Probabilités (suite)

Chapitre 2: Variables aléatoires réelles discrètes

1.0 Introduction Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle mathématique sur la base de trois éléments: W: l’ensemble fondamental des résultats; Une famille d’événements associés à W; Une fonction de probabilité P. Cependant, souvent, on ne s’intéresse pas aux résultats eux-mêmes mais plutôt à une ou des caractéristiques particulières de ces résultats. Une variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience.

1.0 Introduction Lorsqu’on lance une pièce de monnaie 3 fois, les résultats ont la forme: (F,P,F), (F,P,P), etc. Ce qui nous intéresse, ce n’est pas tellement un triplet particulier mais plutôt une caractéristique de ce triplet: par exemple le nombre de faces. De plus, il arrive souvent que les résultats ne soient pas définis sous forme numérique; par conséquence, il est pratiquement impossible d’effectuer des opérations mathématiques sur des résultats comme des triplets (P,F,P). Il est donc utile de faire correspondre à chacun des résultats non numériques un résultat de type numérique; ainsi à chaque triplet on fera correspondre, par exemple, le nombre réel défini comme le nombre de faces dans le triplet.

1.0 Introduction Exemple introductif: Dans l’espoir d’être mieux informé sur des intentions de vote lors de prochaines élections au Maroc, on décide d’effectuer un sondage éclair. On choisit trois étudiants au hasard dans la classe, et on décide de les interroger sur leurs intentions de vote. On suppose qu’il y a simplement 2 partis: le parti vert (V) et le parti mauve (M). En assignant à chacun des trois étudiants la lettre V s’il se déclare pour le parti Vert et la lettre M s’il se déclare pour le parti Mauve, on obtient l’ensemble fondamental comme suit: W= {(M,M,M), (M,V,M), (M,M,V), (V,V,V), (V,M,V),(V,V,M), (M,V,V) (V, M,M)}.

1.0 Introduction (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) Cependant, on ne s’intéresse pas à un résultat particulier, par exemple, si le premier étudiant vote pour le parti Mauve, mais plutôt disons, au nombre d’étudiants qui voteront pour le parti Mauve. Dans cette perspective, il est utile de définir une variable aléatoire qui permet d’associer à chaque résultat un nombre réel x, ce nombre étant le nombre de “Verts” dans l’échantillon de 3 étudiants: (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) 1 2 3 X: W w

2.1 Variables aléatoires: Définition Définition : On définit une variable aléatoire réelle lorsqu’on associe un nombre réel à chacun des résultats possibles: La variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience Exemple : Dans le cas de lancer d’une pièce de monnaie, on peut définir par exemple une variable aléatoire en associant 0 au résultat pile et 1 au résultat face: X(pile)=0 et X(face)=1. Notations: - Une variable aléatoire est identifiée par une lettre majuscule: Soit X le nombre de faces obtenues en lançant 3 pièces de monnaies - Les résultats, les valeurs que X peut prendre sont représentés par une lettre minuscule x : x= 0, 1, 2 ou 3 faces

2.1 Variables aléatoires: Variable aléatoire discrète/exemple Variable aléatoire discrète (V.A.D.) : Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable; La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3... Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Contacter cinq clients Nombre de clients qui passent une commande 0,1,2,3,4,5 Inspecter une cargaison de 50 radios Nombre de radios défectueuses 0,1,2,…,49,50 Gérer un restaurant pendant une journée Nombre de clients 0,1,2,3,…

2.1 Variables aléatoires: Variable aléatoire continue/exemple Variable aléatoire continue (V.A.C.) : Lorsque l’ensemble des résultats est un intervalle de nombres réels ou une suite d’intervalles: Poids, température, temps, distance, etc. Dans ce chapitre, on ne prendra que des variables aléatoires discrètes. Expérience Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Gérer une banque Temps écoulé entre les arrivées des clients en minutes x≥0 Remplir une canette de soda (max=12,1 onces) Nombre d’onces 0≤ x ≤12,1 Travailler sur un projet de construction Pourcentage du projet réalisé après six mois 0≤ x ≤100

2.2 Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité d’une variable aléatoire discrète (v.a.d.) La distribution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v.a. Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité d’une v.a. discrète c’est associer à X, chacune des valeurs possibles de la v.a., la probabilité qui lui correspond Pour une variable aléatoire discrète X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x). Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x. f(x)  0  x  et  f(xi) = 1

2.2 Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité d’une variable aléatoire discrète (v.a.d.): Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer deux dés, on considère la v.a. X = la somme des résultats des deux dés. Construire un tableau de distribution de probabilité: L’ensemble des réalisations de X est : x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Il faut maintenant calculer la fonction de probabilité f(x); tableau de distribution de probabilités (fonction de masse de probabilité): x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) ou f(x) 36

Le nombre de votants pour le parti vert 2.2 Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité d’une variable aléatoire discrète (v.a.d.): Exemple X: W w (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) 1 2 3 f(0)=1/8 f(3)=1/8 f(2)=3/8 f(1)=3/8 Le nombre de votants pour le parti vert

2.3 Fonction de répartition Définition: Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de répartition de X la fonction, FX, qui à tout réel k associe : Exemple: Soit X une variable aléatoire renvoyant la valeur d’un lancé de dé non pipé et soit FX sa fonction de répartition. Voici quelques exemples de valeurs que peut prendre FX :

2.3 Fonction de répartition Exemple somme de 2 dés 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) f(x) 36 P(Xx) F(x) 15 21 26 30 33 35

2.3 Fonction de répartition Représentation graphique

2.3 Fonction de répartition Propriétés : Soit X, une variable aléatoire réelle. FX est une fonction de répartition de X si et seulement si : 1. FX est croissante sur IR 2. FX est continue à droite en tout point de IR Démonstration:

2.3 Fonction de répartition

2.3 Fonction de répartition Exemples: 1. la fonction définie sur IR par est une fonction de répartition d’une variable aléatoire, c’est la fonction indicatrice de l’ensemble [3,+∞[. En effet, elle est croissante, continue à droite de tout réel, tend vers 0 si x tend vers -∞ et tend vers 1 si x tend vers +∞ 2. la fonction définie sur IR par ne peut pas être une fonction de répartition d’une variable aléatoire. En effet, F n’est pas continue à droite de 3.

2.3 Moments d’une variable aléatoire: Espérance L’espérance d’une variable aléatoire réelle est un réel approximant la valeur la plus probable que cette variable aléatoire peut prendre. C’est à dire une estimation du résultat moyen qu’on aura au cours d’une expérience aléatoire. Définition: Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble E. Si la somme est finie alors X admet une espérance. L’espérance est un nombre, se notant E(X) et égal à : Exemple: Prenons pour exemple, une variable aléatoire X affichant le résultat d’un lancé de dé; l’espérance de X est donnée comme suit:

2.3 Moments d’une variable aléatoire: Espérance Propriétés (*): Soient X et Y deux variables aléatoires admettant une espérance. 1. Pour tout réel µ : E(µ) = µ ; 2. Linéarité : La variable aléatoire X + µ Y admet aussi une espérance qui est égale à : E(X + µ Y ) = E(X) + µ E(Y ); 3. Positivité : Si X ≥0 alors : (a) E(X) ≥ 0 (b) et si de plus E(X) = 0 alors P(X = 0) = 1 (c’est à dire X est une constante égale à 0). 4. Croissance : Si X ≥ Y , c’est à dire si pour toute valeur de X toute valeur de Y est inférieur, alors : E(X) ≥ E(Y ) Démonstration : 1. Calculer l’espérance d’un réel µ, consiste à calculer l’espérance d’une variable aléatoire X constante et égale à µ. En prenant donc une variable aléatoire X ne prenant qu’une unique valeur µ , on a p(X= µ )=1 alors E(X)= µ. p(X= µ )= µ

2.4 Moments d’une variable aléatoire: Espérance 3. (a) Si X≥0, E(X) sera la somme de plusieurs termes positifs; (b) Si de plus E(X)=0, pour les k>0, p(X=k)=0; alors que pour k=0, on aura p(X=k)=1. 4. Si X≥Y, alors X-Y ≥0 d’où E(X-Y)=E(X)-E(Y)≥0 d’où E(X)≥E(Y). Remarques: 1. Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, alors cette dernière est une constante; par conséquence E(E(X))=E(X). 2. Les propriétés (*) seront utilisés dans la prochaine partie pour étudier les propriétés de la variance. 3. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble E et une fonction. Si la somme est finie, on montrer (voir TD 2)

2.4 Moments d’une variable aléatoire: Variance En réalité, l’introduction du concept dit variance n’est qu’une première étape dans le processus de construction du concept dit écart type qui représente un moyen approximant la dispersion des valeurs que la variable aléatoire étudie peut prendre autour de son espérance. L’écart type est donc proportionnelle à la distance des valeurs que peut prendre une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne. Définition: Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble E. Si la somme est finie alors, X admet une variance. La variance est un nombre, se notant V(X) et égal à Remarque: une La variance a la forme d’un somme de plusieurs erreurs

2.4 Moments d’une variable aléatoire: Variance Propriétés: Soit X une variable aléatoire admettant une variance et donc une espérance. 1. 2. La variance est toujours positive. 3. Soient a et b deux réels, 4. Si V(X) = 0 alors X est égale à une constante. Démonstration: Ces propriétés se reposent sur les propriétés de l’espérence mathématique montrées dans (*) Exemple: Prenons comme exemple, une variable aléatoire X affichant le résultat d’un lancé de dé.

2.4 Moments d’une variable aléatoire: Ecart type L’écart type d’une variable aléatoire réelle est un réel approximant la dispersion moyenne des valeurs que cette variable aléatoire peut prendre autour de son espérance. L’écart type est donc l’écart moyen à la valeur moyenne que peut prendre une variable aléatoire. Définition: Soit X une variable aléatoire possédant une variance. L’écart type de la variable aléatoire X est un réel égal à : Exemple: Prenons comme exemple, une variable aléatoire X affichant le résultat d’un lancé de dé.

2.4 Indépendance Définition: Soit X une variable aléatoire à valeurs dans EX et soit Y une variable aléatoire à valeurs dans EY . Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si et seulement si : Il faut noter que la notion d’indépendance peut se généraliser à une famille quelconque de variables aléatoires. Proposition: Soient X et Y deux variables aléatoires possédant une espérance. Si X et Y sont indépendantes alors : Démonstration: Pour montrer 2., il suffit d’utiliser la linéarité de l’espérance et la relation 1.

2.5 Lois discrètes usuelles 2.5.1 Loi de Bernoulli; 2.5.1 Loi Binomiale; 2.5.1 Loi de Poisson.

2.5 Lois discrètes usuelles: 2.5.1 Loi de Bernoulli Définition: Soit . Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si : X ne prend que les deux valeurs 0(nommé échec de l’expérience) et 1(nommé succès de l’expérience) et p(X = 1) = p et p(X = 0) = 1-p. Notation: X suit la loi de Bernoulli de paramètre p se note : X~B(p). Exemple: Prenons comme exemple, une variable aléatoire X renvoyant la couleur d’une boule tirée dans une urne contenant 15 boules blanches et 20 boules noires. Notons 0 l’évènement obtenir une boule blanche et 1 obtenir une boule noire, X suit B(4/7). Propriété : Si X suit B(p), alors: E(X) = p, V(X)=p.(1-p)

2. 5 Lois discrètes usuelles: 2. 5 2.5 Lois discrètes usuelles: 2.5.2 Processus Bernoulli et expérience binomiale Propriétés: L’expérience est une série de n tirages identiques Deux événements sont possibles à chaque tirage: succès et échec La probabilité de succès, notée p, ne se modifie pas d’un tirage à l’autre. La probabilité d’échec q=1-p ne se modifie pas non plus Les tirages sont indépendants Lorsque les propriétés 1, 2, 3, et 4 sont satisfaites, il s’agit d’une expérience binomiale Exemples: La lancé d’une pièce de monnaie fois est une expérience binomiale.

2. 5 Lois discrètes usuelles: 2. 5 2.5 Lois discrètes usuelles: 2.5.2 Distribution binomiale=loi binomiale Définition: Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès lorsqu’on effectue n épreuves de Bernoulli de paramètre p, alors X obéit à une distribution binomiale ou X suit B(n,p). Propriétés: Si X suit B(n,p), alors: Démonstration: 2. Puisque X suit B(n,p), alors elle représente n expérience de Bernoulli de paramètre p. Par conséquent : X = X1 + X2 +… + Xn où chaque Xi est une variable suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. Vue la linéarité de l’espérance, on a E(X)= E(X1) + E(X2) +… + E(Xn)=n.p 3. Puisque les Xi sont indépendantes, alors V(X)= V(X1) +… + V(Xn)=n.p(1-p) f(x)=C(n,x)p(X=R1;X=R2;…;X=Rn-1;Xn=Rn) avec x succès vue l’indépondance et la chance de succès on aura px et pn-x

Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer 2 dés où un succès consiste à obtenir une somme égale à 7. Si on répète 4 fois cette expérience aléatoire, quelle est la probabilité d’obtenir 2 succès ? p= q= n= x= Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 3 succès?

Distribution de Poisson (distribution des événements rares) Une v.a.d. souvent utilisée pour décrire le nombre d’occurrences d’un événement au cours d’un intervalle de temps ou d’espace bien défini Si les deux propriétés suivantes sont satisfaites: La probabilité d’occurrence est la même dans deux intervalles de la même longueur L’occurrence ou la non-occurrence d’un événement dans un intervalle est indépendante de l’occurrence ou de la non-occurrence d’un événement dans un autre intervalle Alors: X  Po (m) Ce qui se lit «X suit une loi de Poisson de paramètre m»

Distribution de Poisson Définition mathématique d’une v.a. de Poisson : Une v.a.d. X qui prend toutes les valeurs entières x telles que x = 0, 1, 2,… avec les probabilités : s’appelle une v.a. de Poisson de paramètre m

Distribution de Poisson Variables utilisées : V.a. X donne le nombre de succès obtenus pour une période de temps donnée; t= période de temps considérée; - a= l’intensité du processus considéré (constante de proportionnalité) (correspond au nombre moyen de succès pour une période de temps unitaire); m= a.t e=2,71828 183…

Distribution de Poisson Si X est une v.a. de Poisson alors : E(X) = m VAR(X) = m

Exemple Dans une grande usine, on sait par expérience qu’il se produit en moyenne 1,8 accidents de travail par semaine. Trouvons : 1- La probabilité qu’il se produise, dans cette usine, au plus 2 accidents dans une semaine; 2- La probabilité qu’il se passe 2 semaines sans qu’il se produise d’accident dans cette usine.

Approximation La distribution de Poisson comme approximation de la distribution binomiale X  Bi (n, p)  X  Po(np) En général l’approximation est valable si: n ≥ 20 et p < 0,1