GPDs et DVCS Amplitude Compton à la limite de Bjorken (HME : Hadronic Matrix Element) Définition des GPDs (HME) Application au calcul de DVCS (LO) et comparaison avec les mesures Estimation de l’incertitude sur les GPDs Propriétés des GPDs : interprétations, paramétrisations… Vers un nouveau MC DVCS NLO § présentation de l’analyse actuelle des données H1 avec le MC LO initial § intérêt et description du nouveau MC (NLO) § premiers résultats et perspectives Laurent Schoeffel (SPP) 13/01/04 SPhN
Bj ’’ k + crossed graph On définit v = (v 0 v 3 )/ 2 ; v =(v 1,v 2 ) : L.C. coordinates Limite de Bj : Q 2 et W 2 >> m 2 et x Bj fixé On suppose aussi : t = - (p’-p)² << Q 2 et les composantes << Long. DVCS : *p p DIS : *p *p +z p p’ ** C.M. => k+q Amplitude Compton
k k+q ’’ M = -i d 4 z e -iqz Limite de Bj => q z ~ q + z - (avec z + ~0) ; on néglige de plus les comp. => L.C. (z²=0) + c.g. + c.t. + c.t. [ dk + / (k + - q + + i ) … ] + terme axial
Amplitude Compton et HMEs =-1 (+,+) ou (-,-) ; 0 sinon = F q s,s’ (Hadronic Matrix El.) +c.t. + axial = dx / (x-x Bj +i ) On définit x / k + = x p + Q²/x Bj = 2p + q - M ~ - e q ² dx [1/ (x-x Bj +i ) - 1/ (x+x Bj +i )] F q s,s’ c.t. x x- p’ + =p + (1- ) ~ x Bj + axial ( ...) = PP 1/(x-x Bj ) - i (x-x Bj )
Cinématique / DVCS Dans le cas du DIS (p=p’) Im(M +,+,s=s’ ) = e q ² ( F q s,s’ (x=x Bj ) - F q s,s’ (x=-x Bj )) + axial +O(m/Q) En identifiant : F q s,s’ (x)=q(x) (x>0)… x x- (x+ )P + (x- )P + p + =(1+ )P + p’ + =(1- )P + P = (p+p’)/2 RadyushkinJi Dans le cas du DVCS ; notations : Twists >2 avec ~ x Bj /(2-x Bj ) ~ x Bj /2 à petits x Bj <0.01 F q s,s’ = F q s,s’ (x, ,t)
Section efficace DVCS LO d DVCS /dxdQ 2 dt = 2 ² 3 (1+(1-y)²) /(4x Q 6 ) [Im A( * p -> p)/ Im A( * p -> * p)]² F 2 ² e Bt [1+ ²] Correction / Re(A) Im A( * p -> p)/ Im A( * p -> * p) ~ F S s,s’ (x= , ,Q²) / S(x Bj,Q²) ~ 2 (prédiction FFS LO) FFS (PLB460 (1999) 417) On y revient dans la suite Paramétrisation à la FFS = 82 GeV B=4/9 GeV -2
Définition des GPDs (secteur des quarks) Nous avons introduit dans le calcul de M (avec les notations de Ji) : Que l’on exprime en terme des spineurs du proton, soit : + =p’ + -p + =-2 P + De même, pour la partie axiale : GPDs ; E intervient en facteur de ( ou ) ; Inv. de Lorentz => la dépend. en (x,p’ +,p+,t) (x, ,t) Même type de def. pour les hel. flip GPDs
Définition des GPDs (gluons) + =p’ + -p + =-2 P + Définitions similaires : Idem pour la partie axiale… Notations usuelles : on introduit n =(1,0,0,-1)/ 2 alors, v.n = v + et z = z - n (LC) ; on note souvent =z -
Incertitude sur les GPDs FFS B=9 GeV -2 FFS B=4 GeV -2 = 82 GeV Obtenu avec GPD 0.8 GPD et B=4 GeV -2 => Une déviation de 20/30% sur les GPDs est indiscernable d’une modif. de B ( ~ …e Bt ) => Mesure de la pente en t Rappel : Im A( * p -> p)/ Im A( * p -> * p) ~ GPD(x= , ) / S(x Bj ) ~2 avec ~ x Bj /(2-x Bj )
Peut-on choisir GPD’ = 0.5 GPD : dans ce cas GPD’(x= , ,Q²) / PDF(x Bj,Q²) ~ 1 ? => NON! Mêmes conclusions pour HERMES (SSA) GPD’=0.8 GPD indiscernables = 82 GeV
Premier bilan Amplitude DVCS ~ dx [1/ ( -x+i ) - 1/ ( +x+i )] e q ²H q (x, ,t)+… La section eff. DVCS (LO) décrit alors les données mais l’incertitude reste importante (20/30%). Elle repose sur un param. du rapport : Im A( * p -> p)/ Im A( * p -> * p) ~ F q s,s’ (x= , ,Q²) / q(x Bj,Q²) ~2 Dans un second temps, nous devons paramétriser les GPDs (H,E,…) en respectant certaines règles de sommes prédictions possibles au NLO. A petits x : d DVCS /dxdydt ~ 3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² ( CF H S )² e Bt +… (i) Note : si on multuplie (i) par 1 = ( xq S )²~F 2 ²/ ( xq S )², on retrouve la param. de FFS avec 1/R = Im CF H S ( , ))/ q S (2 )~2 (LO) En premier lieu, quelle est l’interprétation partonique des GPDs ?
Interprétation partonique des GPDs On suppose pour simplifier que les quarks sont des champs scalaires, alors : La liberté asymptotique permet de développer en opérateurs de création et d’anihilation : (z - /2) ~ dk + /k + [b(k)exp(-i k + z - /2)+d + (k)exp(i k + z - /2)] => 3 types de contributions x=impulsion long. moyenne, + =p’ + -p + =-2 P + : GPDs ~ corrélation entre les états Initial et final * out in d dd + db b + b DGLAP ERBL DGLAP
Règles de sommes / GPDs dx x N-1 GPD q (x, ,t) = Polynôme de d’ordre N (pair en ) => Avec l’expression de F en terme des H et E on déduit : dx H q (x, ,t) = F 1 (t) dx E q (x, ,t) = F 2 (t) Même type de preuve pour l’ordre 1 avec : dx x H q (x, ,t) = A q (t)+4 ²C q (t) dx x E q (x, ,t) = B q (t) -4 ²C q (t) Règle de somme de Ji => dx x (H q (x, ,0)+ E q (x, ,0))/2 = J 3
Double Distributions On a vu : GPDs = TF (HMEs) En inversant on obtient : Après une 2è TF D.D. Objectif = paramétrisation des GPDs => un outil intéressant : les D.D.
Double Distributions On montre alors facilement : H q (x, ,t) = d d (x- - ) f q ( , ,t) E q (x, ,t) = d d (x- - ) k q ( , ,t) Intérêt de cette approche : dx x N-1 H q (x, ,t) = d d ( + ) N-1 f q ( , ,t) => la polynomialité ( ) est automatiquement assurée. Pb : il manque le terme de degré N => D term que l’on ajoute à l’expression HME = (f) + (k) + (D term) avec
Double Distributions / D term Identités de Gordon => on absorbe le D term dans la décomposition de HME en fonction des GPDs : => nouveau terme dans la paramétrisation des GPDs H q (x, ,t) = d d (x- - ) f q ( , ,t) + sign( ) D q (x/ ,t) E q (x, ,t) = d d (x- - ) k q ( , ,t) - sign( ) D q (x/ ,t) Alors : dx x N-1 D q (x/ ,t) ~ N … Bilan : DD + D term = outil puissant pour proposer des param. (GPDs) qui vérifient automatiquement la polynomialité ( )… Note : f q ( , ,t), k q ( , ,t) = 0 en dehors du carré | |+| |<1
Exemple de param. des GPDs f q ( , ,t) = q( ) h( , ) F(t) distribution fwd dépendance en t ansatz : h( , ) ~ 1/(1- ) (1- ²) b Note : b infini => ( )
Exemple de param. des GPDs On garde f q ( , ,t) = q( ) h( , ) F(t) avec h( , ) ~ 1/(1- ) (1- ²) b Pour les différentes hypothèses (b) du graphique préc.
Estimation des GPDs Avec les notations de FFS, nous avons déjà mentionné précédemment que : 1/R S = H S (x= , ) / S(x Bj ) ~2 avec ~ x Bj /2 (à petits x Bj ) Justification 1/R S = H S ( , ) / S(2 ) avec H S ( , ) ~ S(2 ) si b>>1 (=>D.D. ~ fwd) avec xS(x,Q²)~x - q on déduit : 1/R S ~ 2 q+1 Pour la distribution de gluons : 1/R g = H g ( , ) / (2 g(2 )) ~ 2 g En pratique 1/R S ~ [2;4] et 1/R g ~ [1;1.5] (suivant le choix de b) Remarque : jusqu’ici, nous avons omis la dépendance en Q² : tous les résultats sont obtenus pour une valeur de Q² donnée (à la limite de Bj). Cependant, GPDs=GPDs(x, ,Q²,t) et de la même façon que pour les distributions fwd, équations d’évolution (Q², ) => LO / NLO
Commentaires sur H g /VM Hg est la contribution dominante pour la production de VM à petits x Bj Note : la première mise en évidence expérimentale et les premiers calculs ont concerné le secteur des VM…
Commentaires sur H g /DVCS Au LO, seule H q intervient. Au NLO, H g contribue également mais, comme nous l’avons signalé, 1/R S ~ [2;4] et 1/R g ~ [1;1.5] => la contribution des quarks reste importante / gluons (même à petits x Bj <0.01) ( DIS standard)!
Deuxième bilan Nous avons présenté : § Interpération partonique des GPDs § Règles de somme => containtes sur les paramétrisations § Param. reposant sur les D.D.+D term. Nous avons alors présenté un ansatz commun pour les D.D. et estimé le rapport GPD/PDF ~ [2;4] pour le secteur des quarks et ~ [1;1.5] (gluons) suivant l’expression de l’ansatz des D.D.(b). Quelques remarques : f q ( , ,t) = q( ) h( , ) F(t) avec h( , ) ~ 1/(1- ) (1- ²) b 1. Concernant F(t) aucune param. n’est satisfaisante => à petits x Bj : F(t) ~ e Bt/2 (B pour q/g) H q (x, ,t) = d d (x- - ) f q ( , ,t) DLGAP ERBL Si b la dependce en disparaît => H=H(x,t) ~ distribution fwd et le domaine ERBL doit être param. indpdt => les règles de somme ne sont plus assurées!
DVCS : e+ dans SPACAL et (LAR) (signal) BH avec la même topologie que l’échantillon de signal BH avec e+(LAR) (échantillon de contrôle) Analyse dans H1/ZEUS
Extraction de (DVCS) DVCS = 82 GeV
MC DVCS pour cette analyse SPACAL - LAR (deg) Echantillon BH Echantillon de Signal MC BH MC DVCS MC BH d DVCS /dxdydt = 3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² ( CF H S )² e Bt = 3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² (1/R S )² F 2 ² e Bt [1+ ²] avec 1/R S = Im CF H S ( , ))/ q S (2 )~2 MC DVCS = LO FFS (PLB460 (1999) 417) Nouvel objectif : avec les param. GPDs => prédictions NLO i.e. evolution NLO des GPDs et prédiction NLO (+H g …) de d DVCS /dxdydt.
Terme d’interférence (BH/DVCS) ( + + ) = (DVCS)+ (BH)+Interf. A DVCS(ep) ~e -i et A BH(ep) ~e -2i ’ => Interf. ~ I.cos( )+O(1/Q) On ne mesure pas => M = et Interf.~0 (à l’ordre 1/Q) hel( *)hel( ) Dans toutes les SSA le terme BH disparaît => seules restent les contributions DVCS et Interférence => DVCS si on néglige l’interférence! En effet, SSA ~ Im(A*B) avec A,B=DVCS,BH et A BH(e *) est réelle…
Remarque sur les twists > 2 Depuis le début, nous travaillons en négligeant les les comp. (=> M = M[twist2] + O(k /Q)) *(hel=0) (hel=+1) => nécessite l’échange d’un gluon pour transférer +1 d’hélicité = twist 3 ~ O(k /Q). Cpt, dans le calcul de ( * p -> p) tous ces termes (twists > 2) = 0 si on ne mesure pas : => nos prédictions restent correctes même à l’ordre des twists 3…
Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] f S,V,g ( , ,t) = Q S,V,g ( ) h S,V,g ( , ) F S,V,g (t) avec b soit : H S,V,g (x, ) Q S,V,g (x) (en notations de Ji) En notations de Radyushkin => x Ji = (X- /2)/(1- /2) avec H S,V,g (x, )/P + = H S,V,g (X, )/p + Donc A. Freund pose : H S,V,g (X, ) Q S,V,g ((X- /2)/(1- /2)) / (1- /2) dans le domaine DGLAP (X> ). => MRST,CTEQ,… suivant les fonctions choisies pour Q S,V,g. Comme nous l’avons signalé précédt, H=H(x,t) ~ distribution fwd => domaine ERBL non contraint et règles de somme non assurées! Le domaine ERBL est paramétrisé en imposant la continuité en X= et en demandant que les 2 premières règles de somme soient vérifiées. Le D term = celui indiqué dans la partie sur les D.D. (Notes : pas de D term pour V, D term pour g (Q 0 ²) 0 mais un D g (Q²) est généré par l’évolution). La partie axiale est param. de la même manière (sans D term)… Pour E +(axial), la procédure est un peu différente mais à petites valeurs de t<0.1 GeV² ces contributions sont faibles…
Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] H1 97 : 8 pb -1 Prédictions issues de ces nouvelles param. sur les données H1 (97/00) => Le NLO donne un bon accord mais le LO n’est pas bien normalisé en fait 1/R LO > 2 mais c’est aussi Re(A)² qui est trop grande au LO (alors que dans la prédiction initiale Re² ²<<1) B=[5;9] GeV -2
Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] Avec l’ensemble des données : On utilise MRST01 pour le nouveau MC : Possibilité d’intégrer ou non sur Toutes les observables sont calculées (à l’ordre des twists3) etc. Développement de ce MC avec Emmanuelle Perez (SPP)
Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] Comparaisons LO pour les différentes prédictions possibles (normalisation au nb d’evts) :
Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] (normalisation / nb d’evts) => la prédiction NLO est en meilleur accord avec le MC FFS initial (qui décrivait bien les données, 1/R ayant été ajusté pour cela!) => bonnes perspectives pour la future analyse expérimentale…
Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] => Dans l’analyse exp. L’échantillon de signal DVCS+BH (de même topologie) => important que le MC décrive bien également le BH (=> OK en mode somme)… BH DVCS+BH => = en prenant en compte le nv MC => meilleure mesure de la pente en t
Conclusions Amplitude DVCS ~ dx [1/ ( -x+i ) - 1/ ( +x+i )] e q ²H q (x, ,t)+[E]+[axial]+O(1/Q) avec H q (x, ,t) GPD Les premières prédictions de DVCS reposaient sur une param. du rapport 1/R=Im A( * p -> p)/ Im A( * p -> * p) ~ F q s,s’ (x= , ,Q²) / q(x Bj,Q²) ~2 (LO) On a montré que les données sont bien décrites mais l’incertitutde sur les GPDs reste importante (20/30%) => importance d’une mesure “précise” de la pente en t… Nous avons alors montré comment paramétriser les GPDs (H,E,…) en respectant certaines règles de sommes prédictions possibles au NLO : d DVCS /dxdydt ~ 3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² ( CF H S )² e Bt +… => Nouveau MC reposant sur hep-ph/ (A. Freund) : H S,V,g (x, ) Q S,V,g (x) dans le domaine DGLAP + règles de somme des 2 premiers moments pour contraindre la partie ERBL bon accord avec les mesures. Ce nv MC donne des résultats intéressants au niveau générateur => perspectives positives pour la nvlle analyse. Nous avons noté également que la meilleure préd. du BH est un élément important…
Annexe / A. Compton k k+q ’’ M = -i d 4 z e -iqz Q² = 2 q + q - et x Bj = Q²/2p + q - => q - = Q²/(2p + x Bj ) et donc a la limite de Bj q z ~ q + z - (avec z + ~0) ; (on néglige de plus les comp. ) + c.g. + c.t. Identité de Fierz
+c.t. + [axial] Annexe / A. Compton => M = M(CF HME)
Annexe / F(t) et GPDs 1. Facteurs de forme 2. e Bt/2 (à petits x<0.01) 3. H(x,0,t) = e Bt/2 (1/x) 0+ ’t (intercept de Regge) alors la dispersion du paramètre d’impact ~ B/2 + ’ ln(1/x) => diffusion de Gribov 4. Mélange de ces paramétrisations f q ( , ,t) = q( ) h( , ) F(t)
Annexe / DDVCS DDVCS *(q, q² *(q’,q’²>0) p Alors, on montre de la même manière que pour le DVCS : M ~ dx [1/ ( -x+i ) - 1/ ( +x+i )] e q ²H q (x, ,t) + [axial] avec = -(q’+q) + /(p+p’) + et = (q’-q) + /(p+p’) + Soit : Im(M) ~ H( , ,t) avec | | < => possibilité d’explorer le domaine ERBL