Licence d’informatique Algorithmique des graphes Application des flots. Connexité d’un réseau Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l ’IFSIC dans le cadre de leur formation. Reproduction ou diffusion en dehors de l ’IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l’ auteur.

Ajout de (f,i) => Graphe (e,s)-1-connexe b f i s c g j Graphe (e,s)-0-connexe Ajout de (f,i) => Graphe (e,s)-1-connexe (la suppression de cet arc déconnecte le réseau) Ajout de (d,i) => Graphe (e,s)-2-connexe (il faut supprimer au moins deux arcs pour déconnecter le réseau) Ajout de (d,h) => Graphe (e,s)-3-connexe ? NON ! (il suffit de supprimer DEUX arcs pour déconnecter le réseau)

Ajout de (f,i) => Graphe (e,s)-1-connexe b f i s c g j Graphe (e,s)-0-connexe Ajout de (f,i) => Graphe (e,s)-1-connexe (la suppression de cet arc déconnecte le réseau) Ajout de (d,i) => Graphe (e,s)-2-connexe (il faut supprimer au moins deux arcs pour déconnecter le réseau) Ajout de (d,h) => Graphe (e,s)-3-connexe ? NON ! (il suffit de supprimer DEUX arcs pour déconnecter le réseau) (e, a) (e, b)

Ajout de (f,i) => Graphe (e,s)-1-connexe b f i s c g j Graphe (e,s)-0-connexe Ajout de (f,i) => Graphe (e,s)-1-connexe (la suppression de cet arc déconnecte le réseau) Ajout de (d,i) => Graphe (e,s)-2-connexe (il faut supprimer au moins deux arcs pour déconnecter le réseau) Ajout de (d,h) => Graphe (e,s)-3-connexe ? NON ! (il suffit de supprimer DEUX arcs pour déconnecter le réseau) (e, a) (e, b)

Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! b f i s c g j Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! On peut déconnecter le réseau en supprimant seulement 3 arcs : (e, a)

Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! b f i s c g j Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! On peut déconnecter le réseau en supprimant seulement 3 arcs : (e, a) (e, b)

Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! b f i s c g j Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! On peut déconnecter le réseau en supprimant seulement 3 arcs : (e, a) (e, b) (e, c)

Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! b f i s c g j Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! On peut déconnecter le réseau en supprimant seulement 3 arcs : (e, a) (e, b) (e, c)

Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! b f i s c g j Ajout de (g,j) => Graphe (e,s)-4-connexe ? NON! On peut déconnecter le réseau en supprimant seulement 3 arcs : (e, a) (e, b) (e, c) DONC CE GRAPHE EST (e,s)-3-CONNEXE

Nombre de connexité (robustesse) Définition : k =Nombre minimal d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau En supprimant strictement moins de k arcs, quels qu’ils soient, on ne peut pas déconnecter le réseau Il existe un ensemble de k arcs (ensemble d ’articulation) dont la suppression déconnecte le réseau

Nombre de connexité (robustesse) Définition : k =Nombre minimal d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau Relation avec les problèmes de flots : Un ensemble d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau constitue une coupe du réseau e s

Nombre de connexité (robustesse) Définition : k =Nombre minimal d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau Relation avec les problèmes de flots : Un ensemble d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau constitue une coupe du réseau e e s

Nombre de connexité (robustesse) Définition : k =Nombre minimal d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau Relation avec les problèmes de flots : Un ensemble d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau constitue une coupe du réseau e e s

Nombre de connexité (robustesse) Définition : k =Nombre minimal d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau Relation avec les problèmes de flots : Un ensemble d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau constitue une coupe du réseau => Recherche d ’une coupe de cardinal minimal => Recherche d ’un flot de valeur maximale (arcs de capacité 1)

Recherche d une coupe minimum: (+2) 1 1 8 (-6) 1 7 6 5 1 1 1 2 1 1 9 1 (+7) e s (+) 1 (-7) 1 1 3 1 10 (+4) 1 1 1 (+4) 4 11 (+e) Valeur : 3 Marquage Flot maximum Recherche d une coupe minimum:

Recherche d une coupe minimum: (+2) 1 1 8 (-6) 1 7 6 5 1 1 1 2 1 1 9 1 (+7) e s (+) 1 (-7) 1 1 3 1 10 (+4) 1 1 1 (+4) 4 11 (+e) Valeur : 3 Marquage Flot maximum Recherche d une coupe minimum:

La suppression de ces trois arcs déconnecte le réseau (+2) 1 1 8 (-6) 1 7 6 5 1 1 1 2 1 1 9 1 (+7) e s (+) 1 (-7) 1 1 3 1 10 (+4) 1 1 1 (+4) 4 11 (+e) La suppression de ces trois arcs déconnecte le réseau

Théorème de Menger Nombre de connexité : k =Nombre minimal d ’arcs dont la suppression déconnecte le réseau k =Nombre maximal de chemins de e à s disjoints au sens des arcs flot : ensemble de chemins disjoints au sens des arcs Valeur du flot : cardinal de cet ensemble => Recherche d ’une coupe de cardinal minimal => Recherche d ’un flot de valeur maximale (arcs de capacité 1)