Les réseaux Filière SMP, année 2008-2009 H. EL RHALEB Université Mohammed V, Rabat, Agdal Faculté des Sciences, Département de Physique, Laboratoire de Spectronomie Moléculaire, d’Optique et d’Instrumentation Laser elrhaleb@fsr.ac.ma Filière SMP, année 2008-2009

Un réseau de est un dispositif composé d'une série de fentes parallèles (réseau en transmission), ou de rayures réfléchissantes (réseau en réflexion). Ces traits sont espacés de manière régulière, l'espacement est appelé le "pas" du réseau.

Réseau Réseau

I - La théorie élémentaire du réseau Considérons un réseau de transmission dont 2 fentes consécutives sont distantes de a. Le réseau est éclairé par un faisceau parallèle monochromatique de longueur d'onde λ sous une incidence i. On s'intéresse au faisceau diffracté à l'infini dans la direction d'angle θ.

On obtiendra un maximum d'intensité lumineuse pour : En général les rayons diffractés par les différentes fentes présentent un déphasage entre eux. On obtiendra un maximum d'intensité lumineuse pour :  en effet deux rayons consécutifs présenteront un déphasage multiple de 2π et il est évident, de proche en proche, que tous les rayons diffractés seront en phase entre eux (à un multiple de 2π près).

Les directions de ces maxima sont donc données par : Pour k = 0 on obtient le prolongement du faisceau incident. Pour k ≠ 0 la position des maximum dépend de la longueur d'onde λ : le réseau disperse la lumière. On obtient alors des franges très fines parallèles aux fentes du réseau et correspondant aux différentes valeurs de l'entier k. Nous avons considéré ici un réseau par transmission; des conclusions analogues sont valables pour un réseau par réflexion: un exemple quotidien est donné par un disque compact (CD) :

La lumière blanche est diffractée par les variations qui forment les bits et qui jouent le rôle des traits du réseau ; si l'on envoie une lumière monochromatique, le réseau réfléchit plusieurs taches ; la direction de réflexion des taches dépend de la distance entre les traits et de la longueur d'onde.

II - Calcul de l’intensité diffracté II.1 - Expression de l'intensité diffractée Soit N le nombre total de fentes du réseau. le déphasage "à l'infini" entre les ondes diffractées par deux fentes successives s’ écrit : avec Désignons par la vibration diffractée par la 1ère fente. la vibration diffractée par la pème fente. La vibration totale est :

transformons cette expression : soit encore : On remarque que l'amplitude totale a la phase de la vibration diffractée par la fente au milieu du réseau.

II.2 - Première étude de la courbe I = I(φ) L'intensité diffractée dans la direction θ est : avec II.2 - Première étude de la courbe I = I(φ) Si les fentes sont très fines, on peut supposer en première approximation, que l'amplitude diffractée est indépendante de θ; A2 est alors une constante. L'expression de I(φ) montre que: pour et

m entier ≠ 0 et non multiple de N. c'est-à-dire: m entier ≠ 0 et non multiple de N. Pour φ = 2kπ (k entier), l'expression de I est indéterminée; étant donnée la périodicité de I(φ), on peut lever cette indétermination en examinant le comportement de I(φ) au voisinage de φ = 0. Près de φ = 0 et alors

Les variations de I(φ) pour N = 6 Les variations de I(φ) pour N = 6. Dans la pratique N est beaucoup plus grand.

si N >> 1, sin (3π/2N) = 3π/2N et Entre deux minima nuls on obtient des maxima secondaires (ou des maxima principaux, deux fois plus "larges", pour φ = k2π). Une discussion graphique de dI/dφ = 0 permet de montrer que ces maxima secondaires sont très peu marqués. On peut le vérifier en calculant I pour φ = 3π/N, c'est-à-dire pratiquement pour le premier maximum secondaire bordant le maximum principal correspondant à φ = 0 : si N >> 1, sin (3π/2N) = 3π/2N et

or N2A 2 représente l'intensité Io du maximum principal correspondant à φ = 0. Les maxima secondaires sont pratiquement invisibles, seuls seront observés les maxima principaux correspondant à :

En résumé on retiendra qu'éclairé par une radiation monochromatique de longueur d'onde λ, un réseau dont les fentes sont équidistantes de a donne des maxima principaux d'intensité dans les directions définies par: Ces maxima ont la position prévue par la théorie élémentaire et sont entourés par des maxima secondaires invisibles dans la pratique.

II.3 - Amélioration du calcul précédent On peut améliorer la dernière expression en appliquant à chaque fente du réseau les résultats de la théorie de la diffraction par une fente On remarque sur cette courbe un affaiblissement des spectres d'ordre k par rapport au faisceau non diffracté (φ = 0).

III – La formation des spectres III.1 - Réseau éclairé en lumière blanche On éclaire un réseau par une source de lumière blanche sous une incidence donnée (par exemple nulle). Image de la fente k=1 k=2 réseau Fente source

La formule montre que pour k donné, chaque longueur d'onde est diffractée dans une direction dépendant de λ. On obtient donc des spectres pour fentes les valeurs non nulles de k. À chaque valeur de k correspond un spectre que l'on appelle: spectre d'ordre k. Pour k = 0, sin(θ) = sin(i) quel que soit λ; on obtient donc une image blanche de la fente source. On retiendra donc que le réseau disperse un faisceau de lumière blanche, un peu à la manière d'un prisme. Le "mécanisme" qui régit cette dispersion est cependant très différent dans les deux cas. En particulier, pour un réseau, les radiations rouges sont plus déviées que les radiations bleues (pour un ordre k donné), ce qui est le contraire du phénomène observé par un prisme.

L'expérience montre qu'à partir d'une certaine valeur de k, il y a empiètement des spectres les uns sur les autres. Ce phénomène est facile à comprendre: il y a empiètement lorsqu'une même direction correspondant à deux longueurs d'ondes différentes (et à deux valeurs différentes de k). Cherchons à partir de quel ordre commence l'empiètement des spectres. D'après l'expression de sinθ, l'empiètement commence entre les spectres d'ordre k et k + 1 tels que:

La valeur de k est alors: On obtient ainsi: où À.1et Â.zsont deux longueurs d'onde du spectre visible (À.E [0,39 /lm, 0,76 /lm]). La valeur de k est alors: On obtient ainsi: On obtient la valeur minimale de k en prenant À.1= 0,76 /lm et Â.z= 0,39 /lm. La valeur minimale de k correspond à l'entier immédiatement supérieur, soit kmin = 2. L'empiètement commence donc entre les spectres du 2e et du 3e ordre.

4.2Déviation Pour un réseau éclairé sous une incidence i et diffractant dans la direction e, l'angle de déviation est, par définition:

4.3 Étalement normal du spectre

5. POUVOIR DE RÉSOLUTION D'UN RÉSEAU; APPLICATIONS 5.1 Position du problème 5.2 Pouvoir de résolution du réseau 5.3 Quelques applications des réseaux

y b z q x l Rn R1 P a

Physics of diffraction Ray Propagation through the grating Grating normal Grating normal Incident light Reflected light Incident light + + - - α Diffracted light β0 α > 0, β1 >0 Diffracted light α β1 Β-1 β0 < 0, β-1 < 0 d Β-1 β1 β0 + - Diffracted ray A Reflection grating A transmission grating Light diffracted in the same direction of the incident ray  +ve angle