Techniques Numériques en Prévision du Temps Jean Coiffier (SMF) 4èmes rencontres Météo/Maths Appli. Toulouse, Université Paul Sabatier, 25 mars 2009 Plan Généralités sur les équations de la météorologie La discrétisation spatiale (différences finies, méthode spectrale) Les algorithmes d’avance temporelle Application aux équations de la météorologie

Les équations de la météorologie

Un problème de conditions initiales Soit un domaine D fermé par une frontière F sur lequel sont définis les paramètres représentatifs de l’atmosphère X(x,y,z,t) Connaissant X(x,y,z,t0), état initial sur D, ainsi que : X(x,y,z,t) sur F quel que soit t (conditions aux limites), déterminer X(x,y,z,t) sur D pour tout t jusqu’à une échéance donnée, sachant que l’évolution de X(x,y,z,t) est décrite par le système d’équations aux dérivées partielles : Cet ensemble d’équations d’évolution non linéaires peut prendre plusieurs formes. Elles sont résolues de façon approchées au moyen du calcul numérique. Discrétisation du second membre (dérivées spatiales) : Discrétisation de la dérivée temporelle ou « tendance » :

Lewis Fry Richardson Entre 1916 et 1922, L.F. Richardson résout les équations de la prévision du temps de façon approchée avec les outils du calcul numérique et réalise une prévision à six heures d'échéance qui se révèle complètement irréaliste. « 64 000 calculateurs seraient nécessaires pour prendre de vitesse l'évolution du temps sur l'ensemble du globe » (L.F. Richardson , 1922)

Les différences finies On se donne une grille de maille Dx : Différence latérale en avant : approximation à l’ordre 1 de précision. Différence centrale : approximation à l’ordre 2 de précision. Schéma d’ordre supérieur : approximation à l’ordre 4 de précision.

L’erreur de troncature On définit l’Erreur Relative de Troncature ainsi : On peut calculer cette erreur pour une fonction sinusoïdale; celle-ci dépend de la longueur d’onde. Pour les évaluations à l’ordre 2 de précision et à l’ordre 4 de précision on obtient les résultats suivants : L’erreur dépend donc de la longueur d’onde. Plus la maille est faible devant la longueur d’onde meilleure est l’approximation.

Les méthodes de Galerkin La méthode de Galerkin est une méthode générale permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles de façon approchée. Elle consiste à développer le champ sur une base de fonctions connues ayant de bonnes propriétés. Les champs sont alors déterminés par les valeurs des coefficients du développement. Les fonctions peuvent être définies sur tout le domaine de travail (sphère, plan infini) : dans ce cas on parle de méthode spectrale. Les fonctions peuvent être non nulles seulement sur une petite partie du domaine de travail (fonctions trapezïoidales, créneau, chapeau …); dans ce cas on parle de méthode des éléments finis. La méthode des différences finies (souvent appelée méthode en points de grille) est un cas particulier de la méthode des éléments finis lorsque les fonctions de base sont des fonctions créneau.

La méthode spectrale sur la sphère Le développement des champs sphériques utilise une base de fonctions complexes (ayant une partie réelle et une partie imaginaire) définies sur la sphère de la façon suivante : l représente la longitude et m le sinus de la latitude f : m = sin f. Ces fonctions sont appelées harmoniques sphériques de surface et dépendent de deux indices n et m. m est le nombre d’onde zonal et m le nombre d’onde global. La fonction exponentielle complexe indique que l’on a une variation sinusoïdale le long d’un cercle de latitude. Les fonctions sont définies sur l’intervalle [-1, +1] (c’est à dire du pôle Sud au pôle Nord) et sont appelées fonctions associées de Legendre.

Forme des harmoniques sphériques de surface Partie réelle des harmoniques sphériques de surface pour n = 5 et pour diverses valeurs de m

Développement tronqué à l’aide des harmoniques sphériques de surface Une variable definie sur la sphere peut être exprimée à l’aide du développement suivant : Ces fonctions complexes sont les harmoniques sphériques de surface. Les coefficients spectraux permettent de représenter un champ bidimensionnel de façon tronquée Les coefficients spectraux sont déterminés en effectuant la double intégration: car les harmoniques sphériques vérifient la condition d’orthonormalité :

La troncature du développement Les nombres N et M définissent la troncature spectrale N = M définit une troncature dite “triangulaire” Comment comparer la taille de la maille et la troncature spectrale La plus petite longueur d’onde représentée est l (km) = 40000/M Si on admet que les différences finies ne peuvent représenter des longueurs d’onde plus petites que l = 4Dx, alors on peut écrire la formule “d’équivalence” : 4Dx = 40000/M On peut conserver en tête la formule suivante : Dx (km) = 10000/M

Les calculs avec la méthode spectrale Calcul des termes linéaires : Les termes linéaires sont calculés en multipliant les coefficients spectraux par les dérivées des harmoniques sphériques de surface. Le calcul des Laplaciens est très aisé car les harmoniques sphériques sont les fonctions propres de l’opérateur Lapalacien sur la sphère. Calcul des termes non linéaires : Les termes non linéaires sont calculés en points de grille sur une grille auxiliaire dite “grille de transformation”. On passe des coefficients spectraux aux points de grille en effectuant : - une transformation de Legendre inverse, - une transformation de Fourier inverse. On passe des points de grille aux coefficients spectraux en effectuant : une transformation de Fourier, une transformation de Legendre.

La méthode spectrale sur un domaine bipériodique Sur un plan on peut utiliser les fonctions trigonométriques pour développer des champs bipériodiques. Malheureusement les champs météorologiques ne sont pas bipériodiques. La solution consiste à rendre les champs à traiter bipériodiques sur un domaine étendu: On ménage une transition douce des champs entre la zone de travail et la zone étendue

Le principe de l’extrapolation dans le temps Un modèle de prévision peut s’écrire de façon très générale : étant un opérateur non linéaire faisant intervenir des dérivées spatiales. Il suffit donc a priori d’évaluer son expression second membre à l’aide des méthodes permettant l’évaluation des dérivées spatiales et d’évaluer la dérivée temporelle en différences finies pour pouvoir réaliser l’extrapolation pour un pas de temps, le processus pouvant être itéré pour aller jusqu’à l’échéance voulue. MAIS …

Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy Des mathématiciens apportent leur contribution : Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Math. Ann. 100, 32-74 (1928) U : est la vitesse de propagation des ondes les plus rapides Dt : est le pas de temps Dx : est la dimension de la maille R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy Critère CFL C doit être inférieur à une valeur finie.

Un modèle simplifié pour étudier la stabilité : le modèle en eau peu profonde Pour étudier divers schémas d’avance temporelle on considère un modèle simplifié, linéaire décrivant l’évolution d’une petite perturbation caractérisée par U,V et F = gZ au sein d’une pellicule fluide d’épaisseur F*/g animée d’une vitesse horizontale U0, V0 dans un référentiel en rotation (f = paramètre de Coriolis). Dérivées temporelles ou « tendances » Termes d’avection Termes de Coriolis Termes d’adaptation De façon simplifiée : Une onde lente : 2 ondes rapides (d’inertie-gravité) ; On peut déterminer 3 type de solutions qui se répartissent de la façon suivante :

Le schéma explicite centré Le schéma explicite latéral en avant (ou schéma d’Euler) : Ce schéma est inconditionnellement Instable ; aussi n’est-il utilisé qu’au premier pas de temps. Le schéma explicite centré, dit encore « leapfrog » : Ce schéma est conditionnellement stable avec les critères suivants ;

Le schéma semi-implicite centré Pour le schéma semi-implicite centré les termes responsables de la propagation des ondes rapides sont traités de façon implicite en effectuant une moyenne entre les instants t – Dt et t + Dt : Ce schéma est conditionnellement stable avec les critères suivants : En revanche, le système est implicite et la détermination de nécessite la résolution d’un système linéaire.

Le schéma semi-lagrangien semi-implicite Le principe du schéma semi-lagrangien consiste à évaluer la dérivée totale en différences finies entre le point de départ O (à t – Dt) et le point d’arrivée G (à t + Dt) de la particule. Les termes responsables de la propagation des ondes rapides sont traités de façon implicite en effectuant une moyenne des valeurs en ces mêmes points. Le système devient donc: G est le point de grille, point d’arrivée de la particule; O est le point de départ de la particule; I est le point situé à mi-distance de O et de G. L’application de la méthode nécessite donc: la détermination du point de départ O de la particule et donc également du point I l’interpolation de quantités aux poins O et au point I la résolution d’un système linéaire (comme pour le semi-implicite). La condition de stabilité se réduit alors à :

Détermination du point d’origine Cas du modèle linéaire : Dans le cas général d’un modèle non linéaire, il faut recourir à un processus itératif : Le processus converge dans la mesure où la condition suivante est vérifiée :

Les modèles opérationnels

http://www.smf.asso.fr A TOULOUSE JEUDI 26 MARS 2009 A 18H30 A l'origine, Société savante, la SMF est aujourd'hui un lieu de communication, d'échanges et de débats. Elle organise différentes manifestations à caractère scientifique: cycles de conférences, expositions, jeux-concours etc..., colloques, Elle décerne deux prix scientifiques ; Elle publie la revue trimestrielle La Météorologie, co-éditée avec Météo-France et parrainée par l'INSU-CNRS et l'ADEME. A TOULOUSE JEUDI 26 MARS 2009 A 18H30 « Combien pèse un cumulonimbus ? » Radioscopie des nuages par Jean-Pierre Chalon, Météo- France À la Cité de l’Espace (salle Altaïr)