Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations de la forme: où sont des constantes et sont les inconnus.

Situation #1 Un technicien doit administrer 2 g de protéines et 0,5 g de gras à un animal de laboratoire. Il dispose de deux produits dont la composition est donnée dans le tableau suivant. On désire déterminer la quantité de chaque produit que le technicien doit administrer.

Situation #2 Les lois de Kirchhoff permettent de trouver la valeur du courant dans un circuit électrique comme celui-ci : Le système formé des équations qu’on obtient en appliquant ces lois est :

Situation #3 Les équations en chimie traduisent les quantités de substances absorbées et produites au cours d'une réaction chimique. Lors de la combustion du propane par exemple, le propane (C 3 H 8 ) se mélange à l'oxygène (0 2 ) pour former du dioxyde de carbone (C0 2 ) et de l'eau (H 2 0) selon une équation de la forme: « Pondérer» cette équation pour un chimiste signifie trouver des nombres entiers x 1,…., x 4 tels que le nombre total d'atomes de carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O) du membre de gauche soit égal aux nombres d'atomes correspondants du membre de droite (car les atomes ne sont ni détruits, ni créés au cours d'une réaction).

Le système d’équations correspondant est donc : ou le système équivalent

Situation #4 Les chercheurs, les ingénieurs et les économistes rencontrent aussi des systèmes d'équations linéaires lorsqu'ils étudient le flux de certaines quantités dans un réseau. Les urbanistes et les ingénieurs en charge de la circulation surveillent la manière dont les véhicules se répartissent dans un certain ensemble de rues d'une ville. Les ingénieurs calculent l'intensité du courant dans les circuits électriques. Et les économistes étudient la distribution des produits entre les producteurs et les consommateurs à travers un réseau de grossistes et de détaillants. Dans beaucoup de réseaux, les systèmes d'équations impliquent des centaines et parfois des milliers de variables et d'équations.

Exemple Le réseau de la figure 2 de la page suivantes montre comment s'écoule le trafic (en nombre de véhicules par heure) dans plusieurs rues à sens unique d'un quartier de Baltimore durant une période précise de la journée.

Figure 2.

Solution On écrit des équations qui décrivent le flux et on résout ensuite le système. On choisit des notations pour les intersections des rues et pour les flux inconnus sur chaque branche (voyez la figure 2). À chaque croisement, le flux qui entre en ressort.

Ce sont des opérations qu’il est possible d’effectuer sur les lignes d’un système d’équations linéaires sans changer l’ensemble solution du système. O 1 : Inverser deux lignes O 2 : Multiplier une ligne par une constante non nulle O 3 : Additionner un multiple d’une ligne à une autre ligne Notation: