Dynamique Cours de mécanique TGMB1

a somme des actions extérieures est égale aux quantités d’accélération 1 - Principe Fondamental de la Dynamique PFD 1.1 - Enoncé général Si on isole un système S alors : de ce système S dans un repère galiléen. Exemple de repère galiléen : Le repè re terrestre. L a somme des actions extérieures est égale aux quantités d’accélération 1.2 - Traduction mathématique du PFD Si les actions extérieures appliquées sur le système S sont modélisées par un torseur { T (Ext/S)}, et les quantités d’accélération sont modélisées par le torseur dynamique { D (S/Rg)}. On a alors : { T (Ext/S)} = D (S/Rg)} Pour appliquer le PFD il faut donc exprimer les torseurs dynamique et des actions extérieures 1.3 - Remarque Le principe fondamental de la statique, est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique pour lequel le torseur dynamique est nul. P.F.S. ó { D (S/Rg)} = {0}

î ï í ì þ ï ý ü { D (S/Rg)} = G m G m . G kg.m.s = N N .m = kg.m .s d 2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2.1 - Expression du torseur dynamique pour un mouvement de translation Soit un solide S: De c entre d’inertie G et de masse m . En mouvement de translation quelconque. De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère Rg : ¾ ® G Î S/Rg Alors les quantités d’accélération sont modélisées par le torseur dynamique { D (S/R g )} dont les éléments de réduction en G sont: { D (S/Rg)} = G î ï í ì m . ¾ ® G Î S/Rg þ ï ý ü m . ¾ ® G Î S/Rg Résultante : ¾ ® Soit : ¾ ® Moment en G : Unités : kg.m.s - 2 = N N .m = kg.m 2 .s - Résultante : Moment : Remarque 1 : Le moment dynamique ¾ ® d G ( S/Rg ) est nul en G mais pas en un point M quelconque. ¾ ® d M ( S/Rg ) = ¾ ® d G ( S/Rg ) + ¾ ® MG Ù m . G Î S/Rg On a alors :

î ï í ì þ ý ü deux cas particuliers : G = m = 0 m . G = m . { 2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2.1 - Expression du torseur dynamique pour un mouvement de translation Soit un solide S: De c entre d’inertie G et de masse m . En mouvement de translation quelconque. De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère Rg : ¾ ® G Î S/Rg Alors les quantités d’accélération sont modélisées par le torseur dynamique { D (S/R g )} dont les éléments de réduction en G sont: Résultante : m . Moment en G Soit { (S/Rg)} = î ï í ì m þ ý ü deux cas particuliers : Remarque 2 : Il existe ¾ ® G Î S/Rg = Cas 1 : Le mouvement de translation rectiligne est uniforme : m = 0 Cas 2 : On néglige l’inertie du système : m . ¾ ® G Î S/Rg = Pour ces deux cas : Donc : appliquer le PFD revient à appliquer le PFS.

G = d V dt R 2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2.2 - C alcul de l’accélération en translation rectiligne 2.2.1 - Définition de l’accélération Soit un système S: De centre d’inertie G et de masse m . De vecteur vitesse de G appartenant à S dans le repère R g : ¾ ® V G Î S/Rg De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère Rg : ¾ ® G Î S/Rg = è ç æ ø ÷ ö d V S / Rg dt R g Donc s i : ¾ ® V G Î S/Rg x y z Rg Alors : ¾ ® G Î S/Rg · x y z R g Par définition :

(Accélération) (Décélération) 2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2.2 - C alcul de l’accélération en translation rectiligne 2.2.2 - Cas d’un mouvement de translation rectiligne Soit un système S: De centre d’inertie G et de masse m . En translation rectiligne de direction D par rapport au repère Rg De vecteur vitesse de G appartenant à S par rapport au repère Rg : ¾ ® V G Î S/Rg De vecteur accélération de G appartenant à S par rapport au repère Rg : ¾ ® G Î S/Rg (Accélération) ¾ ® G Î S/Rg ¾ ® V G Î S/Rg (Décélération) Alors le vecteur accélération du centre d’inertie à les caractéristiques suivante : Direction Sens Module ¾ ® G Î S/Rg // V // D Identique à ¾ ® V G Î S/Rg si S est en accélération Opposé à ¾ ® V G Î S/Rg si S est en décélération || ¾ ® G Î S/Rg = d || V S / Rg dt

S F = m . G 2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2.3 - Théorème de la résultante dynamique en translation Soit un système S: De centre d’inertie G et de masse m . De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère R g : ¾ ® G Î S/Rg Où S F ext/S est la somme des résultantes (forces) des actions extérieures appliquées sur le système S. S ¾ ® F ext/S = m . G Î S/Rg Remarque : Appliquer ce théo rème est plus simple que le théorème général, mais pour un problème plan, il fournit une équation de moins. Il permet donc de déterminer une inconnue de moins.

þ ý ü ì î í X L Y M Z { D (S/Rg)} = J . q O 3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3.1 - Expression du torseur dynamique Soit un s ystème S en rotation autour d’un axe D parallèle à l’axe Z du repère galiléen Alors l’expression du torseur dynamique est la suivante : þ ý ü ì î í X D L Y M Z { D (S/Rg)} = J D . · q O Où : J D est le moment d’inertie du système S par rapport à l’axe . · q est l’accélération angulaire du système S autour de l’axe D . O est un point de l’axe D Remarque : Si le système est équilibré par rapport à l’axe D alors : X , Y , Z , L et M sont nuls.

S M = J . q .s = kg.m N.m rad.s kg.m 3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3.2 - Théorème du moment dynamique Soit un système S en rotation autour d’un axe D parallèle à l’axe Z du re père galiléen. Alors: S M D (Ext/S) = J D . · q Où : - S M D (Ext/S) est la somme des moments par rapport à des actions extérieures. - · q est l’accélération angulaire de S autour de D - - JD est le moment d’inertie du système S par rapport à l’axe D Remarque : Ce théorème est suffisant pour résoudre tous les problèmes traités en terminale STI. Unités : 2 .s - = kg.m Moments des actio ns extérieures : S M D (Ext/S) : N.m rad.s - 2 Accélération angulaire · q : kg.m 2 Moment d’inertie du système S par rapport à l’axe D :

3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3.3 - Définition du moment d’ inerte d’un système S par rapport à l’axe D 3.1 - Définition Le moment d’inertie J D d’un système S par rapport à l’axe est le réel défini comme la somme de tous les réels dJ= r 2 .dm où dm est la S distante de r de l’axe . masse d’une partie infinitésimale (extrêmement petite) du système r dm ( D ) J D = õ ó S r 2 .d m 3.2 - Moment d’inertie d’une masse ponctuelle Soit un solide S dont les dimensions sont petites par rapport à la distance entre son centre de gravité et l’axe D . Alors son moment d’inertie par rapport à l’axe peut s’écrire D r m G J D = r 2 . m

3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3.3 - Définition du moment d’ inerte d’un système S par rapport à l’axe D 3.3 - Moments d’inertie de quelques solides homogènes Parallélépipède Sphère (D) a b h (D) r m = r . 4 3 p .r m = r .a.b.h J D = m. ( a 2 + b ) 12 J D = 4.m.r 2 10 Cylindre plein Cylindre creux (D) h r (D) h R r m = r . p .r 2 .h m = r . p .( R 2 - ).h J D = m.r 2 J D = m. ( R 2 + r )

J = J + m . d 3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3.3 - Définition du moment d’ inerte d’un système S par rapport à l’axe D 3.4 - théorème de Huygens Soit un solide S : - de masse m de centre de gravité G appartenant à l’axe D De moment d’inertie J par rapport à l’axe (D) (D ) G d Soit un axe D ’ parallèle à l’axe et distant de celui - ci d’une distance d. Alors le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ’ peut se calculer par : J D ’ = J + m . d 2