Probabilité en Troisième CAEN Décembre 2008

OBJECTIFS du diaporama  Morceaux choisis des activités présentées dans l’Académie de Lille lors des stages de formation sur les nouveaux programmes de Troisième  Idées directrices :  Essayer, faire manipuler, calculer, conjecturer  Dégager petit à petit la démarche statistique  Offrir un éventail d’activités qui permettent les réinvestissements, le travail des thèmes de convergence et le développement de l’interdisciplinarité

La somme de deux dés Problème : Lors du lancer de deux dés, quelle somme a-t-on le plus de chance d’obtenir ? A) Probabilité avec Expérimentation, puis Simulation

Expérimentation en classe ( deux dés par élève ; vingt lancers) ‏

« Simulation du lancer de deux dés à 6 faces » - TP Info de Mathématiques n° 4 Enoncé : Lors du lancer de deux dés, quelle somme a-t-on le plus de chance d’obtenir ? Construction du tableau (On utilise un tableur Excel) EtapeCe que je dois faireComment le faire avec Excel 1Nommer les colonnesDans A1 écrire « Dé 1 », dans B1 écrire « Dé 2 », dans C1 écrire « Somme » 2Dans la première ligne du tableau, simuler les faces des deux dés Dans A2 et dans B2 écrire la formule : « =ent(alea()*6)+1 » afin de générer deux entiers aléatoires entre 1 et 6. 3Calculer la somme et placer ce résultat dans le cellule suivante Dans C2 écrire la formule : « =somme(A2 :B2) » afin de faire la somme des deux dés 4Construire la totalité du tableau de simulation ; On effectue ainsi 100 lancers différents. Faites un « glisser-coller » des cellules A2 à C2 jusqu’à la cellule C101. (Sélectionner les cellules A2 à C2. Placer la souris sur le carré noir en bas à droite de la cellule C2. Une croix noire apparaît. Sans relâcher le bouton gauche de la souris faites glisser cette croix jusqu’à la cellule C101). On obtient ainsi la simulation de 100 lancers de deux dés et des 100 sommes correspondantes Pour comptabiliser les sommes obtenues et calculer leurs fréquences. 5On dresse la liste des sommes possiblesDans E1 écrire « 2 », dans F1 écrire « 3 ». Glisser-coller les cellules E1 à F1 jusqu’à la cellule O1 6Dans la case E2, on demande de comptabiliser le nombre de 2 apparus Dans E2 écrire la formule : « =NB.SI($C2:$C101;E1)», afin d’obtenir le nombre de fois où la somme située en E1 apparaît. 7On généralise cette formule à l’ensemble des sommes possibles Glisser-coller la cellule E2 jusqu’à O2. Pour plus de lancers…. 8Tout d’abord dans Outils-Options-Calcul, cocher « Itération » et mettre 1 dans la case « Nb maximal d’itérations » 9Dans D6, écrire « Sommes cumulées» (ajuster la taille de la police)‏ 10Dans D7, écrire « Fréquences totales » (ajuster la taille de la police)‏ 11Dans E6, écrire la formule : « =E6+E2 ». Glisser-coller la cellule E6 jusqu’à la cellule O6, afin de cumuler les nombres de sommes 12Dans E7, écrire la formule : « =E6/somme($E6 :$O6)*100 ». Glisser-Coller la cellule E7 jusqu’à la cellule O7 afin d’obtenir la fréquence de chacune des sommes. 13Dans P6, écrire « =somme(E6 :O6) » afin d’obtenir le nombre total de lancers Enfin un graphique… 14Se placer dans la cellule F20. Dans le menu « Insertion-Graphiques », choisir le graphique désiré et renseigner la plage de données. 15Appuyer au tant de fois souhaitées sur F9 pour refaire 100 lancers et observer comment se comporte le graphique. Recherche de la conjecture L’examen du graphique après l’utilisation de la touche F9, permet de faire une conjecture sur la somme qui est le plus souvent obtenue. Compléter la phrase : Lorsque deux dés sont jetés, la somme des faces la plus souvent obtenue est …………….. 2. Simulation informatisée (tableur, TP Info => Compte-Rendu) ‏

3. Preuve sous la forme d’un tableau Sommes Effectifs Fréquences 3%6%8%11%14%17%14%11%8%6%3%

Un exemple de Simulation => Probabilité sans statistiques  La méthode de Monte Carlo Si un terrain mesure 1000 m² et si l’armée envoie 500 boulets pour faire tomber 100 projectiles dans le lac, alors une estimation de la superficie du lac est de 200 m²

Problème : On choisit au hasard un point dans le carré unité. Quelle est la probabilité qu’il soit dans le quart de disque unité ? ● B) Probabilité sans expérimentation, mais avec simulation

Le tableur va permettre une simulation du phénomène, afin d’émettre une conjecture. probabilité (M est dans le quart de cercle) ≈ nombre de cas favorables nombre total de cas Test d’appartenance au quart de disque : OM < 1

A titre indicatif, π/4 ~ 0,78539

Quelques exercices… Exercice 1: On jette de manière aléatoire une fléchette sur une cible. 1)Calculer la probabilité de marquer 8 points. 2)Quelle est la probabilité de ne marquer aucun point ? Exercice 2: Pierre et Marie jettent une flèchette de manière aléatoire. Le gagnant(e) est celui (celle) qui a totalisé le maximum en deux lancers. 1)Pierre a obtenu 17 points. Quelle est la probabilité que Marie gagne ? 2)Pierre a obtenu 17 points et Marie a placé son premier lancer au centre de la cible. Quelle est la probabilité que Marie perde ?

« La transmission du groupe sanguin » Lien avec la SVT : la génétique en 3 ème. Approche aisée. C) Sans expérimentation

I AB II ??? Ma mère est AB, mon père est AB. Quel peut être mon groupe sanguin et avec quelle probabilité ?

Différentes représentations possibles I AB II ??? J’ai donc 2 chances sur quatre d’être de groupe sanguin AB. La probabilité est donc de 1/2. AA AB BB

Quelques exercices… Exercice 1: Quels sont les groupes sanguins possibles pour des enfants nés d’un père AO et d’une mère BO ? Quelles sont les probabilités d’appartenance aux quatre groupes sanguins ? Exercice 2 : Dans une famille de trois enfants, l’aîné est A, le cadet est B et le benjamin est AB. Représenter la situation dans un ou plusieurs tableau(x). Quels sont les groupes sanguins possibles des parents ?

D) Méthode empirique G P Le lancer d’une PUNAISE… Mais aussi le lancer d’un bouchon … (moins dangereux) ‏ DosTrou ,4050,595 DosTrou Tranche ,3550,6350,01

Conclusion 4 activités autour du thème des probabilités avec des approches différentes A. Approche concrète => simulation => preuve numérique A. Travail de simulation => preuve géométrique A. Approche sans expérimentation A. Découverte empirique du phénomène

Plusieurs Interrogations ? o Quelle trace écrite ? o Faut-il toujours travailler en faisant des simulations ? o Au regard des acquis des élèves en fin de Troisième, comment travailler et réinvestir ces notions en classe de Seconde ? o ………. ?