et contribuent à accroître la disponibilité des faits numériques.

b. Recherche de compléments Complète 3 pour faire 10 Combien manque-t-il à 3 pour faire 10 ? Que faut-il ajouter à 3 pour faire 10 ? 3 pour aller à 10 ? 3  10 ? 3 + ? = 10 10 – 3 = ?

Compléments à la dizaine Compléter à la dizaine supérieure 14  20 32  40 53  60 Compléter à 100 ou à la centaine supérieure avec 30  100 54  100 327  400 1350  1400 Trouver le complément quand il s’agit de 10 ou d’un multiple de 10, voire de 100 32  42 48  78 25  325 1235  1635

c. Autres activités il s’agit de procédures automatisées liées le plus souvent à la spécificité de notre système de numération dont l’usage rend certains calculs plus faciles que d’autres. Ajouter 10 ou un nombre entier de dizaines à un nombre de deux ou trois chiffres 55 + 10 257 + 10 497 + 10 60 + 30 38 + 60 40 + 122 265 + 40 Soustraire 10 ou un nombre entier de dizaines à un nombre de deux ou trois chiffres 64 – 10 55 – 30 238 – 40 Ajouter ou soustraire 100 ou un nombre entier de centaines à un nombre de trois ou quatre chiffres 325 + 100 1234 + 500 325 – 100 1234 – 200 4500 – 600 1370 - 500 Trouver le plus rapidement possible le résultat d’une addition en ligne 27 + 4 + 15 + 3 + 5

c. Autres activités Décomposer additivement un nombre en un nombre entier de centaines, dizaines et unités (décomposition canonique) 34 = 30 + 4 327 = 300 + 20 + 7 1004 = 1000 + 4 Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine, la centaine supérieure, etc. 47 = 50 – 3 47 = 100 – 53 Compléter des égalités du type 37 + 18 = 47 + ? 54 + 27 = 74 + ? En utilisant la décomposition décimale du second terme. 27 + 8 = 30 + ? 54 + 27 = 60 + ? 54 + 27 = 80 + ? 128 + 15 = 130 + ? 128 +15 = 140 + ? En faisant apparaître dans le calcul un multiple de 10 ou 100.

Dialectique entre sens et tecnique Calcul mental et résolution de problèmes standards

IV. Des éléments sur les techniques opératoires (soustraction, multiplication)

Des principes organisateurs Une progression non linéaire, éviter le schéma : tables, technique dans les cas simples puis complexes, problèmes Le champ conceptuel de l’opération : lister l’ensemble des problèmes, faire une répartition sur plusieurs années (au moins un cycle) les différentes techniques opératoires, Lister ces techniques comparer leurs avantages et inconvénients, faire un choix (savoir le justifier) Penser les différentes étapes de l’apprentissage et une répartition dans le temps Accompagner l’apprentissage de l’algorithme d’une pratique de calcul mental La construction des « tables » : de la fréquentation de faits numériques à leur organisation en tables (plusieurs organisations possibles), penser les étapes de leur mémorisation, justifier cette mémorisation par la maîtrise de la technique opératoire

Différentes techniques Éléments de comparaison

Soustraction

Multiplication (addition)

Multiplication (grille rectangulaire)