Guy Gauthier, ing., Ph.D. 6 janvier 2015 Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Guy Gauthier, ing., Ph.D. 6 janvier 2015 Source de l’image: www.mlssystems.com/thermoforming.htm

Présentation du plan de cours et du site Internet Plan de cours: https://planets.etsmtl.ca/public/Versionpdf.aspx?session=20151&s igle=SYS823&groupe=00 Site Internet du cours: https://cours.etsmtl.ca/sys823 SYS-823 - Été 2013

Introduction SYS-823 - Été 2013

Modélisation La modélisation permet de représenter un procédé de façon simplifié. Cela aide à en faire l’analyse. Modèle câblé sur calculateur analogique; Modèle mathématique. La modélisation implique de faire des hypothèses sur le procédé ou certains de ses paramètres pour pouvoir faire certaines simplifications. Il faut toutefois s’assurer de ne pas négliger des paramètres importants du procédé. SYS-823 - Été 2013

Modélisation Par exemple, imaginez un réservoir rempli d’eau. On doit modéliser le comportement du niveau et de la température de l’eau dans le réservoir. On assume un mélange parfaitement homogène. Ajout d’eau froide augmente le niveau et refroidit le contenu du réservoir. Le chauffage de l’eau augmente la température. Sur une plage de variation de 60 °C le volume varie d’environ 1.7 %. On peut choisir de négliger cette variation dans le modèle, puisqu’elle affectera peu la commande en température ou de niveau. http://bernard.pironin.pagesperso- orange.fr/aquatech/Equipements/expansion.htm SYS-823 - Été 2013

Les raisons de modéliser Entraînement des opérateurs; Design des procédés; Sécurité; Design des systèmes de contrôle. SYS-823 - Été 2013

L’entrainement de opérateurs Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation d'un processus de production. Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;… Un modèle d’un procédé peut être utilisé pour former les opérateurs en effectuant des simulations. Simulateur de vol;… SYS-823 - Été 2013

Le design de procédés industriels Le modèle mathématique d’un procédé industriel peut être utilisé lors de la phase de design pour faciliter le dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité de production voulu. Dimensionnement d’un réacteur chimique pour obtenir une certaine capacité de production. SYS-823 - Été 2013

La sécurité d’un procédé La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance d’un équipement, le système va en se détériorant ou non. Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un certain seuil après la défaillance d’une valve. On aussi utiliser le modèle d’un procédé pour faciliter le design d’un système de sécurité. SYS-823 - Été 2013

Le design de systèmes de contrôle Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour assurer que les variables du procédé restent à des valeurs désirées. Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un échangeur de vapeur. Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils peuvent être implantés sur le procédé réel. SYS-823 - Été 2013

Modélisation d’un système dynamique

Éléments d’un système dynamique Entrées contrôlables Système (procédé) Sorties Perturbations Paramètres États du système SYS-823 - Été 2013

Système dynamique Le modèle d’un système dynamique repose sur des équations différentielles (linéaires ou non). Ces équations peuvent être d’un ordre quelconque et mettent en relations les entrées (contrôlables ou perturbantes) et les sorties. Pour comprendre et analyser le comportement du système, on doit résoudre ces équations différentielles. On introduit des variables d’état permettant de suivre ce qui se passe dans le système, d’en analyser les points d’équilibre, et d’étudier la stabilité à ces points. SYS-823 - Été 2013

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles de premier ordre: SYS-823 - Été 2013

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) SYS-823 - Été 2013

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) SYS-823 - Été 2013

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations SYS-823 - Été 2013

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations Vecteur des paramètres SYS-823 - Été 2013

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Sorties du système: SYS-823 - Été 2013

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Sorties du système: Vecteur des sorties (p sorties) SYS-823 - Été 2013

Ces équations proviennent de… …lois et relations mathématiques des domaines suivants: Physique mécanique Physique électrique Chimie Mécanique des fluides Thermo-dynamique Biologie Physique nucléaire Physiologie SYS-823 - Été 2013

Exemples Chimie Loi d’Arrhenius Physique mécanique Lois de Newton Physique électrique Relation courant tension d’une inductance Thermo-dynamique Les principes de la thermodynamique Physiologie Pharmacocinétique (modèles à 1, 2 ou 3 compartiments) SYS-823 - Été 2013

Types… Linéaire Non-linéaire Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être: Le système peut-être invariant dans le temps. Paramètres indépendants de la variable t. Le système peut ne pas avoir d’entrées. Il est alors qualifié d’« autonome ». La solution de l’équation différentielle est qualifiée « solution homogène. » Le système peut être continu ou discret. Dans ce dernier cas, certains signaux sont échantillonnés. Linéaire Non-linéaire SYS-823 - Été 2013

Différentes approches de modélisation Équations différentielles ordinaires (EDO); Transformées de Laplace; Équations d’état. SYS-823 - Été 2013

Exemple des 3 approches Soit un système mécanique: u(t) = force externe (entrée); y(t) = déplacement de la masse (sortie). Conditions initiales nulles. Équation différentielle ordinaire: SYS-823 - Été 2013

Approche – équations différentielles Solution: Divisant par m : SYS-823 - Été 2013

Obtention de la sortie y(t) Puis (dans le cas où dzêta<1): Si f(t) est un échelon d’amplitude A/m et les conditions initiales nulles. SYS-823 - Été 2013

Approche – transformée de Laplace Solution. Transformée de Laplace : SYS-823 - Été 2013

Approche – transformée de Laplace Puis : Ce qui donne: SYS-823 - Été 2013

Approche – transformée de Laplace Si u(t) est un échelon d’amplitude A: Donc : SYS-823 - Été 2013

Approche – transformée de Laplace Et la transformé de Laplace inverse donne: Donc : SYS-823 - Été 2013

Manipulations plus simples Bilan Manipulations plus simples SYS-823 - Été 2013

Approche – équations d’état Solution. Équation de départ : Posant : SYS-823 - Été 2013

Approche – équations d’état L’équation se réécrit: Donc, nous avons le système d’équations suivant : SYS-823 - Été 2013

Approche – équations d’état Sous forme matricielle : La sortie y(t) s’écrit : SYS-823 - Été 2013

Approche – équations d’état Valeurs propres de la matrice A : Le comportement du système déprendra de ces valeurs propres… SYS-823 - Été 2013

Approche – équations d’état La sortie y(t) s’écrit : Exponentielle d’une matrice !!! SYS-823 - Été 2013

Modélisation de la circulation (modèle simplifié) Exemple de base simplifié illustrant le comportement de la circulation, à partir d’un modèle ultra simplifié d’un véhicule. SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Frustré(e) d’être pris(e) dans la circulation ? Voyons ce qu’il se passe au feux de circulation. SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Modèle d’une voiture: Obstacle: Voiture; Feu de circulation; Arrêt. Vitesse de la voiture: Arrière de la voiture Avant de la voiture SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile À un feu rouge: Distance entre les deux voitures (arrière): SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Dérivons cette distance: Le feu passe au vert: En vertu du modèle, la voiture #1 voit sa vitesse passer instantanément de 0 à c; La voiture #2 accélère plus lentement (toujours en vertu du modèle); Ainsi: SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Solutionnons cette équation: Multipliant les deux cotés par u(t): Puis simplifiant: SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Cela implique que: En intégrant: Puis simplifiant: SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Finalement: Soit la situation suivante à analyser: L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h). Du modèle, cela implique que m = 5/4 et b = -5. SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Avec la condition initiale suivante x(0) = l = 4 m, alors: …et la dynamique de x(t) est: (en mètres). SYS-823 - Été 2013

Circulation automobile Vitesse du second véhicule (en mètres par seconde): SYS-823 - Été 2013

Rappels de notions de systèmes asservis

Rappel – Signaux d’entrée SYS-823 - Été 2013

Rappel – Transformée de Laplace SYS-823 - Été 2013

Rappel – Transformée de Laplace Fonction sinusoïdale amortie: Fonction « cosinusoïdale » amortie: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Propriétés de la transformée de Laplace SYS-823 - Été 2013

Rappel – Décomposition en fractions partielles 3 cas possibles: Les racines du dénominateur sont réels et distincts; Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures. SYS-823 - Été 2013

Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #1 Exemple: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #2 Exemple: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #3 Exemple: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Diagramme de Bode Représentation d’un nombre complexe: Soit: En posant s = jω, on obtient: C’est un nombre complexe. SYS-823 - Été 2013

Rappel – Diagramme de Bode Amplitude du nombre complexe: Exprimé en décibel: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Diagramme de Bode Phase d’un nombre complexe: Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme de Bode. SYS-823 - Été 2013

Rappel – Diagramme de Bode SYS-823 - Été 2013

Rappel – Diagramme de Nyquist Partie réelle et imaginaire en fonction de la fréquence angulaire. SYS-823 - Été 2013

Rappel – Marges de phase et de gain Diagramme de Bode: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Marges de phase et de gain Diagramme de Nyquist: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Lieu des racines Position des pôles en boucle fermée: SYS-823 - Été 2013

Rappel – Lieu des racines Dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée: Localisation des pôles de T(s) est fonction du gain K SYS-823 - Été 2013

Outils matlab/simulink SYS-823 - Été 2013

MATLAB® Création d’un modèle: Système bilinéaire: Fonction bilin_ss.m:

MATLAB® Points d’équilibre: Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles. Commande « fsolve »: SYS-823 - Été 2013

MATLAB® Pour obtenir la dynamique du système: Fonction bilin_dyn.m: Exécution: SYS-823 - Été 2013

MATLAB® SYS-823 - Été 2013

MATLAB® Champ vectoriel SYS-823 - Été 2013

SIMULINK® Simulation via schémas blocs: SYS-823 - Été 2013

Fin de la présentation SYS-823 - Été 2013

Chimie Réaction chimique: Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de la température). Loi d’Arrhenius: k : constante de la vitesse de réaction E : Énergie d’activation (calorie/gramme-mole); R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/kelvin); A : Facteur de fréquence; T : Température en kelvin. SYS-823 - Été 2013

Physique mécanique Lois de Newton: 1ère loi (principe de l’inertie) : Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie d’un solide soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant). SYS-823 – Hiver 2015

Physique mécanique Lois de Newton: 2e loi (théorème du centre d’inertie) : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle  des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l’objet par son vecteur accélération. SYS-823 - Été 2013

Physique mécanique Loi de Newton: 3e loi : Lorsqu'un solide S1 exerce une force sur un solide S2, le solide S2 exerce sur le solide S1, la force directement opposée. SYS-823 - Été 2013

Physique électrique Relation tension/courant dans une inductance: Relation tension/courant dans un condensateur: SYS-823 - Été 2013

Thermodynamique Les principes: 0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique. 1 : L’énergie est toujours conservée. Transformation d’une forme d’énergie à une autre. 2 : L’énergie se dégrade. Passage de l’énergie potentielle à l’énergie cinétique (frottement, chaleur,…). SYS-823 - Été 2013

Physiologie Modèles à compartiments: Dynamique du cholestérol: SYS-823 - Été 2013

Sources d’images/modèles Figures aux acétates #49, #50 et #52: Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008; Modèle de circulation: http://www.math.toronto.edu/mathnet/carcompet/model.ht ml (visité le 6 septembre 2012) , 1997; Figure à l’acétate #80: Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., «  Compartment models », http://www4.ncsu.edu/~msolufse/Compartmentmodels.pdf (visité le 6 septembre 2012) , 2005. SYS-823 - Été 2013