Chapitre 3: Variables aléatoires réelles continues

3.1 Variable aléatoire continue (v.a.c) Définition : Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle de nombres réels. Exemples : Soit la v.a. X représentant la durée de vie, en jours d’une ampoule électrique. Soit la v.a. X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6 mois. Important: Pour une v.a.c. X, on ne peut pas parler de la probabilité que X prenne une valeur x mais plutôt de la probabilité qu’elle se retrouve dans un intervalle donné

3.1 Variable aléatoire continue Exemple f(x): fonction de densité de probabilité où X est la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en années d’une ampoule Forme analytique

3.1 Variable aléatoire continue: Loi et fonction de répartition La probabilité que la v.a.c. X prenne une valeur dans un intervalle entre a et b est donnée par l’aire sous le graphique de la fonction de densité de probabilité f(x) entre a and b. F représente la fonction de répartition de X: La probabilité en un point est nulle: Puisque alors: L’aire sous la courbe doit être égale à 1. Une probabilité est toujours positive

3.1 Variable aléatoire continue: Représentation graphique P(0≤X≤1,5) Exemple : Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule électrique soit comprise entre 0 et 1,5 an.

3.1 variable aléatoire continue: Espérance et variance L’espérance d’une variable aléatoire est définie comme suit: La variance d’une variable aléatoire est définie comme suit: Pour l’exemple de la durée de vie d’une ampoule E(X) et V(X) sont:

3.2 Distribution uniforme: Définition, Espérance et variance Lorsque la probabilité est proportionnelle à la longueur de l’intervalle, la v.a.c. est distribuée de façon uniforme Une v.a.c X obéit à une distribution uniforme sur un intervalle [a, b] si sa densité de probabilité est donnée par : On note ceci comme suit: X  U(a, b) ; En outre, E(X)=(a+b)/2 et V(X)=(b-a)2 /12; La fonction de répartition de X est:

3.2 Distribution uniforme Exemple Supposons que la concentration d’un certain polluant est distribuée uniformément sur l’intervalle 6 à 22 mgpmc. Si la concentration excède 16 mgpmc, on considère le polluant comme toxique. Quelle est la probabilité de déclarer le polluant comme toxique? P(X>16) = (1/16)(6) = 0,375

3.3 Distribution exponentielle: Définition, Espérance et Variance Définition: Soit m >0, on dit qu’une v.a.c X suit la loi exponentielle si sa fonction densité est de la forme: L’espérance , la variance et la fonction de répartition de X sont :

3.3 Distribution exponentielle: Notes La loi exponentielle est utile pour décrire la durée de réalisation d’une tâche Exemples: le temps entre les arrivées à un lave-autos la distance entre les défauts majeurs d’une autoroute dans les files d’attente, la distribution exponentielle est souvent utilisée pour le temps de service Liée à la loi de Poisson qui fournit une bonne description du nombre d’occurrences par intervalle Loi exponentielle fournit une bonne description de la longueur de l’intervalle entre les occurrences

3.3 Distribution exponentielle: Relation entre les distributions de Poisson et exponentielle Loi (discrète) de Poisson utile pour examiner le nombre d’occurrences d’un événement dans un intervalle de temps ou d’espace donné Loi de Poisson fournit une description du nombre d’occurrences par intervalle Loi (continue) exponentielle fournit une description de la longueur des intervalles entre les occurrences Le paramètre de la loi exponentielle est l’inverse du paramètre de la loi Poisson

3.4 Distribution normale: Définition, Espérance et Variance Définition: Une v.a.c X pouvant prendre toutes les valeurs réelles x dans l’intervalle de -  à +, pour m  , pour s  + dont la fonction de densité est : s’appelle une v.a. normale de paramètres m et s2: X N(m , s2) L’espérance et la variance de X sont données comme suit:

3.4 Distribution normale: Forme de la distribution normale Il existe une famille entière de lois normales. Elles se différencient par leur moyenne et leur variance Courbe en cloche Courbe symétrique La moyenne, le mode et la médiane correspondent au même point (le point le plus élevé) L’écart type détermine la largeur de la courbe, plus il est grand, plus la courbe sera large et aplatie L’aire totale sous la courbe est 1 Aussi appelée loi Gaussienne ou loi de Gauss  x f(x)

3.4 Distribution normale: Notes 68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-s;m+s] 95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-2s;m+2s] 99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle [m-3s;m+3s]

3.4 Distribution normale: La loi normale centrée réduite Une v.a.c. qui a une distribution de probabilité normale de moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi normale centrée réduite. Cette variable est souvent dénotée par la lettre Z On peut convertir une v.a.c. X qui suit une loi normale de moyenne m et écart type s en une variable normale centrée réduite Z : Étant donné une valeur z, nous utilisons la table normale centrée réduite pour trouver la probabilité (l’aire sous la courbe) qui lui est associée.

3.4 Distribution normale: Exemple Soit X une variable aléatoire qui suit N(15,20). Calculer p(0<X<20): p(15<X<20)=p(0<Z<0.25)=0.0987 0,25 Aire cherché z

3.4 Distribution normale: Convergence de la binomiale vers la normale Si X  Bi (n, p)  X  N ( np, npq) La distribution normale est une bonne approximation de la distribution binomiale lorsque: np≥5 et n(1-p) ≥5 Un factor de correction de continuité peut être nécessaire pour s'assurer que la probabilité d'une valeur spécifique discrète est incluse dans le calcul. P(X=12) est approximé par P(11,5 ≤ X ≤ 12,5) Facteur de correction = 0,5