Compléments mathématiques. COMPLEMENTS MATHEMATIQUES CHAPITRE 0 www.youssefbmw.fr.gd COMPLEMENTS MATHEMATIQUES Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.

SOMMAIRE I- OPERATEURS DIFFERENTIELS Champs de scalaires et de vecteurs. Circulation et flux d'un champ de vecteurs. Opérateurs différentiels: gradient, divergence, rotationnel, laplacien. II- INTEGRALES Intégrale simple, curviligne, double et triple. III- ANGLE SOLIDE

I- OPERATEURS DIFFERENTIELS 1- Champ de scalaires  Ensemble des valeurs prises par la fonction de point à variable scalaire f(x,y,z) en tout point de l’espace.  pression p(x,y,z), potentiel électrostatique V(x,y,z),….  Surfaces de niveau: lieu des points M tels que f(x,y,z)  Cte 2- Champ de vecteurs  Ensemble des valeurs prises par la fonction de point à valeur vectorielle en tout point M de l’espace.  champ de pesanteur , champ électrostatique ,…  Ligne de champ: courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ.  Tube de champ: ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.

3- Circulation et Flux d’un champ de vecteurs a- Orientation d’une surface dS (S)   Surface ouverte (S): Orienter (S)  choisir un sens  à la normale :  règle du " tire-bouchon " vecteur unitaire normal à dS.  vecteur-surface:  Surface fermée: orientée de l'intérieur vers l'extérieur. (V) dS

b- Circulation d’un vecteur M  le point d’application de décrit la courbe (C).   circulation élémentaire  c- Flux d’un vecteur à travers une surface dS M (S)   (S) surface orientée quelconque.   flux élémentaire   

4- Relations entre champs de scalaires et champs de vecteurs  Relations qui expriment des lois physiques: champ de scalaires champ de vecteurs champ de scalaires champ de vecteurs  Les opérateurs différentiels (gradient, divergence, rotationnel,…) définissent ces correspondances. 

a- Gradient: champs de scalaires champs de vecteurs  U(x,y,z) champ de scalaires, (x,y,z) coord. cartésiennes. avec  Le champ de vecteurs "dérive" du champ de scalaires U(x,y,z).

 Propriétés  le vecteur gradient est normal aux surfaces de niveau.  le vecteur gradient est orienté dans le sens des valeurs croissantes du champ de scalaires.  la circulation du gradient d'un point A à un point B est égale à la variation du champ entre A et B: B M A

b- Divergence: champs de vecteurs champs de scalaires   La divergence du champ de vecteurs est un champ de scalaires défini par (coord. cartésiennes):  On montre que le flux élémentaire d'un champ de vecteurs sortant d'une surface entourant un volume élémentaire dv est:  la divergence est le flux sortant par unité de volume

 Théorème de GREEN-OSTROGRADSKY S surface fermée quelconque entourant un volume V. champ de vecteurs. (V) dS  Champ à flux conservatif: alors:   le flux est le même à travers toute section d'un tube de champ.

c- Rotationnel: champs de vecteurs  Le rotationnel du champ de vecteurs est un champ de vecteurs défini par (coord. cartésiennes):

 (C) courbe fermée orientée.  Théorème de STOKES  (C) courbe fermée orientée. (C)  (S) surface quelconque s'appuyant sur (C). dS (S) M  Champ à circulation conservative : alors:   Si un champ de gradient est un champ à circulation conservative

d- Laplacien: champs de scalaires champs de vecteurs laplacien scalaire laplacien vectoriel

e- Nabla: opérateur vectoriel de différenciation en coord. cartésiennes

Compléments mathématiques. II- INTEGRALES 1- Intégrale simple (interprétation géométrique) A B x y  y  f(x) définie et continue sur [a,b] Si xi xi+1 f(xi) xi  xi+1  xi  [a,b] divisé en n intervalles xi infiniment petits: b a  Calcul de l'aire aABb (a  x1 , b  xn)  Aire et admet une limite:  S(a,b) est l’intégrale définie de f(x) entre les bornes a et b. Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.

2- Intégrale curviligne  f(M) fonction de point à valeur scalaire définie sur (C): A B (C) Mi+1 Mi  Si (C) découpée en n éléments , alors la somme admet une limite si n   : c’est l’intégrale curviligne de la fonction f(M) le long de l’arc de la courbe (C). 

 (S) découpée en n éléments infiniment petits de surface Si 3- Intégrale double (S) x y Si Mi  (S) découpée en n éléments infiniment petits de surface Si  (S) surface plane ou gauche  Surface plane en coordonnées cartésiennes: dx dy alors: c’est l’intégrale double de la fonction f(M) sur la surface (S). 

Compléments mathématiques. 4- Intégrale triple  (V) volume défini dans l’espace (V) vi Mi  (V) découpée en n éléments infiniment petits, centrés en Mi, de volume vi. alors: c’est l’intégrale triple de la fonction f(M) sur le volume (V).   En coordonnées cartésiennes: Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.

III- NOTION d'ANGLE SOLIDE 1- Angle plat    Arc de cercle   R secteur   R1  Arc de cercle   R si R  unité, alors    ( mesure de l’angle plat)  total  2R radian  2  radian 2- Angle solide cône dS d O  Sphère de rayon R  unité.  Le cône d’angle d découpe sur la sphère une surface élémentaire (par analogie avec l'angle plat)  d est l’angle solide sous lequel on "voit" la surface dS à partir de O total 4R2  4 stéradian

Compléments mathématiques. 3- Angle solide sous lequel on "voit" une surface quelconque dS S M O d    normale à dS   angle entre et l'axe du cône  Définition:  dS cos   projection de dS sur la sphère (O,r) passant par M. Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.