Droite des milieux : une preuve Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX 1ère heure : dessin lecture et ré-explication des pré-requis. Travail à faire à partir des diapos 6 et 10 qui auront été imprimées et diffusées, faire correspondre la lettre de la propriété dans boîte à outils (diapo 6) au numéro de la flèche de l ’organigramme (diapo10) . 2ème heure rédaction collective de la démonstration.

Sommaire Enoncé du théorème Une preuve Voir avec géoplan Construction de la figure Relire les pré-requis L' organigramme du raisonnement La rédaction de la démonstration

La droite (IJ) est parallèle à la droite (BC). Dans un triangle la droite qui passe par le milieu de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. A I J B C La droite (IJ) est parallèle à la droite (BC).

On peut vérifier que la propriété semble vraie pour différents triangles

Construire un triangle ABC Construire un triangle ABC. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC]. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC) coupe (BC) en H. On appelle M le symétrique du point H par rapport à I et N le symétrique de H par rapport à J. Prouver que AMBH et ANCH sont des rectangles. En déduire que I et J sont sur la médiatrice du segment [AH] . Puis que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

La boite à outils A : Les diagonales d ’un rectangle sont isométriques. B : Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième alors ces deux droites sont parallèles. C : Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. D : Si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle. E : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par le milieu du segment. F : Tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment. G : Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment. H : Par deux points distincts il ne passe qu'une seule droite.

Construire un triangle ABC. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC]. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC) coupe (BC) en H. On appelle M le symétrique du point H par rapport à I et N le symétrique de H par rapport à J. Prouver que AMBH et ANCH sont des rectangles. En déduire que I et J sont sur la médiatrice du segment [AH] . Puis que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. A M N I J B H C

Voir la construction pour différents triangles ABC

Les hypothèses apparaissent en bleu. Les flèches Sur la page suivante se trouve un organigramme possible de la démarche. Les hypothèses apparaissent en bleu. Les flèches représentent une propriété à retrouver dans la liste des pré-requis avant de consulter la solution rédigée attention toutes les propriétés ne sont pas utiles. !!!

J milieu de[AC] et J milieu de[NH] I milieu de[AB] et I milieu de[MH] 1 2 ANCH est un parallélogramme. AMBH est un parallélogramme. 3 Les droites (BC) et (AH) sont perpendiculaires 4 ANCH est un rectangle. AMBH est un rectangle. 5 6 AC = NH donc AJ =JH AB = MH donc AI = IH 7 8 J appartient à la médiatrice de [AH] I appartient à la médiatrice de [AH] 9 (IJ) est la médiatrice de [AH] 10 (IJ) est perpendiculaire à (AH) (AH) est perpendiculaire à (BC) (IJ) est parallèle à (BC). 11

Prouver que AMBH et ANCH sont des rectangles. I J B C H Par hypothèse J est le milieu de [AC] et par définition de la symétrie centrale J est le milieu de [NH]. Or si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. Donc ANCH est un parallélogramme. Par hypothèse AHC est un angle droit. Or si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.Donc ANCH est un rectangle. Il reste à effectuer un travail analogue pour prouver que AMBH est un rectangle.

En déduire que I et J sont sur la médiatrice du segment [AH] . B C H Les diagonales du rectangle ANCH se coupent en leur milieu et sont isométriques. Donc AC/2 = NH/2 et AJ = JH. Ce qui prouve que J est équidistant de A et H donc J appartient à la médiatrice du segment [AH]. Explique pourquoi I est sur la médiatrice de [AH]

Puis que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles M Puis que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles I J B C H I et J sont équidistants des points A et H . Ce sont deux points distincts de la médiatrice. Or par deux points distincts il ne passe qu'une seule droite. Donc la droite (IJ) est la médiatrice du segment [AH]. La médiatrice d'un segment est perpendiculaire au segment. Les droites (IJ) et (BC) sont perpendiculaires à la droite (AH). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. Donc (IJ) et (BC) sont parallèles.

Dans un triangle la droite qui passe par le milieu de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. A I J B C