TD4 : « Lois usuelles de statistiques » Loi binomiale Loi de Poisson Loi normale Table de N(0;1) Exercices sur Internet Exercices 1 et 2 du TD4 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Loi binomiale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Loi binomiale Si X1, X2, ...., Xn sont n v.a indépendantes, toutes de loi de Bernoulli de paramètre p, alors X = X1 + ... + Xn suit la loi B(n ; p). On écrit alors X > B(n ; p). On a alors : E(X) = np Var(X) = np(1 – p) Exercice : On répond au hasard à un QCM comportant 10 questions. Sur 5 propositions de réponses, une seule est bonne. Calculer la probabilité d’obtenir 3 bonnes réponses. (Réponse : Si on nomme la v.a X qui correspond au nombre de bonnes réponses, on a X > B(10 ; 0,2) et P(X = 3) = 0,2013) Les calculs peuvent être effectués à la calculatrice (voir fiche distribuée) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Loi binomiale et tableur Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Loi de Poisson La loi de Poisson se rencontre lorsque la réalisation d’un événement est rare sur un grand nombre d’observations : mortalité, panne de machines... On appelle loi de Poisson de paramètre l, notée P(l), la loi telle que : E(X) = l et var(X) = l. Une loi binomiale B(n ; p) peut être remplacée par une loi de Poisson P(l=np) dés que n>30 et p 0,1 . Exercice : Une fabrication en série présente en moyenne 1,5% de produits défectueux. On contrôle 50 articles choisis au hasard. 1) Quelle est la probabilité d’obtenir 2 articles défectueux ? 2) Quelle approximation peut-on faire ? (Réponse : X > B(50 ; 0,015) avec X la v.a qui correspond au nombre de produits défectueux. On a :P(X = 2) = = 0,133 Comme 50 > 30 et 0,015 < 1, on a X qui suit la loi de Poisson avec l= 50× 0,015 =7,5) Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Loi normale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Loi normale Une loi normale est une distribution continue Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exemples Notes à un examen Décès au Canada Les impôts Taille des français Somme de 3 dés Fréquence battements cardiaques Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Distributions normales Taille des Français Somme de 3 dés Fréquence battements cardiaques Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Loi normale La loi normale est une loi particulière Forme de cloche Symétrique 2 Points d’inflexion Infinie Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Point d’inflexion Définition : Si f est dérivable en x0, x0 est un point d'inflexion pour f si la tangente au point (x0,f(x0)) traverse la courbe représentative de f en ce point. En particulier, si f est deux fois dérivable en x0, et si x0 est un point d'inflexion de f, f''(x0)=0. Exemple : Retour Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Exemples de lois normales Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Loi normale Moyenne : valeur centrale Écart type : distance aux points d’inflexion Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Exemples de lois normales Moyenne : 0 Écart type : 3 Moyenne : 4 Écart type : 1 Moyenne : -1 Écart type : 0,5 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

36 valeurs suivent une loi normale. Alors, si on fait un tirage au hasard : Probablement proche de la moyenne Faible chance d’être loin Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Interprétation graphique Un individu pris au hasard a : 16% de chances d’être dans le gris 2,5% de chances 0,15% de chances Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

La distribution normale m 1s 2s 3s 34,1 % 50% 13,6% 2,2% Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Loi normale centrée réduite Définition : La loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1 est appelée la loi normale centrée réduite. Si X suit une  loi normale centrée réduite, E(X) = 0 et Var(X) = 1 . On écrit X > N(0;1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Loi normale centrée réduite Propriété : Soit F(u) = P(X<u), la fonction de répartition de X, de loi N(0;1). Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Exemple avec la loi centrée réduite F(u) = P(X<u) 0,0 0,5 0,1 0,5398 0,2 0,5793 0,3 0,6179 0,4 0,6554 0,6915 0,6 0,7257 0,7 0,7580 0,8 0,7881 0,9 0,8159 1,0 0,8413 1,1 0,8643 1,2 0,8849 1,3 0,9032 1,4 0,9192 1,5 0,9332 1,6 0,9452 1,7 0,9554 1,8 0,9641 1,9 0,9713 2,0 0,9772 2,1 0,9821 2,2 0,9861 2,3 0,9893 2,4 0,9918 2,5 0,9938 2,6 0,9953 2,7 0,9965 2,8 0,9974 2,9 0,9981 3,0 0,9987 La table donne les chances P d’être dans [- ∞ ; u] Exemple 1 : [- ∞ ; 1,5], F(u) = 0,9332 [0,3 ; + ∞] , P(x  0,3) =1 – P(x<0,3) = 1 – 0,6179 = 0,3821 Exemple 2 : Si les températures suivent la loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1, alors : 2,5% des jours auront une température de 2 ou plus 5% des jours auront une température de -1,6 ou moins Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

La loi normale de Laplace-Gauss C’est la loi de probabilité la plus importante, pour des raisons de pratique, et pour des raisons théoriques. Densité de probabilité : définie de  à + La v.a. est centrée et réduite P(X=a) = 0 Toute loi normale de paramètres  et  peut être ainsi transformée en loi normale centrée réduite. Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Loi normale et le tableur (1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Loi normale et le tableur (2) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Avec la calculatrice TI82 stats Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

calculatrice Casio Graph35+ Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Table de la loi centrée réduite Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Approximations Approximation normale de la loi binomiale : On a la loi binomiale B(n ; p) qui suit à peu prés la loi normale de moyenne np et de variance np(1-p) si n>30, np> 10 et np(1-p)>10. Approximation normale de la loi de Poisson : On a P(m) = N(m ; m) si m>20 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Exercices d’entraînement Exercices interactifs sur Internet : (http://wims.auto.u-psud.fr/wims/ , puis rechercher statistiques) Variables aléatoires discrètes Loi normale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercices du TD4 Exercice 1 : Considérer les figures à la fin de ce TD. 1°) Légender la figure b à partir des encadrés. 2°) Compléter les encadrés dans les figures 1 à 10. Exercice 2 : Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 1,96) ; P (U < − 1,96) ; P (U > 2,575) . 2°) P (− 1,21 < U < + 1,53) ; P ( < 1,96) ; P ( < 2,575) . 3°) u tel que P (U < u) = 0,10 ; P ( < u) = 0,8 . Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Figure 1 (Exercice 1) P(- ¥ < U < + ¥) = 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Figure 2 (exercice 1) P(U < U1) = F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Figure 3 (exercice 1) P(U > -U1) = P(U<U1) = F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Figure 4 (Exercice 1) P(U > U1) = 1 - P(U<U1) = 1 - F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Figure 5 (Exercice 1) F(-U1) = P(U < -U1) =1 - P(U>-U1) =1 – P(U<U1) =1 - F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Figure 6 (Exercice 1) P(-U1<U<U1) = 1 – P(U< -U1) –P(U>U1) = 2P(U<U1) – 1 = 2F(U1) – 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 1,96) Réponse : P(U>1,96) = 1 – P(U< 1,96) =1 – F(1,96) = 1 – 0,9750 = 0,025 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U < -1,96) Réponse : P(U<-1,96) =P(U>1,96) = 0,025 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 2,575) Réponse : P(U>2,575) = 1 – P(U< 2,575) =1 – F(2,575) = 1 – 0,9950 = 0,005 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-1,21<U<1,53) Réponse : P(-1,21<U<1,53) = P(U<1,53)-P(U<-1,21) =F(1,53) – F(-1,21) = F(1,53) – (1 – F(1,21)) = F(1,53) – 1 + F(1,21) = 0,9370 – 1 + 0,8869 = 0,8239 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-1,96 <U< 1,96) ) Réponse : P(-1,96<U<1,96) = P(U<1,96)-P(U<-1,96) =F(1,96) – F(-1,96) = F(1,96) – (1 – F(1,96)) = F(1,53) – 1 + F(1,96) = 2F(1,96) - 1 = 2x0,9750 – 1 = 0,95 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-2,575 <U< 2,575) Réponse : P(-2,575<U<2,575) = 2F(2,575) - 1 = 2x0,995 – 1 = 0,99 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 3°) P (U<u)=0,10 Réponse : P(U<u)=0,10 1-P(U<u) = 1-0,10 = 0,9 P(U<-u) = 0,90 F(-u) = 0,90 Donc –u = 1,29 et donc : u = -1,29 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 3°) P(çUç< u) = 0,8 Réponse : P(çUç< u) =2 F(u) – 1 = 0,8 F(u) =(1+0,8):2=0,9 Donc 1,28 < u < 1,29 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues