DU TRAITEMENT DU SIGNAL BASES THEORIQUES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES ESINSA3 Thierry PITARQUE Université de Nice - Sophia Antipolis ESINSA I3S pitarque@unice.fr Je vais vous présenter les travaux effectués dans le cadre de ma thèse intitulé … Ces travaux ont été effectués au laboratoire I3S en collaboration avec la DCN ST-Tropez.

Plan du cours I Etude des signaux déterministes continus 1)Notion de signaux et systèmes 2)Energie et puissance 3)Représentation fréquentielle 4)Filtrage II Etude des signaux déterministes discrets 1)L’échantillonnage 2)Signaux déterministes discrets III Le TNS

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique 3.2 Transformée de Fourier des signaux d’énergie finie 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 3.4 Transformée de Fourier d’un signal périodique 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 1) Un exemple : - On a vu jusqu’à présent les signaux périodiques et leurs spectres de raies , On a vu également les signaux non périodiques à énergie finie et leur spectres continus; - Que se passe-t-il pour un signal contenant une partie périodique et une partie à énergie finie ? Comment calculer le spectre d’un signal à énergie infinie, par ex. s(t)=S0 ? on considère le signal ci-dessous :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 1) Un exemple : - on peut donner l’équation mathématique de ce signal : - en utilisant le théorème du décalage fréquentiel ( modulation complexe) :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 1) Un exemple : - on peut aussi utiliser le théorème du produit : - on connaît le résultat final mais on ne connait pas la TF du cosinus ! en effet c’est un signal qui n’a pas une énergie finie, D’où la nécessité de définir le Transformée de Fourier d’un signal d’énergie infinie. - de plus si q tend vers l’infini, le spectre S(f) tend vers 2 diracs en fréquence à f0 et –f0.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 2) Le dirac temporel : - le dirac temporel d(t) ou impulsion de dirac temporelle n’est pas une fonction mais une distribution ou fonction généralisée. - on peut définir d(t) comme la limite d’une multitude de fonctions dont la porte : - on représente conventionnellement le dirac d(t) par une flèche de poids 1, symbolisant un signal de durée nulle et d’amplitude infinie,le poids représentant l’aire =1 t 1

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 2) Le dirac temporel : - si on calcule l’énergie du dirac par passage à la limite , on constate que le dirac a une énergie infinie. - le dirac d(t) a une énergie infinie, ce n ’est donc pas un signal réalisable physiquement. - on admettra que d(t) est pair (d(t) = d(-t) ) -une impulsion de poids A, retardée de t0 peut être représentée par : t A

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 2) Le dirac temporel : - si on calcule l’énergie du dirac par passage à la limite , on constate que le dirac a une énergie infinie. - le dirac d(t) a une énergie infinie, ce n ’est donc pas un signal réalisable physiquement. - on admettra que d(t) est pair (d(t) = d(-t) )

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 2) Le dirac temporel : -calcul de la TF de d(t) t 1 f 1

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 2) Le dirac temporel : -on admet que les propriétés fondamentales de la TF entre convolution et produit de fonctions s’appliquent au dirac d(t). car ayant même TF : - application :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 2) Le dirac temporel : - de même démonstration : de même - application :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 3) Le dirac fréquentiel : - le théorème de la dualité dans le cas s(t) réel et pair donne : - appliqué au dirac, on en déduit : - Le spectre du signal continu est un dirac fréquentiel : - on retrouve le principe qu’un signal de largeur temporelle infinie a une largeur fréquentielle nulle. De même que le dirac temporel infiniment bref a une largeur fréquentielle infinie. - vérification par la TF inverse de d(f) :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 4) Calcul des principaux spectres élémentaires : - calcul de la TF de d(t-t0) : En utilisant le théorème du retard, on en déduit : - calcul de la TF inverse de d(f-f0) : - calcul de la TF du cosinus :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 4) Calcul des principaux spectres élémentaires : - Le spectre d’une exponentielle complexe est composé d’un dirac en f0: - Le spectre d’un cosinus est composé de 2 diracs en f0 et –f0 : - f A f0 f A/2 f0 -f0

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 4) Calcul des principaux spectres élémentaires : - Calcul de la Transformée de Fourier de la fonction échelon u(t) : - calcul de S(f) : calcul de SGN(f) - calcul de U(f) f 1/2

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 4) Calcul des principaux spectres élémentaires : - Calcul de la Transformée de Fourier de la fonction échelon u(t) par une autre méthode : en passant par l’intégrale de d(t) : DANGER ! FAUX ! car c’est une distribution - Rappel :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 5) Convolution de deux diracs et d’un signal avec un dirac : - La TF de la convolution de 2 diracs est le produit de leurs spectres, d’où : - de même : La convolution d’un signal et d’un dirac donne : Le dirac est l’élément neutre de la convolution Rappel, ne pas confondre avec le produit d’un signal et d’un dirac. Le produit de 2 diracs est sans objet.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 5) Convolution de deux diracs et d’un signal avec un dirac : - application à la Transformée de Fourier d’un cosinus causal : f A/4 f0 -f0

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 6) Application à l’exemple du début : - Le spectre d’un cosinus limité en temps par une porte peut se calculer avec les propriétés du dirac : en utilisant la linéarité et le théorème sur la convolution d’un signal et d’un dirac : f 1/2 f0 -f0 aq/2

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.4 Transformée de Fourier d’un signal périodique 1) Transformée de Fourier d’un signal périodique : - Avec les propriétés du dirac, on peut maintenant calculer le spectre d’un signal de période T0 (F0=1/T0) Attention, le coefficient de Fourier Sn peut être complexe. - On passe d’un spectre discret de raies d’un signal périodique à un spectre continu de diracs dont les poids sont les coefficients Sn. f Sn -F0 -2F0 2F0 F0 f Sn -F0 -2F0 2F0 F0

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.4 Transformée de Fourier d’un signal périodique 2) Transformée de Fourier du peigne de dirac : - Le peigne de dirac est défini de la façon suivante : - C’est un signal périodique de période T0. On peut calculer sa décomposition en séries de Fourier Sn : t 1 -T0 -2T0 2T0 T0

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.4 Transformée de Fourier d’un signal périodique 2) Transformée de Fourier du peigne de dirac : - On déduit du peigne de dirac une propriété remarquable sur la somme infinie d’exponentielles complexes : - On peut calculer la Transformée de Fourier du peigne de dirac. C’est un signal périodique, d’où : - C’est aussi un peigne de dirac en fréquence ( attention au poids 1/T0 de chacun des diracs). - Vérification avec la TF du dirac décalé et la somme infinie d’exponentielles complexes en f : f 1/T0 -F0 -2F0 2F0 F0

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace 1) La Transformée de Laplace - La Transformée de Laplace du signal s(t) réel ou complexe est définie par : La variable p=s+jw= s+j2pf est complexe - La TL bilatérale ci-dessus se raméne pour des signaux causaux à la TL unilatérale : -La TL est convergente ssi elle est convergente en valeur absolue : - La région de convergence est une bande de convergence : C’est une bande de l’espace complexe définie par :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace 1) La Transformée de Laplace - si , l’axe imaginaire est compris dans la bande de convergence et on peut tirer la TF de la TL , sinon on ne peut rien dire. - une TL ( comme une TF) doit être définie avec sa bande de convergence. - La transformée de Laplace permet de généraliser la transformée de Fourier - Elle sert notamment à l’étude du régime transitoire des filtres linéaires, alors que la TF sert essentiellement à l’étude des fréquences des signaux et des filtres.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace 2) Exemple de calcul de la transformée de Laplace d’un signal - Calculer la TL et la TF de l’échelon u(t) - calcul de la bande de convergence ssi - On ne peut pas tirer la TF de la TL car la bande de convergence ne contient pas l’axe imaginaire. Rappel :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace 2) Exemple de calcul de la transformée de Laplace d’un signal - Calculer la TL et la TF du signal s(t)=-u(-t) - calcul de la bande de convergence ssi - Les signaux u(t) et –u(-t) ont même TL mais des bandes de convergence différentes. - On ne peut pas obtenir la TF de s(t) à partir de sa TL.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace 2) Exemple de calcul de la transformée de Laplace d’un signal - Calculer la TL et la Tf du signal - calcul de la bande de convergence ssi c.a.d. - On peut obtenir la TF de s(t) à partir de sa TL ssi s0 < 0.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace 2) Exemple de calcul de la transformée de Laplace d’un signal - Calculer la TL du signal - calcul de la bande de convergence ssi c.a.d. - On peut obtenir la TF de s(t) à partir de sa TL : - On peut vérifier le résultat obtenu par la TF directe.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace 3) Prpriétés de la transformée de Laplace - la linéarité - le décalage en temps - le décalage en fréquence - la convolution - les théorèmes de la valeur initiale et finale d’un signal causal