Les collèges de Montrabé et de Tournefeuille vous présentent :

Le sujet Décomposer 2010 sous forme d'une somme de nombres de telle sorte que le produit obtenu avec les nombres trouvés soit le plus grand possible

Des exemples 2010=2000+10 et 2000 x 10 = 20 000 2010 = 1000+1000+10 et 1000 x 1000 x 10 = 10 000 000 Problème: comment pouvons nous trouver le produit le plus grand?

Les observations Observation 1 : Inutile de décomposer le nombre en utilisant 0 ou 1 comme termes 2010 = 2010 + 0 et 2010 x 0 = 0 2010 = 2009 + 1 et 2009 x 1 = 2009 Et il est très facile de trouver un produit supérieur : 2010 = 2000 + 10 et 2000 x 10 = 20 000

Les différentes réflexions On a décomposé 2010 avec 500, puis avec 250 et on a comparé: 2010=500+500+500+500+5+5 ce qui donne un produit environ égal à: 1.5625x1012 2010=250+250+250+250+250+250+250+250+5+5 3.814697266x1020 Donc décomposer avec 250 est plus intéressant.

La décomposition avec 20 est plus intéressante. On poursuit : La décomposition en 25 donne un produit environ égal à 6,84 x 10112 Avec 20 le produit obtenu est environ égal à 126,765 x 10130 . La décomposition avec 20 est plus intéressante.

Observation 2 : D'après les décompositions avec 500, 250, 25, 20, il nous semble que plus les termes sont petits (en évitant le 1), plus le produit obtenu est grand Illustration : 2010 = 2000 + 10 2000 x 10 = 20 000 2010 = 1000 + 1000 +10 1000 x 1000 x 10 = 107 2010 = 10 + 10 + …..+ 10 10 x 10 x 10 ..x 10 = 10201

On va donc chercher des décompositions avec des nombres les plus petits possibles. 2 et 3 sont les plus petits termes non décomposables sans utiliser le 1. 2=1+1 et 3=2+1 Voyons pour les autres termes possibles

Nombre Décomposition Produit 5 3 + 2 6 4 + 2 3 + 3 9 7 5 + 2 4 + 3 2 + 2 + 3 10 12 8 6 + 2 5 + 3 4 + 4 3 + 3 + 2 2 + 2 + 2 + 2 15 16 18 7 + 2 6 + 3 5 + 4 5 + 2 + 2 3 + 3 + 3 3 + 2 + 2 + 2 14 20 27 Nombre Décomposition Produit 10 8 + 2 7 + 3 6 + 4 6 +2 + 2 5 + 5 4 + 4 +2 4 + 3 + 3 3 + 3 + 2 + 2 16 21 24 25 32 36 11 9 + 2 8 + 3 7 + 4 7 + 2 +2 6 + 5 6 + 3 +2 4 + 4 + 3 4 + 2 + 2 + 3 3 + 3 + 3 + 2 18 28 30 48 54

Dans les décompositions, nous n'allons utiliser que des 2 et des 3. Observation 3 : Si dans une décomposition on utilise le nombre 5, il vaut mieux décomposer celui-ci en 3 + 2. En effet : Prenons un nombre A qui se décompose ainsi : A = B + 5 Alors A = B + 3 + 2 Et B x 3 x 2 = B x 6 > B x 5 Observation 4 : Si dans une décomposition on utilise le nombre 4, cela revient au même que si on le redécompose en 2 + 2. En effet : si A = B + 4 = B + 2 + 2 Alors B X 4 = B x 2 x 2 ( puisque 2 x 2 = 4 ) Conséquence : Pour les nombres supérieurs à 5, plus la décomposition contient des termes égaux à 3, plus le produit est grand. Conclusion : Dans les décompositions, nous n'allons utiliser que des 2 et des 3.

Essayons avec 2 et 3 Les troisièmes décomposent avec 2, les cinquièmes partent sur des décompositions avec 3 afin de vérifier une dernière fois !!! Prenons un exemple simple , remplaçons 2010 par 10: 10= 2+2+2+2+2 soit un produit égal à 32 10= 3+3+3+1 soit un produit égal à 27 10=3+3+2+2 soit un produit égal à 36 Avec cet exemple, on voit qu’il vaut mieux prendre des 3 comme termes plutôt que des 2 ce qui est l’inverse de ce que l’on pensait. Car d’après nos calculs plus les termes étaient petits plus le produit était grand !!!!!!!

Alors 2 ou 3 ? Retour à 2010 : on va décomposer 2010 avec les nombres les plus petits possibles en respectant les observations précédentes. On obtient : 2010 = 2 + 2 + 2 …. + 2 = 2 x 1005 et 21005 ~ 3,42882754x10302 (trouvé sur internet) 2010 = 3 + 3 +… + 3 = 3 x 670 et 3670 ~ 4,70427x10319 ( trouvé sur internet) Question : ces résultats sont-ils fiables ? En effet en cherchant sur différents sites, on a obtenu des valeurs différentes !!!

Après de nombreux essais à la calculatrice et des recherches avec le tableur on a cherché à écrire 3 comme 2nombre On a trouvé une valeur approchée pour ce nombre : 1,584962500721 3 est à peu près égal à 21,584962500721 On a donc : 3670 à peu près égal à (21,584962500721 )670 et donc à au moins 21270 Conclusion : 3670 > 21005 Si quelqu’un peut nous donner la valeur exacte de ce nombre, merci de venir nous voir sur le stand !

Des pistes On pense que : Si A est un multiple de 3, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des 3. Exemple : 2010 = 3 x 670 -> plus grand produit : 3670 Si A est un multiple de 3 plus 1, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des 3 et un 4. Exemple : 10 = 9 + 1 -> plus grand produit : 4 x 32 = 36 34 = 33 + 1 -> plus grand produit : 4 x 310 = 236 196 Si A est un multiple de 3 plus 2, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des 3 et un 2. Exemple : 11 = 9 + 2 -> plus grand produit : 2 x 33 = 54 35 = 33 + 2 -> plus grand produit : 2 x 311 = 354 294

Le nombre cherché est donc compris entre 2,7 et 2,9. Du côté des décimaux… Donc on peut supposer que le nombre permettant le plus grand produit est compris entre 2 et 3. 2,5804 ~8,78 x 10319 2,6773 ~5,89 x 10320 2,7744 ~ 8,55x10320 2,8718 ~ 1,15x10321 2,9693 ~2,8 x10320 Le nombre cherché est donc compris entre 2,7 et 2,9.

Exposé présenté par les élèves des collèges Pierre Labitrie (Tournefeuille ) et Paul Cézanne (Montrabé) Mattéo, Aubry, Hugo, Damien, Julien, Antoine Agathe, Solène, Maxime, Lucas, Hugo, Tom, Fabien, Guillaume,Ilona, Clara, Laura Sujet proposé par : Xavier Buff, Université Paul Sabatier ( Toulouse)