Coordonnées dans un repère
x y A Quelques repères du plan : J O I Le repère « quelconque » : Les axes ne sont pas perpendiculaires. Les axes n’ont pas la même graduation. Exemple : A ( 3 ; 2 ) J O x I
x y A J I O Le repère orthogonal : Exemple : A ( 3 ; 2 ) Les axes sont perpendiculaires. mais ils n’ont pas la même graduation. Exemple : A ( 3 ; 2 ) A J x I O
x y A J I O Le repère orthonormé ( ou orthonormal ): Les axes sont perpendiculaires. ils ont la même graduation. A Exemple : A ( 3 ; 2 ) J I x O
Longueur d’un segment dans un repère orthonormal : B yB yB - yA A yA H xB - xA D’après le théorème de Pythagore dans ABH rectangle en H : J AB² = AH² + HB² xA xB O I AB² = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² Donc : AB = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² D’où :
AB = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² Propriété : Dans le plan muni d’un repère orthonormal, si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), Alors AB = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² L’unité de longueur dépend des graduations des axes du repère. ( si par exemple une graduation mesure 3 cm alors il faut multiplier AB par 3 pour avoir la longueur en cm)
AB² = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² Application : Soient A( 9 ; - 13 ) et B ( 5 ; 4 ). Calculer AB. Solution : AB² = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² AB² = ( 5 – 9 )² + ( 4 – ( - 13 ) )² AB² = ( - 4 )² + ( 4 + 13 )² AB² = 4² + 17² AB² = 305 Donc AB = 305 ≈ 17,46 à 0,01 près
yB yA xB xA yA + yB xA + xB Coordonnées du milieu d’un segment : B A 2 J xB O xA I xA + xB 2
xA + xB yA + yB 2 2 Propriété : Dans le plan muni d’un repère, si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), Alors les coordonnées du milieu M du segment [ AB ] sont ; xA + xB yA + yB 2 2
; ; ; M M M xA + xB yA + yB - 7 + 3 2 + 9 11 - 4 2 2 2 2 2 2 Application : Soient A( - 7 ; 2 ) et B ( 3 ; 9 ). Calculer les coordonnées du milieu M de [ AB ]. Solution : xA + xB yA + yB ; M 2 2 - 7 + 3 2 + 9 ; M 2 2 - 4 11 ; M 2 2 Donc M( -2 ; 5,5 )