La déviation de la lumière TPE La déviation de la lumière par un corps massif

PROBLEMATIQUE : En observant une étoile située près du soleil, on a noté 2 fois sa position ! On constate que l’étoile ne parait pas à la même position après que la Terre ait effectué une demi- révolution autour du Soleil

On remarque aussi des galaxies qui se voient en quadruple ! Question : Comment se fait-il que l’étoile n’ait pas à la même position lors des deux observations, ou que l’on observe quatre fois la même galaxie ? Hypothèse : On peut supposer que la lumière est déviée par la présence du Soleil ou d’un autre astre.

Vérification expérimentale Protocole Pour représenter la déviation de la lumière, on peut ramener l’univers en quatre dimensions à seulement deux. Pour cela on pourra le représenter à l’aide d’une nappe tendue sur un plan en deux dimensions. Les photons peuvent être assimilés à des billes se déplaçant sur cette nappe. Un corps massif pourra être représenté par un ballon.

2. Matériel Le montage que nous vous proposons est une nappe tendue à l’aide de fixations aux quatre coins et un ballon au centre. Les photons seront des billes de plomb.

(vidéo en document annexe) Résultats : On constate que la bille est effectivement déviée par la déformation due à la masse du ballon lors de son passage à proximité. Elle subit une déviation d’autant plus importante qu’elle passe près du ballon et que celui-ci est lourd. (vidéo en document annexe)

Interprétation : Les billes matérialisant les photons ont été déviées par la masse du ballon déformant la nappe. Les photons se comportent comme les billes car il s’agit d’un phénomène mécanique. La présence d'une masse déforme la géométrie de l'espace-temps : les rayons lumineux répondent à cette déformation en se courbant d'autant plus qu'ils passent près de cette masse.

Rappelons la célèbre formule d'Einstein que l'on trouve dans tous les livres de Relativité Générale. L'angle de déviation est donné en fonction de la masse MSol du Soleil et de son rayon RSol par : =4GMsol/(c2Rsol)=1.75" en se rappelant que la valeur de la constante de Newton est G=6.67 ×10-11 (en unités MKS) et que la vitesse de la lumière est c=3 ×108m/s. (le rapport est un nombre sans dimension, dès lors l'angle est obtenu en radians, avec 1 radian=2×105").

où K est l’intensité du champ Démonstration mathématique Nous savons qu’un champ de gravitation courbe toute droite qui lui est perpendiculaire en une parabole d’équation : y=-K/(2u2)  x2 où K est l’intensité du champ et u, la vitesse d’un mobile dont on néglige la masse ou l’énergie et qui est supposé représenter la progression d’une trajectoire rectiligne.

Puisqu’il s’agit ici de la lumière, u=c, on a donc : y=-K/(2c2)  x2 Cette courbe est une parabole. La dérivée de cette courbe en x est, compte tenu de sa petitesse, confondue avec l’angle  que fait la courbe avec l’axe des abscisses. Ici, il s’agit de la dérivée de y=kx² qui est y’=2kx. On a donc: =-K/c²  x

Il s’ensuit approximativement: =-GM/(c²R²)  x =-K/c²  x L’intensité du champ au niveau du rayon lumineux étant voisine de sa valeur à la surface du corps céleste, soit: K=GM/R² Il s’ensuit approximativement: =-GM/(c²R²)  x Avec G constante de gravitation universelle M la masse du corps massif et R son rayon.

dans le cas présent il est radial. Mais, tandis que lors de l’établissement de l’équation de la parabole, nous supposions que le champ était uniforme au niveau de la droite (direction parallèle à l’axe des ordonnées), dans le cas présent il est radial. Un calcul plus précis, basé sur l’analyse infinitésimale, montrerait qu’il y a sensiblement équivalence des deux champs à condition d’admettre que l’équation du premier s’étend seulement entre les points d’abscisses x=0 et x=2R.

=-GM /(c²R²)  2R =-2GM /(c²R). =-GM/(c²R²)  x Il en résulte qu’à partir x=2R le rayon lumineux reprend un tracé rectiligne, en adoptant la direction d’angle  de la tangente à la parabole en ce point, soit : =-GM /(c²R²)  2R =-2GM /(c²R).

L’équation de la trajectoire du photon est Selon le principe d’équivalence de la masse et de l’énergie, un photon est assimilable à une masse qui est attirée par le corps céleste. Dans ces conditions les photons s’identifient à des projectiles lancés avec une vitesse égale à c. L’équation de la trajectoire du photon est y=-GM/(2c2R)  x2.

Le rayon lumineux subit donc une seconde déviation identique à la première et s’ajoute à elle. L’angle de la déviation totale d’un rayon lumineux qui vient tangenter le corps céleste est alors 2=-4GM /(c²R).

Cette relation a été vérifiée en 1919 par la Société royale d’astronomie de Londres lors de deux expéditions organisées au nord du Brésil et dans le golfe de Guinée pour observer une éclipse de Soleil qui rendait bien visible les étoiles avoisinantes.

Conclusion : D’après la théorie d’Einstein, les photons sont déviés par la présence d’une masse importante. Mais un autre effet perturbe les photons dans leur course : l’effet Shapiro qui est le retard relativiste de l'instant d'arrivée d'un photon après son passage dans le champ du Soleil (soit environ 250ms de retard dans le cas d'un photon rasant le Soleil entre Mercure et la Terre).

L'angle de déviation de la lumière par le champ du Soleil est utilisé de façon routinière dans les données HIPARCOS, non seulement pour des photons ayant rasé le bord solaire mais aussi pour ceux en provenance de la sphère complète.