GPDs et DVCS Amplitude Compton à la limite de Bjorken (HME : Hadronic Matrix Element) Définition des GPDs (HME) Application au calcul de  DVCS (LO) et comparaison avec les mesures Estimation de l’incertitude sur les GPDs Propriétés des GPDs : interprétations, paramétrisations… Vers un nouveau MC DVCS NLO § présentation de l’analyse actuelle des données H1 avec le MC LO initial § intérêt et description du nouveau MC (NLO) § premiers résultats et perspectives Laurent Schoeffel (SPP) 13/01/04 SPhN

Bj  ’’ k + crossed graph On définit v  = (v 0  v 3 )/  2 ; v  =(v 1,v 2 ) : L.C. coordinates Limite de Bj : Q 2 et W 2 >> m 2 et x Bj fixé On suppose aussi : t = - (p’-p)² << Q 2 et les composantes  << Long. DVCS :  *p   p DIS :  *p   *p +z p p’ **  C.M. => k+q Amplitude Compton

k k+q  ’’ M = -i  d 4 z e -iqz Limite de Bj => q z ~ q + z - (avec z + ~0) ; on néglige de plus les comp.  => L.C. (z²=0) + c.g. + c.t. + c.t. [  dk + / (k + - q + + i  ) … ] + terme axial

Amplitude Compton et HMEs =-1 (+,+) ou (-,-) ; 0 sinon = F q s,s’ (Hadronic Matrix El.) +c.t. + axial =  dx / (x-x Bj +i  ) On définit x / k + = x p + Q²/x Bj = 2p + q - M ~ -  e q ²  dx [1/ (x-x Bj +i  ) - 1/ (x+x Bj +i  )] F q s,s’ c.t. x x-  p’ + =p + (1-  )  ~ x Bj + axial ( ...) = PP 1/(x-x Bj ) - i   (x-x Bj )

Cinématique / DVCS Dans le cas du DIS (p=p’) Im(M +,+,s=s’ ) =   e q ² ( F q s,s’ (x=x Bj ) - F q s,s’ (x=-x Bj )) + axial +O(m/Q) En identifiant : F q s,s’ (x)=q(x) (x>0)… x x-  (x+  )P + (x-  )P + p + =(1+  )P + p’ + =(1-  )P + P = (p+p’)/2 RadyushkinJi Dans le cas du DVCS ; notations : Twists >2 avec  ~ x Bj /(2-x Bj ) ~ x Bj /2 à petits x Bj <0.01 F q s,s’ = F q s,s’ (x, ,t)

Section efficace DVCS LO d  DVCS /dxdQ 2 dt = 2  ²  3 (1+(1-y)²) /(4x Q 6 ) [Im A(  * p ->  p)/ Im A(  * p ->  * p)]² F 2 ² e Bt [1+  ²] Correction / Re(A) Im A(  * p ->  p)/ Im A(  * p ->  * p) ~ F S s,s’ (x= , ,Q²) / S(x Bj,Q²) ~ 2 (prédiction FFS LO) FFS (PLB460 (1999) 417) On y revient dans la suite Paramétrisation à la FFS = 82 GeV B=4/9 GeV -2

Définition des GPDs (secteur des quarks) Nous avons introduit dans le calcul de M (avec les notations de Ji) : Que l’on exprime en terme des spineurs du proton, soit :  + =p’ + -p + =-2  P + De même, pour la partie axiale : GPDs ; E intervient en facteur de  ( ou  ) ; Inv. de Lorentz => la dépend. en (x,p’ +,p+,t)  (x, ,t) Même type de def. pour les hel. flip GPDs

Définition des GPDs (gluons)  + =p’ + -p + =-2  P + Définitions similaires : Idem pour la partie axiale… Notations usuelles : on introduit n =(1,0,0,-1)/  2 alors, v.n = v + et z = z - n (LC) ; on note souvent =z -

Incertitude sur les GPDs FFS B=9 GeV -2 FFS B=4 GeV -2 = 82 GeV Obtenu avec GPD  0.8 GPD et B=4 GeV -2 => Une déviation de 20/30% sur les GPDs est indiscernable d’une modif. de B (  ~ …e Bt ) => Mesure de la pente en t Rappel : Im A(  * p ->  p)/ Im A(  * p ->  * p) ~ GPD(x= ,  ) / S(x Bj ) ~2 avec  ~ x Bj /(2-x Bj )

Peut-on choisir GPD’ = 0.5 GPD : dans ce cas GPD’(x= , ,Q²) / PDF(x Bj,Q²) ~ 1 ? => NON! Mêmes conclusions pour HERMES (SSA) GPD’=0.8 GPD  indiscernables = 82 GeV

Premier bilan Amplitude DVCS ~  dx [1/ (  -x+i  ) - 1/ (  +x+i  )]  e q ²H q (x, ,t)+… La section eff. DVCS (LO) décrit alors les données mais l’incertitude reste importante (20/30%). Elle repose sur un param. du rapport : Im A(  * p ->  p)/ Im A(  * p ->  * p) ~ F q s,s’ (x= , ,Q²) / q(x Bj,Q²) ~2 Dans un second temps, nous devons paramétriser les GPDs (H,E,…) en respectant certaines règles de sommes  prédictions possibles au NLO. A petits x : d  DVCS /dxdydt ~  3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² ( CF  H S )² e Bt +… (i) Note : si on multuplie (i) par 1 = ( xq S )²~F 2 ²/ ( xq S )², on retrouve la param. de FFS avec 1/R = Im CF  H S ( ,  ))/ q S (2  )~2 (LO) En premier lieu, quelle est l’interprétation partonique des GPDs ?

Interprétation partonique des GPDs On suppose pour simplifier que les quarks sont des champs scalaires, alors : La liberté asymptotique permet de développer  en opérateurs de création et d’anihilation :  (z - /2) ~  dk + /k + [b(k)exp(-i k + z - /2)+d + (k)exp(i k + z - /2)] => 3 types de contributions x=impulsion long. moyenne,  + =p’ + -p + =-2  P + : GPDs ~ corrélation entre les états Initial et final   * out  in d  dd + db b + b DGLAP ERBL DGLAP

Règles de sommes / GPDs  dx x N-1 GPD q (x, ,t) = Polynôme de  d’ordre N (pair en  ) => Avec l’expression de F en terme des H et E on déduit :  dx H q (x, ,t) = F 1 (t)  dx E q (x, ,t) = F 2 (t) Même type de preuve pour l’ordre 1 avec :  dx x H q (x, ,t) = A q (t)+4  ²C q (t)  dx x E q (x, ,t) = B q (t) -4  ²C q (t) Règle de somme de Ji =>  dx x (H q (x, ,0)+ E q (x, ,0))/2 = J 3

Double Distributions On a vu : GPDs = TF (HMEs) En inversant on obtient : Après une 2è TF  D.D. Objectif = paramétrisation des GPDs => un outil intéressant : les D.D.

Double Distributions On montre alors facilement : H q (x, ,t) =  d  d   (x-  -  ) f q ( , ,t) E q (x, ,t) =  d  d   (x-  -  ) k q ( , ,t) Intérêt de cette approche :  dx x N-1 H q (x, ,t) =  d  d  (  +  ) N-1 f q ( , ,t) => la polynomialité (  ) est automatiquement assurée. Pb : il manque le terme de degré N => D term que l’on ajoute à l’expression HME = (f) + (k) + (D term) avec

Double Distributions / D term Identités de Gordon => on absorbe le D term dans la décomposition de HME en fonction des GPDs : => nouveau terme dans la paramétrisation des GPDs H q (x, ,t) =  d  d   (x-  -  ) f q ( , ,t) + sign(  ) D q (x/ ,t) E q (x, ,t) =  d  d   (x-  -  ) k q ( , ,t) - sign(  ) D q (x/ ,t) Alors :  dx x N-1 D q (x/ ,t) ~  N … Bilan : DD + D term = outil puissant pour proposer des param. (GPDs) qui vérifient automatiquement la polynomialité (  )… Note : f q ( , ,t), k q ( , ,t) = 0 en dehors du carré |  |+|  |<1

Exemple de param. des GPDs f q ( , ,t) = q(  ) h( ,  ) F(t) distribution fwd dépendance en t ansatz : h( ,  ) ~ 1/(1-   ) (1-  ²) b Note : b infini =>  (  )

Exemple de param. des GPDs On garde f q ( , ,t) = q(  ) h( ,  ) F(t) avec h( ,  ) ~ 1/(1-   ) (1-  ²) b Pour les différentes hypothèses (b) du graphique préc. 

Estimation des GPDs Avec les notations de FFS, nous avons déjà mentionné précédemment que : 1/R S = H S (x= ,  ) / S(x Bj ) ~2 avec  ~ x Bj /2 (à petits x Bj ) Justification 1/R S = H S ( ,  ) / S(2  ) avec H S ( ,  ) ~ S(2  ) si b>>1 (=>D.D. ~ fwd) avec xS(x,Q²)~x - q on déduit : 1/R S ~ 2 q+1 Pour la distribution de gluons : 1/R g = H g ( ,  ) / (2  g(2  )) ~ 2 g En pratique 1/R S ~ [2;4] et 1/R g ~ [1;1.5] (suivant le choix de b) Remarque : jusqu’ici, nous avons omis la dépendance en Q² : tous les résultats sont obtenus pour une valeur de Q² donnée (à la limite de Bj). Cependant, GPDs=GPDs(x, ,Q²,t) et de la même façon que pour les distributions fwd,  équations d’évolution (Q²,  ) => LO / NLO

Commentaires sur H g /VM Hg est la contribution dominante pour la production de VM à petits x Bj Note : la première mise en évidence expérimentale et les premiers calculs ont concerné le secteur des VM…

Commentaires sur H g /DVCS Au LO, seule H q intervient. Au NLO, H g contribue également mais, comme nous l’avons signalé, 1/R S ~ [2;4] et 1/R g ~ [1;1.5] => la contribution des quarks reste importante / gluons (même à petits x Bj <0.01) (  DIS standard)!

Deuxième bilan Nous avons présenté : § Interpération partonique des GPDs § Règles de somme => containtes sur les paramétrisations § Param. reposant sur les D.D.+D term. Nous avons alors présenté un ansatz commun pour les D.D. et estimé le rapport GPD/PDF ~ [2;4] pour le secteur des quarks et ~ [1;1.5] (gluons) suivant l’expression de l’ansatz des D.D.(b). Quelques remarques : f q ( , ,t) = q(  ) h( ,  ) F(t) avec h( ,  ) ~ 1/(1-   ) (1-  ²) b 1. Concernant F(t) aucune param. n’est satisfaisante => à petits x Bj : F(t) ~ e Bt/2 (B  pour q/g) H q (x, ,t) =  d  d   (x-  -  ) f q ( , ,t) DLGAP ERBL Si b  la dependce en  disparaît => H=H(x,t) ~ distribution fwd et le domaine ERBL doit être param. indpdt => les règles de somme ne sont plus assurées!

DVCS : e+ dans SPACAL et  (LAR) (signal) BH avec la même topologie que l’échantillon de signal BH avec e+(LAR) (échantillon de contrôle) Analyse dans H1/ZEUS

Extraction de  (DVCS) DVCS = 82 GeV

MC DVCS pour cette analyse  SPACAL - LAR  (deg) Echantillon BH Echantillon de Signal MC BH MC DVCS MC BH d  DVCS /dxdydt =  3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² ( CF  H S )² e Bt =  3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² (1/R S )² F 2 ² e Bt [1+  ²] avec 1/R S = Im CF  H S ( ,  ))/ q S (2  )~2 MC DVCS = LO FFS (PLB460 (1999) 417) Nouvel objectif : avec les param. GPDs => prédictions NLO i.e. evolution NLO des GPDs et prédiction NLO (+H g …) de d  DVCS /dxdydt.

Terme d’interférence (BH/DVCS)  ( + + ) =  (DVCS)+  (BH)+Interf. A DVCS(ep) ~e -i  et A BH(ep) ~e -2i ’  => Interf. ~ I.cos(  )+O(1/Q) On ne mesure pas  => M =  et Interf.~0 (à l’ordre 1/Q) hel(  *)hel(  ) Dans toutes les SSA le terme BH disparaît => seules restent les contributions DVCS et Interférence => DVCS si on néglige l’interférence! En effet, SSA ~ Im(A*B) avec A,B=DVCS,BH et A BH(e  *) est réelle…

Remarque sur les twists > 2 Depuis le début, nous travaillons en négligeant les les comp.  (=> M = M[twist2] + O(k  /Q))  *(hel=0)  (hel=+1) => nécessite l’échange d’un gluon pour transférer +1 d’hélicité = twist 3 ~ O(k  /Q). Cpt, dans le calcul de  (  * p ->  p) tous ces termes (twists > 2) = 0 si on ne mesure pas  :  => nos prédictions  restent correctes même à l’ordre des twists 3…

Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] f S,V,g ( , ,t) = Q S,V,g (  ) h S,V,g ( ,  ) F S,V,g (t) avec b  soit : H S,V,g (x,  )  Q S,V,g (x) (en notations de Ji) En notations de Radyushkin => x Ji = (X-  /2)/(1-  /2) avec H S,V,g (x,  )/P + = H S,V,g (X,  )/p + Donc A. Freund pose : H S,V,g (X,  )  Q S,V,g ((X-  /2)/(1-  /2)) / (1-  /2) dans le domaine DGLAP (X>  ). => MRST,CTEQ,… suivant les fonctions choisies pour Q S,V,g. Comme nous l’avons signalé précédt, H=H(x,t) ~ distribution fwd => domaine ERBL non contraint et règles de somme non assurées! Le domaine ERBL est paramétrisé en imposant la continuité en X=  et en demandant que les 2 premières règles de somme soient vérifiées. Le D term = celui indiqué dans la partie sur les D.D. (Notes : pas de D term pour V, D term pour g (Q 0 ²)  0 mais un D g (Q²) est généré par l’évolution). La partie axiale est param. de la même manière (sans D term)… Pour E +(axial), la procédure est un peu différente mais à petites valeurs de t<0.1 GeV² ces contributions sont faibles…

Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] H1 97 : 8 pb -1 Prédictions issues de ces nouvelles param. sur les données H1 (97/00) => Le NLO donne un bon accord mais le LO n’est pas bien normalisé  en fait 1/R LO > 2 mais c’est aussi Re(A)² qui est trop grande au LO (alors que dans la prédiction initiale Re²   ²<<1) B=[5;9] GeV -2

Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] Avec l’ensemble des données : On utilise MRST01 pour le nouveau MC : Possibilité d’intégrer ou non sur  Toutes les observables sont calculées (à l’ordre des twists3) etc. Développement de ce MC avec Emmanuelle Perez (SPP)

Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] Comparaisons LO pour les différentes prédictions possibles (normalisation au nb d’evts) :

Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] (normalisation / nb d’evts) => la prédiction NLO est en meilleur accord avec le MC FFS initial (qui décrivait bien les données, 1/R ayant été ajusté pour cela!) => bonnes perspectives pour la future analyse expérimentale…

Nouveau MC [// hep-ph/ (A. Freund)] => Dans l’analyse exp. L’échantillon de signal  DVCS+BH (de même topologie) => important que le MC décrive bien également le BH (=> OK en mode somme)… BH DVCS+BH => = en prenant en compte le nv MC => meilleure mesure de la pente en t

Conclusions Amplitude DVCS ~  dx [1/ (  -x+i  ) - 1/ (  +x+i  )]  e q ²H q (x, ,t)+[E]+[axial]+O(1/Q) avec H q (x, ,t)  GPD Les premières prédictions de  DVCS reposaient sur une param. du rapport 1/R=Im A(  * p ->  p)/ Im A(  * p ->  * p) ~ F q s,s’ (x= , ,Q²) / q(x Bj,Q²) ~2 (LO) On a montré que les données sont bien décrites mais l’incertitutde sur les GPDs reste importante (20/30%) => importance d’une mesure “précise” de la pente en t… Nous avons alors montré comment paramétriser les GPDs (H,E,…) en respectant certaines règles de sommes  prédictions possibles au NLO : d  DVCS /dxdydt ~  3 s (1+(1-y)²) /(2Q 6 ) x² ( CF  H S )² e Bt +… => Nouveau MC reposant sur hep-ph/ (A. Freund) : H S,V,g (x,  )  Q S,V,g (x) dans le domaine DGLAP + règles de somme des 2 premiers moments pour contraindre la partie ERBL  bon accord avec les mesures. Ce nv MC donne des résultats intéressants au niveau générateur => perspectives positives pour la nvlle analyse. Nous avons noté également que la meilleure préd. du BH est un élément important…

Annexe / A. Compton k k+q  ’’ M = -i  d 4 z e -iqz Q² = 2 q + q - et x Bj = Q²/2p + q - => q - = Q²/(2p + x Bj ) et donc a la limite de Bj q z ~ q + z - (avec z + ~0) ; (on néglige de plus les comp.  ) + c.g. + c.t. Identité de Fierz

+c.t. + [axial] Annexe / A. Compton => M = M(CF  HME)

Annexe / F(t) et GPDs 1. Facteurs de forme 2. e Bt/2 (à petits x<0.01) 3. H(x,0,t) = e Bt/2 (1/x)  0+  ’t (intercept de Regge) alors la dispersion du paramètre d’impact ~ B/2 +  ’ ln(1/x) => diffusion de Gribov 4. Mélange de ces paramétrisations f q ( , ,t) = q(  ) h( ,  ) F(t)

Annexe / DDVCS DDVCS   *(q, q²  *(q’,q’²>0) p Alors, on montre de la même manière que pour le DVCS : M ~  dx [1/ (  -x+i  ) - 1/ (  +x+i  )]  e q ²H q (x, ,t) + [axial] avec  = -(q’+q) + /(p+p’) + et  = (q’-q) + /(p+p’) + Soit : Im(M) ~ H( , ,t) avec |  | <  => possibilité d’explorer le domaine ERBL