Cinématique graphique Cours de méca TGMB1

w = 2 . p . N 60 T 1 - Généralités 1.1 - Notion de mouvements relatifs Parler de mouvement d’un solide, de vitesse ou de trajectoire d’un point appartenant un solide n’a de sens que si on défini par rapport à quoi on étudie le mouvement. Exemple : On n e peut pas définir la trajectoire du centre de la lune, par contre on sait que la trajectoire du centre de la lune par rapport à la terre se rapproche d’un cercle alors que le trajectoire du centre de la lune par rapport au soleil se rapproche d’une épicyc loïde. 1.2 - Définitions et notations 1.2.1 - Orientation et vitesse de rotation On appelle orientation d’un solide 1 par rapport au solide 2 l’angle entre un axe ¾ ® X 1 fixe dans le solide 1 et un axe 2 fixe dans le solide 2. On la note q 1/2 . On appelle vitesse de rotation du solide 1 par rapport au solide 2 la variation de l’orientation par rapport au temps (C’est la dérivée de l’orientation par rapport au temps). On la note w 1/2 et elle s’exprime en radians par seconde : rad/s ou rad.s - 1 . On appelle fréquence de rotation du solide 1 par rapport au solide 2 la vitesse de rotation exprimée en t ou r s par minute : tr /min ou tr.min . On la note N . w 1/2 = 2 . p . N 60 La relation entre vitesse de rotation et fréquence de rotation est : 1.2.2 - Trajectoire d’un point On appelle trajectoire d’un point M appartenant au solide 1 par rapport au solide 2 la courbe décrite par les points M au cours du temps dans un repère fixe par rapport au solide 2. On la note T M Î 1/2 .

est toujours tangent à la trajectoire T 1 - Généralités 1.2 - Définitions et notations 1.2 .3 - Position et vitesse d’un point On appelle position d’un point M appartenant au solide 1 par rapport au solide 2, le vecteur ¾ ® O 2 M où est le centre d’un repère fixe dans le solide 2. On appelle vitesse d’un point M appartenant au solide 1 par rapport au solide 2 la variation de la position de ce point M par rapport au temps. (C’est la dérivée du vecteur ¾ ® O 2 M par rapport au temps). ¾ ® V M Î 1/2 Cette vitesse est donc un vecteur noté : 1.2.4 - Propriété de la vitesse par rapport à la trajectoire Le vecteur ¾ ® V M Î 1/2 est toujours tangent à la trajectoire T . 1.3 - Les différents types de mouvements plan Dans un problème plan, le mouvement d’un solide 1 par rapport à un solide 2 peut être : - Une rotation : Dans ce cas il existe un point O, appelé centre de rotation, appartenant au solide 1 dont la vitesse par rapport au solide 2 est toujours nulle. ¾ ® V O Î 1/2 = - Une translation : Dans ce cas l’orientation du solide 1 par rapport au solide 2 est toujours la même. q 1/2 = Constante w = 0 - Un mouvement plan quelconque : Dans ce cas il n’existe pas de point dont la vitesse est toujours nulle et l’orientation du solide 1 par rapport au solide 2 n’est pas constante.

Liaison donnant un mouvement de rotation 1 - Mouvement de rotation 1.1 - Liaison donnant un mouvement de rotation Si les solides 1 et 2 sont en liaison pivot d’axe (O, ¾ ® Z ) alors le mouvement de 1 par rapport à 2 est un mouvement de rotation d’axe (0, ). 1.2 - Liaisons équivalentes pour des problèmes plans X Y O 1 2 Liaison pivot d’axe (O, ¾ ® Z ) X Y O 1 2 Liaison pivot glissant d’axe (O, ¾ ® Z ) X Y O 1 2 Liaison rotule De centre O X Y O 1 2 Liaison linéaire annulaire D’axe (O, ¾ ® Z )

est un arc de cercle de rayon [OM] 1 - Mouvement de rotation 1.3 - Caractéristiques d’un mouvement de rotation Soit un solide 2 en rotation d’axe (O, ¾ ® Z ) par rapport à un solide 1, et w 2/1 la vitesse de rotation de 2 par rapport à 1. 2 1 O M T M Î 2/1 Alors, on a les caractéristiques suivantes : - La trajectoire de M appartenant à 2 par rapport à 1 : T M Î 2/1 est un arc de cercle de rayon [OM] - La vitesse de M appartenant à 2 par rapport à 1 : ¾ ® V M Î 2/1 est perpendiculaire au rayon [OM] : ¾ ® V O Î 2/1 ¾ ® V M Î 2/1 ^ [OM] - Le module de la vitesse de M app artenant à 2 par rapport à 1 || ¾ ® V M Î 2/1 || e st : || ¾ ® V M Î 2/1 || = | w | . R où : R = OM et w 2/1 en rad.s - 1 . ¾ ® V O Î 2/1 = - La vitesse du centre de rotation est nulle:

V T est une droite // D passant par M V V // D T V = 2 - Mouvement de translation rectiligne 2.1 - Liaison donnant un mouvement de tran slation rectiligne Si les solides 1 et 2 sont en liaison glissière d’axe D alors le mouvement de 1 par rapport à 2 est un mouvement de translation d’axe . 2.2 - Liaisons équivalentes pour des problèmes plans X Y O 1 2 Liaison glissière d’axe (O, ¾ ® ) X Y O 1 2 Liaison pivot glissant d’axe (O, ¾ ® ) X Y O 1 2 Liaison linéaire rectiligne de normale (O, ¾ ® ) X Y O 1 2 Liaison appui plan de normale (O, ¾ ® ) 2.3 - Caractéristiques d’un mouvement de translation rectiligne ¾ ® V N Î 2/1 Soit un solide 2 en translation rectiligne d’axe (D ) par rapport à un solide 1. Alors, on a les caractéristiques suivantes : 2 1 M D - La trajectoire du point M appartenant à 2 par rapport à 1 : T M Î 2/1 est une droite // D passant par M . N ¾ ® V M Î 2/1 . - La vitesse du point M appartenant à 2 par rapport à 1 : ¾ ® V M Î 2/1 est parallèle à D : ¾ ® V M Î 2/1 // D - Les vitesses de tous les point appartenant à 2 par rapport à 1 sont identiques. T M Î 2/1 ¾ ® V N Î 2/1 = M . Pour tout point N :

Les trajectoires sont des cercles 3 - Mouvement de translation circulaire T M Î 2/1 Si un solide 2 est lié à un solide 1 à l’aide d’un parallélogramme déformables (deux biellettes parallèles et de même longueur); Alors le mouvement de 2 par rapport à 1 est une translation T N Î 2/1 circulaire 2 1 4 3 Caractéristiques - Les trajectoires sont des cercles N - Les vitesses sont tangentes à ces trajectoires ¾ ® V M Î 2/1 - Les vitesses sont toujours identiques. C’est-à-dire : que pour tout point M et N : ¾ ® V N Î 2/1 = M ¾ ® V N Î 2/1

a vitesse de glissement de 2 sur 1 est V 4 - Vitesse de glissement. 4.1 - Définition de la vitesse de glissement Si les solides 1 et 2 sont en liaison ponctuelle de centre O et de normale (O, ¾ ® Y ) alors : L a vitesse de glissement de 2 sur 1 est ¾ ® V O Î 2/1 4.2 - Liaisons équivalentes pour des problèmes plans X Y O 1 2 Liaison ponctuelle de normale (O, ¾ ® ) X Y O 1 2 Liaison linéaire rectiligne de normale (O, ¾ ® ) et de contact (O, Z ) X Y O 1 2 Liaison linéaire annulaire d’axe (O, ¾ ® ) 4.3 - Caractéristique de la vitesse de glissement Normale au contact ponctuel 1 2 M La vitesse de glissement de 2 par rapport à 1 est dans le plan tangent commun au contact ponctuel. C’est à dire que cette vitesse : ¾ ® V O Î 2/1 ¾ ® V O Î 2/1 est perpendiculaire à la normale du contact ponctuel .

V = + 5 - Loi de composition des vitesses 5.1 - Enoncé du théorème de composition des v itesses Soit trois solides 1, 2 et 3 en mouvements plans quelconques où particuliers les uns par rapport aux autres et un point M quelconque. Alors on a toujours la loi suivante : ¾ ® V M Î = + 1/2 1/3 3/2 5.2 - Quand utiliser cette loi ? On utilise cette loi lorsque l’on connaît la vitesse d’un point M appartenant à un solide par rapport à un deuxième solide et qu’on recherche la vitesse du même point M , appartenant à et par rapport à des solides différents .

Le projeté orthogonal de V sur la droite (MN) est égal au 6 - Loi d’équiprojectivité des vitesses 6.1 - Enoncé du théorème d’équiprojectivité Soit deux point M et N quelconques et deux solides 1 et 2 en mouvement plan quelconque ou particulier l’un par rapport à l’autre . Alors ou a toujours la loi suivante : M 1/2 Le projeté orthogonal de ¾ ® V Î sur la droite (MN) est égal au projeté orthogonale de ¾ ® V N Î 1/2 sur la même droite (MN). ¾ ® V M Î 1/2 . MN = N 6.2 - Quand utiliser cette loi On utilise cette loi lorsque l’on connaît la vitesse d’un point M appartenant à un solide par rapport à un deuxième solide et qu’on recherche la vitesse d’un point différent N, appartenant à et par rapport aux mêmes solides .

C’est le Centre Instantané de Rotation (CIR) de 2 par rapport à 1 V = 7 - Centre instantané de rotation : CIR 7 - 1 Théorème Soit deux solides 1 et 2 en mouvement plan quelconque différent d’une translation , alors à n’importe quel instant du mouvement il existe toujours un point I dont la vitesse est nulle : C’est le Centre Instantané de Rotation (CIR) de 2 par rapport à 1 ¾ ® V I Î 1/2 = On le note : I 2/1 7 - 2 Propriétés du CIR A la date donnée, tout se passe comme si le solide 2 était en rotation de centre I 2/1 par rapport à 1 : - Le CIR est à l’intersection de tous les rayons. Donc si on connaît la direction de deux vitesses de deux points différents alors le CIR est à l’intersection des perpendiculaires à ces directions passant par ces deux points. Cette propriété permet de déterminer le CIR. - Toutes les vitesses ont des directions perpendiculaires aux rayons : ¾ ® V M Î 1/2 ^ (I 2/1 M) . Cette propriété permet de déterminer la direction d’une vitesse. Le CIR est un point qui varie au cours du temps sauf si le mouvement d’un solide par rapport à l’autre est un mouvement de rotation. Dans ce cas le CIR est toujours le centre de rotation .