CHAPITRE 3: DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES PARFAITS

INTRODUCTION Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en mouvement. Les éléments d’un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses différentes. L’écoulement des fluides est un phénomène complexe. On s’intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier : - L’équation de continuité (conservation de la masse), - Le théorème de Bernoulli (conservation de l’énergie) et, - Le théorème d’Euler (conservation de la quantité de mouvement)

2 EQUATION DE CONTINUITE Considérons un écoulement permanent d’un fluide incompressible de masse volumique ρ dans une conduite (voir figure suivante). dx1 dx2 dm1 M v1 v2 s1 s’1 s’2 s2 dm2

Nous avons: S1 et S2 respectivement la section d’entrée et la section de sortie du fluide à l’instant t, S’1 et S’2 respectivement les sections d’entrée et de sortie du fluide à l’instant t’=(t+dt), V1 et V2 les vecteurs vitesse d’écoulement respectivement à travers les sections S1 et S2 de la veine. dx1 et dx2 respectivement les déplacements des sections S1 et S2 pendant l’intervalle de temps dt, - M : masse comprise entre S1 et S2,

dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre les sections S1 et S’1, dm2 : masse élémentaire sortante comprise entre les sections S2 et S’2, dV1 : volume élémentaire entrant compris entre les sections S1 et S’1, dV2 : volume élémentaire sortant compris entre les sections S2 et S’2, A l’instant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse égale à (dm1+ M) A l’instant t+dt : le fluide compris entre S’1 et S’2 a une masse égale à (M+ dm2).

Par conservation de masse: dm1+M=dm2+M d’où dm1=dm2 Par conservation de masse: dm1+M=dm2+M d’où dm1=dm2...... (1) mais ρ=dm/dV Donc dm= ρ.dV. En remplaçant en (1) on aura: ρ1.dV1= ρ2.dV2….(2). Si dV=dx.S (2) devient: ρ1.dx1.S1= ρ2.dx2.S2….(3) On a un seul fluide (ρ1=ρ2=ρ)qui s’est déplacé dans la conduite dans un intervalle de temps dt, donc (3) sera: (dx1/dt).S1= (dx2/dt).S2 et v=dx/dt , par conséquence: v1.S1=v2.S2….(*) qui l’équation de continuité

qm=ρ.v.S 3.1 Débit massique: 3 NOTION DE DEBIT 3.1 Débit massique: C’est la masse de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. Donc qm=dm/dt mais d’après (1) et (2) dm=ρ.dx.S d’où qm= ρ.(dx/dt).S= ρ.v.S Donc: qm=ρ.v.S

qm= ρ. qv qv=v.S qm= ρ.v.S donc: 3.2 Débit volumique: C’est le volume de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. Donc qV=dV/dt en remplaçant par dV=dm/ρ qv=dm/dt/ρ=qm/ ρ soit qv=v.S 3.3 Relation entre le débit massique et débit volumique: qm= ρ.v.S donc: qm= ρ. qv

4. Théorème de BERNOULLI 4.1 - Le phénomène Observations Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air incliné. Une feuille de papier est aspirée lorsqu'on souffle dessus. Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente.

4.2 - Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible

On considère un écoulement permanent iso-volume d’un fluide parfait, entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il n’y a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine). Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S1 entre les instants t et t+∆t. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide était passé de la position (1) à la position (2).

(V22-V12)/2+(P2-P1)/ρ+g(z2-z1)=0 On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t+∆t : « La variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures. » On a Emec=Epot+Ecin=dm.g.z+(dm/2).v2 E2mec- E1mec= Wforces de pression= F1 .dx1- F2 .dx2 ⇔ E2mec- E1mec=P1.S1.dx1-P2.S2.dx2= P1.dV1 -P2.dV2 On a dV=dm/ρ, par conservation de masse: dm1=dm2=dm et puisque le fluide est parfait: ρ1=ρ2=ρ en simplifiant on obtient l’équation de BERNOULLI: (V22-V12)/2+(P2-P1)/ρ+g(z2-z1)=0

On a: ρ. (V22-V12)/2+(P2-P1)+ ρ g(z2-z1)=0 Donc: P+(ρ/2). V2 + ρ. g On a: ρ.(V22-V12)/2+(P2-P1)+ ρ g(z2-z1)=0 Donc: P+(ρ/2).V2 + ρ.g.z= constant P est la pression statique, ρ.g.z est la pression de pesanteur, (ρ/2).V2 est la pression cinétique. Tous les termes s’expriment en pascal. En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit ρ.g, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide). P/ ρ.g +V2/2.g + z=H

H est la Hauteur totale, P/ ρ  H est la Hauteur totale,    P/ ρ.g  est la Hauteur de Pression, z est la cote,   V2/2.g est la Hauteur cinétique,   P/ ρ.g+z est la Hauteur piézomètrique. 4. 3Cas d'un écoulement (1)vers(2) sans échange de travail Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

ou 4.4 - Cas d'un écoulement (2)vers(1) avec échange d’énergie Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail ∆W pendant une durée ∆t. La puissance P échangée est: Unités : P en watt (W), W en joule (J), t en seconde (s).

P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe) ; P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine). Si le débit-volume est qv la relation de Bernoulli s’écrit alors :   

5 APPLICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI : 5 5 APPLICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI : 5.1 Phénomène de Venturi Un conduit de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. La vitesse d’un fluide augmente dans l’étranglement, donc sa pression y diminue : vB > vA donc pB < pA

D'après l'équation de continuité, et donc La différence de pression aux bornes aux extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit ; application à la mesure des débits (organes déprimogènes) On peut citer aussi la trompe à eau, le pulvérisateur...

5.2 Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2),

Or p1 = p2 = pression atmosphérique ett v1<<v2 d'où: La vitesse d'écoulement est la même que la vitesse de chute libre entre la surface libre et l'orifice, quelle que soit la masse volumique du liquide.

6.THEOREME D’EULER : Une application directe du théorème d’Euler est l’évaluation des forces exercées par les jets d’eau. Celles-ci sont exploitées dans divers domaines : production de l’énergie électrique à partir de l’énergie hydraulique grâce aux turbines, coupe des matériaux, etc. Le théorème d’Euler résulte de l’application du théorème de quantité de mouvement à l’écoulement d’un fluide : Σ Fext=dP/ dt ; avec P = mV : quantité de mouvement.

Ce théorème permet de déterminer les efforts exercés par le fluide en mouvement sur les objets qui les environnent. Enoncé La résultante (ΣFext ) des actions mécaniques extérieures exercées sur un fluide isolé (fluide contenu dans l’enveloppe limitée par S1 et S2 ) est égale à la variation de la quantité de mouvement du fluide qui entre en S1 à une vitesse V1 et sort par S2 à une vitesse V2 . ΣFext =qm (V2−V1)

7.CONCLUSION Les lois et les équations établies dans ce chapitre en particulier l’équation de Bernoulli ont un intérêt pratique considérable du moment ou elles permettent de comprendre le principe de fonctionnement de beaucoup d’instruments de mesure de débits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le diaphragme…etc. Réservées aux fluides incompressibles, ces lois et équations peuvent être employées dans certains cas particulier pour les fluides compressibles à faible variation de pression. Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques. Cependant, lorsqu’on veut prendre en considération la compressibilité dans les calculs, il est nécessaire d’employer les formules appropriées.