Introduction à l’étude des systèmes asservis linéaires (SAL) mono variables en régime continu. A. Principe de superposition.   système linéaire : modélisation (étude)  équation différentielle linéaire (coefficients constants) mono variable: entrée et sortie uniques linéarité: réponse (sortie) générale  somme des réponses des différentes excitations (entrées) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 B. Rappel des lois fondamentales utiles en automatique.    1. Mouvement de translation. * Ressort. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 * Frottement sec: force de module constant opposée au mouvement * Frottement de Coulomb: pour une vitesse nulle, de sens opposé à la vitesse Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Mouvement de rotation (par rapport à un point ou un axe).   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 C. Modélisation du moteur à courant continu.   - aimantation permanente - flux variable (flux constant) (inducteur en série avec induit ou alimenté de façon autonome) champ magnétique: bobinage fixe (inducteur) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 1. Moteur à aimantation permanente.    - LA: self-inductance d’induit (rotor) - RA: résistance d’induit - VA: tension d’alimentation - IA: courant d’induit - F: flux d’inducteur (constant ici) - KT: constante de couple - KE: constante de fém GM: couple en sortie du moteur - JM: moment d’inertie du moteur - fM: coefficient de frottement visqueux - qM: position du rotor - WM: vitesse angulaire du rotor Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 GM=K FIA=KTIA (KT: constante de couple en N.m/A) + fcém KEWM modélisation: Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Moteur à courant continu à excitation séparée.   mêmes paramètres + : - LF: self-inductance de l’enroulement - RF: résistance de l’enroulement - VF: tension d’alimentation inducteur - IF: courant inducteur GM=K FIA et maintenant F=KFIF IF constant: KT=KKFIF  GM=K FIA  mêmes équations Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Chapitre 1 - Concepts fondamentaux. 1.1 Signaux et systèmes linéaires.   1. Signaux. signal: évolution temporelle d'une grandeur physique signaux analogiques déterministes sur tÎ[0, ∞[ ou par segments Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Systèmes linéaires.   système: trait d'union entre signaux modèle: représentation mathématique de grandeurs physiques  Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 analyse (étude) de SLI à fonctionnement continu réponse s(t) (sortie) d'un SLI: fonction de l'entrée (excitation) e(t) et du système condition nécessaire de réalisabilité physique d’un SLI (causalité et énergie finie): n>m linéarité: superposition des états d’équilibre SLI: sortie de même forme que l'entrée problème: résolution mathématique limitée à n petit outil en continu: transformation de Laplace (TL)  ED linéaire à coefficients constants d'ordre n  équation algébrique de degré n variable de Laplace: variable complexe p (ou s) par TL: ED linéaire  fraction rationnelle en p  fonction de transfert (FT)  mode de fonctionnement du système   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 1.3 Etude d'un système   objet: automatiser (réguler) un système  comportement désiré autour d'un point de fonctionnement ensemble matériel: architecture (configuration) du système objectifs requis nécessitant une stratégie de commande régulation industrielle définition d'un cahier des charges recensement des variables modélisation (identification) + validation des modèles élaboration d'une architecture et d'une stratégie de commande variables à mesurer et emplacement des capteurs essais et vérification des performances Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Chapitre 2 - Représentation des systèmes. 2.1 Transformation de Laplace (T.L.)   TL unilatérale: fonction X(p (ou s)=a+jw) d’une variable réelle x(t) définie pour t  0 et nulle pour t < 0 ( causalité): x(t) à énergie finie  intégrale toujours convergente transformation linéaire  L{lixi(t)}=li[L{xi(t)}]=liXi(p) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2.2 Fonction de transfert (FT).   1. Recherche d'une FT. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 solutions de D(p)=0: pôles  modes de fonctionnement, solutions de N(p)=0  zéros de la FT systèmes réalisables(n>m): ordre  degré du dénominateur   2. Réponse d'un système. F(p) et E(p): fractions rationnelles en p utilité de la FT S(p)  s(t)=L-1{S(p)}=L-1{F(p).E(p)} TL e(t) + FT  S(p)  s(t) remarques : S(p)={éléments simples de F(p)}+{éléments simples de E(p)} pôles de F(p)  régime transitoire (fondamental: stabilité) pôles de E(p)  régime forcé (permanent, établi ou définitif) s(t): superposition régime forcé (entrée) + régime transitoire (système) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2.3 Etude fréquentielle (harmonique) d'un système.   régime harmonique: entrée en régime sinusoïdal permanent SLI de FT F(p) commandé par sinusoïde  régime établi en sortie: sinusoïde d'amplitude modifiée et déphasée par rapport à l’entrée F(jw): réponse en fréquence (p  jw)  étude fréquentielle: étude du module et de l'argument ou des parties réelle et imaginaire de F(jw) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 représentation fréquentielle(issue des études en électricité): diagrammes de Nyquist, Black, Bode et asymptotique  (r, j et w) ou (X, Y et w) possibilités: - une courbe paramétrée en w (Nyquist et Black) - deux courbes fonctions de w (Bode et diagramme asymptotique) 1. Lieu de Nyquist.   F(jw) en coordonnées polaires (phase en degrés) arguments : référence axe réel positif, sens trigonométrique >0 échelle linéaire de modules lieu décrit dans le sens des w croissants exploitable que gradué en w Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Lieu de Black .   échelle logarithmique des modules rdB=20log10r en fonction de j (°) avec axes orthogonaux intérêt: systèmes en cascade (série)  Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3. Lieu de Bode.  2 courbes séparées: rdB et j en fonction de log w octave: w multiplié ou divisé par 2 décade: w multiplié ou divisé par 10 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 4. Diagramme asymptotique.   approximation du lieu de Bode  en général seulement pour F(jw) évolution de bkwk (dénominateur) pour un octave sup Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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Chapitre 3 - FT des systèmes. 3.1 Systèmes en cascades.   (S1) et (S2) F1(p) et F2(p) en série (cascade) F(p)=S(p)/E(p)=F1(p) F2(p) attention: vrai si impédances cascades adaptées Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3.2 Systèmes en parallèle.   3.3 Asservissement d’un système. automatisation (régulation) : réponse à un cahier des charges  - conception de systèmes périphériques - élaboration stratégie de commande - vérification validité d’action structure générale d’un système asservi (SA): e(t) s(t) + s 2 (t) F 1 (p) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 Dispositif d'entrée comparateur Capteur Correcteur H(p) e(t) entrée ou consigne e (t) signal d'erreur sortie s(t) Installation à automatiser G(p) Traitement du signal capteur correcteur ou régulateur C(p) i de commande y retour + _ - retour: capteur + information du traitement du signal capteur  signal de sortie - correcteur (régulateur) dans chaîne directe C(p) - correcteur H(p) dans retour: amélioration de la dynamique ou anticipation de commande: Actionneur + capteur + installation G(p) H(p) e(t) entrée consigne signal de retour sortie commande - + e (t) signal d'erreur s(t) Correcteur C(p) i y Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 * chaîne directe: [C(p), G(p)] entre e(t) et s(t)  FT: C(p)G(p) * boucle ouverte (BO) : cascade [C(p), G(p), H(p)] entre e(t) et y(t)  FTBO: W(p)=C(p) G(p) H(p) * boucle fermée (BF): FT totale entre e(t) et s(t)  FTBF: F(p)  chaîne directe et de BO identiques Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3.4 Quelques schémas équivalents.   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3.5 Présence de perturbations.   mêmes dénominateurs: mêmes propriétés de stabilité d(t) déplacée vers l’entrée: D(p)  C(p) D(p) Installation G(p) Correcteur C(p) e(t) entrée consigne sortie - + e (t) signal d'erreur s(t) d(t) perturbation Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Chapitre 4 - Stabilité des systèmes linéaires. 4.1 Condition générale de stabilité.   * stabilité asymptotique: réponse revenant à l’équilibre initial après perturbation * instable: réponse tendant vers valeur non finie * stabilité marginale (cas limite): amplitude finale finie avec oscillation autour d'un état d'équilibre (auto oscillation ou pompage) F(p): S(p)=F(p)E(p)+I(p, CI) I(p, CI) dépend des CI et s'annule avec celles-ci dénominateur commun D(p) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 décomposition de S(p) en éléments simples du type e(t)=0 : stabilité asymptotique si s(t)  0 quand t    zi et ai <0 condition nécessaire de stabilité: tous les pôles de FTBF à partie réelle négative (pôles dans demi plan complexe gauche) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 4.2 Critère algébrique de stabilité.   1. Condition nécessaire de stabilité. D(p)==pn+Bn-1pn-1+ ... B1p+B0=0 condition algébrique nécessaire de stabilité : tous les coefficients de D(p) de même signe et non nuls 2. Règle de Routh. conditions algébriques suffisantes de stabilité: critère de Routh (Hurwitz)  tableau de Routh Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 initialisation: coefficients de D(p) sur deux lignes avec coefficients des termes de même parité  coefficients C, D et E etc. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 ligne suivante: même schéma avec les termes des deux lignes la précédant divisés par C et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne système stable: tous les éléments de 1ère colonne non nuls et de même signe si changements de signes  système instable 3. Oscillations (stabilité marginale).   coefficients d'une même ligne tous nuls: système oscillant système marginalement stable ou instable ? poursuite du tableau : ligne nulle remplacée par coefficients de la dérivée par rapport à p du polynôme issu de la dernière ligne non nulle Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 4.3 Critère (géométrique) du revers.   1. Enoncé. FTBO (retour unitaire ) W(p)=C(p)G(p)  D(p)=1+W(p=0) W(p=a+jw)=-1  point critique A(-1, 0) (limite de stabilité) a=0: p=jw, W(p)=W(jw)  lieu de Nyquist C0 aC tel que W(pc)= -1: pC  racine du système en BF a≠0: W(p)  lieu Ca Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 critère du revers: SA linéaire stable si, en décrivant le lieu de Nyquist dans le sens des fréquences croissantes, on voit au passage de l’axe réel négatif le point critique A(-1, 0) sur sa gauche instable dans le cas contraire, marginalement stable si le lieu passe en A 2. Remarques.   W(p) FTBO mais conclusion sur la stabilité en BF - si W(jw)=kG(jw): pour différents k  un seul tracé de G(jw) (fixe) et point critique en (-1/k,0) - intersection entre lieu et axe réel: FTB0 réelle  condition des gain et pulsation d'auto-oscillation Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 - critère transposable à d'autres lieux lieu de Black: point critique sur sa droite (sens inverse de Nyquist) plan de Bode: A(-1, 0)  amplitude = 1 et déphasage = 180° système stable: amplitude < 0 dB quand j = -180° - marges de sécurité (marges de gain Gm et de phase fm) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Chapitre 5 - Analyse de la réponse d’un système. 5.1 Caractéristiques liées à la forme de la FT.   (jw)k en facteur dans D(jw): k intégrations ou de type k étude sur le lieu de Nyquist 1. Points de départ (w→0).  * a0 et b0 non nuls. gain statique F(0)=a0/b0 réel, positif et fini, point de départ du lieu * b0 = 0 avec b1 et a0 non nuls pied de l’asymptote: limite de Re{F(jw)} quand w 0 limite finie Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 * b0 = b1 = 0 avec b2 et a0 non nuls branche infinie horizontale, sens des réels <0 * b0 = b1 = .. = bk =0 avec bk+1 et a0 non nuls branche infinie de direction k 90° (sens horaire) 2. Points d’arrivée (w→). 5.2 Réponses des systèmes linéaires du 1er ordre.   1. Etude fréquentielle. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 étude de G0(u)=r(u)e-jj(u)=X(u)+jY(u)   demi droite verticale d'abscisse 1 dans le plan complexe G0-1(u)  G0(u): inversion géométrique de centre O puis symétrie par rapport à l'axe réel  demi droite  demi-cercle de rayon 1/2 centré au point (1/2, 0) ( demi plan inférieur)  lieu de Nyquist de tout système d’ordre 1 en grandeurs réduites de gain et de fréquence   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007  lieux de Bode et de Black Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Etude temporelle.   a) Réponse indicielle (R.I): e(t)=E=const. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 b) Réponse impulsionnelle RI)   c) Réponse à une rampe régime forcé: terme (t-T)  pôles de E(p) régime transitoire: Texp(-t/T)  pôles de la FT Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 5.3 Etude des systèmes d’ordre 2. 1. Etude fréquentielle. a) Equations fondamentales. Coordonnées réduites. * Grandeurs réduites   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 |G0(juR)|: coefficient de surtension Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 b) Diagramme de Nyquist. famille de paraboles avec Y>0 (w>0) paramétrées en z, OX, axe de symétrie et concavité vers les réels négatifs * symétrie par rapport à l'axe Ox * inversion géométrique de centre O et de rapport 1  "cardioïde" Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Etude temporelle.   deux modes: apériodique (pôles réels) ou pseudo périodique (pôles complexes conjugués) a) Systèmes apériodiques. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 b) Systèmes pseudo périodiques. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 * Taux de dépassement et temps de réponse comportement pseudo périodique: 2 paramètres importants  (demi période d'oscillation réelle) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 régime harmonique: fonctionnements selon valeurs de z : Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Chapitre 6 - Critères de qualité des SA. Lieu d'Evans. 6.1 Performances des SA.   1. Conditions générales. - fonctionnement sûr et sans pompage - système précis - régime transitoire amorti - réponse rapide Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 perturbation p1 (mesurable): action sur s(t) par G1 perturbation p2 (non mesurable): action directe sur s(t) 2. Marges de stabilité et plan des racines.   stabilité nécessaire mais pas toujours suffisante (perturbations): marges de sécurité stable si -1/t<0 mais si pôle proche de O: transitoire long  abscisse acceptable à gauche de a<0 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 réponse indicielle:  zone interdite à droite d'un secteur d'angle ±j avec  tanj  >  w/a   marges de gain + de phase  domaine utile de fonctionnement Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 ordres de grandeur acceptables: - marge de phase de 45° à 50° - marge de gain de 10 à 15 dB - angle d’amortissement j=30 à 45° (z=0,45 à 0,5) - dépassement transitoire 15 à 20 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 6.2 Précision - Régime définitif. 1. Régime définitif des SAL. Gain en boucle ouverte.   b0 le plus petit possible, soit K0 le plus grand possible   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 * e(t)=tu(t)  limite infinie si b00 n’a de sens que si b0=0  b1/a0=1/kv (kv=a0/b1: écart de traînage) asservissement mono variable à retour unitaire: précision pas d’intégration en BO (C(0).G(0) fini)  e() = constante si q=0 et → si q>0 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

intégrations dans C(p)G(p) 1 2 3 e(t)= u(t) écart de position e(∞) :   0 : optimal e(t)=t u(t) écart de traînage e(∞) : ∞ e(t)=at²/2 u(t) écart d’accélération e(∞) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Temps de réponse d'un système.   - système apériodique: réponse définitive à x % près système pseudo périodique: instant du 1er dépassement Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 6.3 Méthode des lieux des pôles ou lieux d'Evans.   1. Introduction. méthode d'Evans: fonctionnement d'un système d’ordre n quand k varie Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 lieu avec n branches départs et d’arrivée fixés par des valeurs extrêmes de k (0 et ) instable pour lieu dans demi plan droit valeur de k du lieu coupant l’axe imaginaire: valeur critique (stabilité marginale et fréquence de pompage limite) 2. Principe. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 méthode d’Evans: FTBO et lieu gradué en k Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3. Règles pratiques de construction.   n branches et lieu symétrique par rapport à l’axe réel  a) Points de départ (k=0). kP(p)+Q(p)=0  Q(p)=0: n départs ( pôles de la FTBO)  b) Points d’arrivée(k  ∞). P(p)=0  arrivées: m arrivées (zéros de la FTBO) m<n  (n-m) directions asymptotiques (arrivées à l’infini) c) Point de concours des asymptotes. d) Branches réelles du lieu. lieu réel: somme des pôles et zéros réels à la droite du point considéré impair Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 e) Intersections avec l’axe imaginaire. important car limites de stabilité (pompage)  solution de D(jw)=0 ou critère de Routh: k annulant les coefficients d’une même ligne puis fréquences par zéros du polynôme auxiliaire construit à partir de la dernière ligne non nulle  f) Points de séparation de l’axe réel. points où le lieu quitte l'axe réel  nécessité de 2 pôles ou 2 zéros réels contigus séparation: 1+kG(x)=0  graphiquement ou Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 g) Tangente en un point de départ ou d’arrivée complexe. pour pôles ou zéros complexes  condition des angles en M infiniment voisin de Pi ou Zi  Pi ou Zi remplacé par M sauf en Pi ou Zi h) Graduation du lieu. axe réel: y=0  graduation par |G(x)|=1/k p  x+jy: 2 équations  graduation et équation analytique du lieu   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Chapitre 7 - Identification et modélisation.   nécessité de connaître la FT (ordre et coefficients) * "modèle mathématique" (de connaissance): calculs compliqués * "modèle de représentation": détermination expérimentale des coefficients de la FT à partir d’observations et d’hypothèses Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 7.2 Identification en BO: méthodes indicielles.    1. Modèle d’ordre 1: méthode de Broïda.   amplitudes à 28% et 40% de s()  t1 et t2  T=5,5(t2-t1) et t=2,8t1-1,8t2 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Modèle d’ordre 2.   a) Système pseudo périodique. dépassement D% et temps de réponse tr  z et w0  b) Système apériodique: méthode du point d'inflexion. réponse indicielle Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007   c) Méthode de Cypkin. réponse indicielle unitaire avec pôles p1 et p2 : y(t)=1-Aexp(p1t) –Bexp(p2t) e(t)=1-y(t)=Aexp(p1t) +Bexp(p2t) e(t) échantillonné à période constante t=kt  à partir de e(nt)=en, e[(n+1)t]=en+1 et e[(n+2)t]=en+2 : droite dans le plan [X, Y] Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 m=exp(p1t)+exp(p2t): pente de Y=f(X) p=-exp(p1t) exp(p2t) (<0): ordonnée à l’origine  x1=exp(p1t) et x2=exp(p2t) solutions de x2-mx+p=0  p1=-1/T1 et p2=-1/T2 d) Système apériodique: méthode de Naslin. réponse indicielle unitaire y(t)=1-Aexp(-t/T1)+Bexp(-t/T2) e1(t)=1-y(t)= Aexp(-t/T1)-Bexp(-t/T2) T2<T1 assez différents et t grand: Ln[e1(t)]~ -t/T1+LnA  droite dans{t, Lne} Ln [e2(t)]=-t/T2+LnB  droite  T1 et T2 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3. Modèle d'ordre n: méthode de Strejc.   Tu, Ta, s() et point d'inflexion I  n, T, t et k si localisation assez précise de I: tI et sI  n et T (rare) autrement, abaque de Strejc: Tu et Ta : (Tu/Ta)mes comparé à (Tu/Ta)tab  n et T retard t : t/Ta= [(Tu/Ta)mes-(Tu/Ta)tab] n=ne+nd non entier  valeur entière ne par développement limité Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 4. Système intégrateur d'ordre n. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 7.3 Méthode harmonique. signal sinusoïdal de faible amplitude superposé à l'entrée  FT peu employée car - expérience souvent très longue  - fréquences très différentes pouvant être très faibles - attente du régime établi sinusoïdal non perturbé par transitoires 7.4 Méthodes ne comportant que des observations. avantage: pas d’interventions sur l’entrée de l’installation   1. Méthodes de corrélation. G(p) avec entrée aléatoire stationnaire e(t), spectre de fréquence Fee(jw)  spectre en fréquence (sortie s(t)): Fss(jw)=G(jw)² Fee(w), interspectre Fes(jw)=G(jw) Fee(jw) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 domaine temporel: intercorrélation entrée – sortie es(t) ee dû à un bruit blanc  ee(t)=g(t): RI du procédé 2. Méthodes d’optimisation.   réglages ai et bi tels qu'un critère basé sur e rendu minimal Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Chapitre 8 - Correction et commande des systèmes. 8.1 Notions sur les correcteurs.    1. Effets attendus des correcteurs.   but de la correction: entrée et sortie identiques X: consigne à respecter  simple action ± DX autour de X avec DX=ke k: gain d'action proportionnelle (constante) commande: X+ke Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 réaction proportionnelle toujours en retard  oscillation autour de X  e et de/dt (nécessité d'anticipation des variations) correction proportionnelle et dérivée (PD) k: gain de l'action proportionnelle Td: constante de temps de dérivée ou d'anticipation Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 chaîne de régulation avec correcteur PID Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 2. Réalisation des éléments de correction.   Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3. Correction par avance ou retard de phase.   action unique sur le gain: stabilité et précision impossibles à satisfaire ensembles Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 a) Correction par avance de phase. système instable: correction par avance de phase  augmentation phase d'une valeur  près point critique Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 réponse fréquentielle: demi cercle dans 1/2 plan supérieur Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 gain correspondant: KM=1/2<1 <<1: Ca(j)~<1 <<1/: Ca(j)~(1+) ~PD >>1/: Ca(j)~1 b) Correction par retard de phase. relation avance-retard: Cr(j)dB=dB-Ca(j)dB et r(j)=-a(j) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 <1: peu d’atténuation >>1/: forte atténuation avec Cr(j)~ Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 8.2 Méthodes classiques de commande.   1. Méthode de la compensation du mode dominant. pôle dominant compensé par zéro d'un PI, PD ou PID  réduction de l'ordre et du temps de réponse 2. Méthode de Ziegler et Nichols.   essai indiciel en BO  réponse apériodique BO impossible: limite de pompage avec correcteur proportionnel P  sortie de BF juste oscillante de période T0, de gain K0 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Valeurs des paramètres du régulateur (Ziegler et Nichols) Ziegler et Nichols: paramètres de régulateurs   Transmittance C(p) du régulateur Valeurs des paramètres du régulateur (Ziegler et Nichols) Essai indiciel (a,t) Limite de pompage (K0,T0) K   K=0,5K0 Ti=3,3 t K=0,45K0 Ti=0,83T0 Ti=2t Td=0,5t K=0,6K0 Ti=0,5T0 Td=T0/8 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 3. Polynômes à amortissement réglable (polynômes normaux).   rapports et pulsations caractéristiques (ordre n) rk tous même valeur r  r : rôle facteur d’amortissement réponse dépendant essentiellement des 1ers rapports (presque exclusivement des trois 1ers) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 a) Propriétés des polynômes caractéristiques. dépassement D et rapport r (>1,6)  log(D%)=4,8-2r temps de réponse (instant du 1er dépassement): b) Influence du numérateur. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007 * numérateur de degré 1 (d2'=0) * numérateur du second degré Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007