Puma Aurélie 2ème math Théorème du papillon

Énoncé : Soit un cercle de centre O.

Énoncé : Soit un cercle de centre O Énoncé : Soit un cercle de centre O. M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle.

Énoncé : Soit un cercle de centre O Énoncé : Soit un cercle de centre O. M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle. [AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M.

Énoncé : Soit un cercle de centre O Énoncé : Soit un cercle de centre O. M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle. [AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M. [AD] coupe [PQ] en X et [BC] coupe [PQ] en Y.

Énoncé : Soit un cercle de centre O Énoncé : Soit un cercle de centre O. M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle. [AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M. [AD] coupe [PQ] en X et [BC] coupe [PQ] en Y. Prouvons que M est aussi le milieu de [XY].

Démonstration 1) |Â| = |Ĉ| et |B| = |D| car ce sont des angles inscrits interceptant le même arc. 2) Les triangles AMD et CMB sont donc semblables (angles correspondants de même amplitude). Nous avons donc une égalité de rapport entre les longueurs des côtés correspondants: |AD| / |AM| = |CB| / |CM|

Démonstration 1) |Â| = |Ĉ| et |B| = |D| car ce sont des angles inscrits interceptant le même arc. 2) Les triangles AMD et CMB sont donc semblables (angles correspondants de même amplitude). Nous avons donc une égalité de rapport entre les longueurs des côtés correspondants: |AD| / |AM| = |CB| / |CM| 3) Traçons [OH]  [AD] et [OJ]  [CB]. H et J sont les milieux respectifs de [AD] et [CB] car toute perpendiculaire à une corde passant par le centre d’un cercle est la médiatrice de cette corde. |AD|= 2 |AH| et |CB|= 2 |CJ|

4) Remplaçons |AD| et |CB| dans le rapport du point 2 4) Remplaçons |AD| et |CB| dans le rapport du point 2. Nous avons donc : |AH| / |AM| = |CJ| / |CM| Comme |Â| = |Ĉ| alors les triangles AMH et CMJ sont semblables.

4) Remplaçons |AD| et |CB| dans le rapport du point 2 4) Remplaçons |AD| et |CB| dans le rapport du point 2. Nous avons donc : |AH| sur |AM| = |CJ| / |CM| Comme |Â| = |Ĉ| alors les triangles AMH et CMJ sont semblables. 5) |AHM| = |CJM| car ce sont des angles correspondants.

6) Traçons [OM] médiatrice de [PQ].

6) Traçons [OM] médiatrice de [PQ]. 7) Le quadrilatère XMOH est inscriptible car les angles XHO et XMO sont opposés et supplémentaires.

6) Traçons [OM] médiatrice de [PQ]. 7) Le quadrilatère XMOH est inscriptible car les angles XHO et XMO sont opposés et supplémentaires. 8) Le quadrilatère YMOJ est inscriptible car les angles YJO et OMY sont opposés et supplémentaires.

9) |XHM| = |MOX| car ce sont des angles inscrits interceptant le même arc.

9) |XHM| = |MOX| car ce sont des angles inscrits interceptant le même arc. 10) |YJM| = |MOY| car ce sont des angles inscrits interceptant le même arc. Nous savons que |XHM| = |YJM| (Voir point 5). Donc, |MOX| = |MOY|.

9) |XHM| = |MOX| car ce sont des angles inscrits interceptant le même arc. 10) |YJM| = |MOY| car ce sont des angles inscrits interceptant le même arc. Nous savons que |XHM| = |YJM| (Voir point 5). Donc, |MOX| = |MOY|. Conclusion: Les triangles XMO et YMO sont des triangles isométriques (ACA). M est donc le milieu de [XY].