Les bases de la modélisation Primitives simples et CSG

Quelques points de départ A partir d'un modèle scanné. On débute à partir d'une représentation plus ou moins grossière de l'objet final A partir de vues planes. Il faut au moins 3 vues pour reconstruire un objet sans ambiguïté A partir de rien A partir d'esquisses A partir d'un plan au sol : élévations et connaissances à priori des éléments

Plan Les primitives d'extrusion Principaux modèles mathématiques Les primitives de révolution Les primitives de balayage Principaux modèles mathématiques Surfaces implicites Surfaces paramétriques Les quadriques La sphère Le cylindre Le cône Les quartiques Le tore Les opérateurs de composition booléenne

Les primitives d'extrusion Ce sont des objets 3D définis à partir d'un profil 2D et d'une trajectoire Ils peuvent être définis directement à partir du maillage, ou à partir d'une équation (implicite ou paramétrique) On distinguera deux types de primitives d'extrusion Les primitives de révolution Les primitives de balayage

Les primitives de révolution L'objet 3D est défini par la révolution du profil 2D autour d'un axe

Les primitives de balayage L'objet 3D est défini par le balayage du profil 2D le long d'une trajectoire

Problème d'orientation du profil

Calcul d'un repère local Le repère local est calculé à partir de l'équation du profil si elle existe, ou à partir de l'approximation discrète de la trajectoire Evaluation de la tangente à partir de la représentation discrète de la trajectoire (liste de points ou poly-line): Pi Pi+1 Pi-1 ou ou la moyenne

Plan normal Tangente : Plan tangent (Ti, Vi) : Normale : Plan normal : (Ni, Vi) Attention au problème d'inversion de la normale au niveau des points d'inflexion avec

Les modèles mathématiques Deux grandes familles : Les surfaces implicites Les surfaces paramétriques

Les surfaces implicites Une surface implicite est définie à partir d'une fonction potentiel. Une fonction potentiel est une fonction f de R3R qui à tout point P(xp,yp,zp) de l'espace R3 associe une valeur de potentiel Cp. Une surface implicite est alors définie par l'ensemble des points de R3 pour lesquels la fonction f associe la même valeur de potentiel C0 La définition de la surface est implicite : On ne peut pas directement calculer les points de la surface Par contre la fonction potentiel définit complètement le volume : S = {PR3 / f(P) = C0} si f(P) > C0 le point P est à l'extérieur du volume si f(P) < C0 le point P est à l'intérieur du volume V = {PR3 / f(P)  C0} définit un solide En général C0 = 0

Les surfaces paramétriques Une surface paramétrique est définie par une fonction f de D2 R3. A chaque couple de paramètre (u,v)  D2 la fonction f associe un point P(xp,yp,zp) de l'espace R3. Ce point est un point de la surface Quand u et v parcourent D2, les points P associés parcourent l'ensemble de la surface La définition de la surface est explicite : On a directement accès aux points de la surface Pas de notion de volume : On ne sait pas directement dire où se positionne un point par rapport à la surface

Les quadriques Il s'agit des primitives géométriques qui peuvent être définies à partir de fonctions polynomiales de degrés 2 Peut s'écrire sous forme matricielle :

Forme matricielle triangulaire Cette forme n'est pas unique et pour être avantageuse, elle est exprimée de la façon suivante : Forme triangulaire :

Forme matricielle symétrique Forme symétrique :

La sphère Sphère de rayon r et de centre (x0,y0,z0) : forme implicite : forme matricielle symétrique (implicite) :

La sphère Forme paramétrique :

Le cylindre Cylindre vertical (axe z) de rayon r et de centre (x0,y0,0) : (c'est un cylindre infini) forme implicite : forme matricielle symétrique (implicite) :

Le cylindre Forme paramétrique :

Le cône Cône vertical (axe z) de sommet (x0,y0,z0) et d'angle d'ouverture  : (c'est un cône infini) forme implicite : forme matricielle symétrique (implicite) :

Le cône Forme paramétrique :

Les quartiques Il s'agit des primitives géométriques qui peuvent être définies à partir de fonctions polynomiales de degrés 4 Pas de représentation matricielle

Le tore On ne s’intéresse pas à la forme implicite polynomiale qui est trop complexe et pas utilisée Forme paramétrique : R r

Les opérateurs de composition Les opérateurs de composition booléenne: Union Intersection Différence

 \   P3 P1 P2 P4 P5 Les arbres CSG On construit un arbre de composition  \   P3 P1 P2 P4 P5

CSG sur les surfaces implicites O1  O2 : O1  O2 =  ( O1   O2) O1 \ O2 = O1   O2