La multiplication des décimaux ne pose-telle qu’un problème de virgule ? Éric Roditi IUFM Nord Pas-de-Calais Équipe DIDIREM Université de Paris 7

Introduction Une régulière évolution des programmes à propos des techniques opératoires. La recherche a produit de nombreux travaux sur sur les nombres décimaux et leur multiplication. Quel intérêt et quel impact sur les pratiques ordinaires ? Comment enseigner cette technique opératoire et quelle formation proposer pour les enseignants ?

Introduction Une régulière évolution des programmes à propos des techniques opératoires. La recherche a produit de nombreux travaux sur sur les nombres décimaux et leur multiplication. Quel intérêt et quel impact sur les pratiques ordinaires ? Comment enseigner cette technique opératoire et quelle formation proposer pour les enseignants ? PLAN I. Des erreurs récurrentes aux difficultés d’apprentissage II. Des propositions pour enseigner la multiplication III. Des analyses de pratique à la formation

I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage 1. Il y a bien un problème de virgule... a) Juste avant le changement de 1995 (6ème 1991/94) 11,4 x 5,3 Réussite : 58% Chiffres exacts mais faute de virgule : 21,1% 7,46 x 3,1 Réussite : 52% Chiffres exacts mais faute de virgule : 20,1% 63,4 x 2,12 Réussite : 49,6% Chiffres exacts mais faute de virgule : 21,2% Quelles « fautes de virgule » ? « Oubli » de la virgule Sens du comptage, confusion avant/après la virgule Alignement des virgules

I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage 1. Il y a bien un problème de virgule... b) Et vingt ans plus tôt (CM2 - 6ème -5ème - 4ème 1978) 543 x 0,12 Réussite : 64,4 % 17,9 x 32 Réussite : 61,1 % 1246 x 2,5 Réussite : 62,7 % 2,6 x 0,25 Réussite : 47,2 % 912,4 x 5,123 Réussite : 43,6 % 37,35 x 2,34 Réussite : 42,9 % 86,34 x 340 Réussite : 34,7 %

I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage 2. Des difficultés en lien avec la numération décimale Multiplication/division par 10, 100… (6ème) 1994 2,3 x 10 Réussite 77,4 % 10,4 % répondent 20,3 ou 2,30 6,3 % répondent 230  1994 35,2 x 100 Réussite 59,5% 9,7% répondent 3500,2 ou 35,200 15,7% répondent 352  1991 325,6 ÷ 10 Réussite 62,1%  1992 38,45 ÷ 10 Réussite 63,8%  1993 0,1034 ÷ 10 Réussite 30,5%

I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage 3. D’autres variables jouent aussi a) Le « format social » des nombres (6ème 1980 et 1997) Multiplication d’un décimal (non entier) par dix Un ticket de cantine coûte 14,75 F. Quel est le prix d’un carnet de 10 tickets ? 6ème 1997 Réussite 82 % (7 % des élèves répondent 140,75 F)

I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage 3. D’autres variables jouent aussi a) Le « format social » des nombres (6ème 1980 et 1997) Multiplication d’un décimal (non entier) par dix Un ticket de cantine coûte 14,75 F. Quel est le prix d’un carnet de 10 tickets ? 6ème 1997 Réussite 82 % (7 % des élèves répondent 140,75 F) Multiplication de deux décimaux (non-entiers) J'achète 3,70 m de tissus à 9,50 F le mètre. Combien dois-je payer ? En 1980 Réussite : 45,5% Recours à une démarche multiplicative : 77,5% En 1993 Réussite : 35,2% Recours à une démarche multiplicative : 80,5%

I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage 3. D’autres variables jouent aussi b) Les propriétés de la multiplication (futurs PE)

Avec des effets de transposition et de contrat didactique... I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage 3. D’autres variables jouent aussi c) La situation modélisée par la multiplication Quelle est l’aire de ce triangle ? …………… cm² Réponses produites. A : 108 cm² B : 42 cm² C : 93 cm² Avec des effets de transposition et de contrat didactique...

Référence à la théorie des champs conceptuels I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage Bilan Les « erreurs de virgule » révèlent des difficultés d’apprentissage et des obstacles didactiques : de la numération décimale et des écritures multiplicatives ; des propriétés de la multiplication et des techniques qui en découlent ; des situations que la multiplication modélisent. Référence à la théorie des champs conceptuels

II. Des propositions pour l’enseignement Et perspectives… 1904 “ Sur l’enseignement de l’arithmétique à l’école primaire ” Le maître enseignera le mécanisme de la règle. Je ne suis nullement scandalisé à l’idée que l’enfant ne se rendra pas compte du pourquoi de ce mécanisme, et la confiance qu’il accordera à son maître ne me déplaît en aucune façon. (...) en arithmétique deux points importants : reconnaître quelles opérations on doit faire, c’est­à­dire au fond bien comprendre les définitions ; puis savoir faire correctement ces opérations : le premier point est affaire d’intelligence, le second de routine, ou, pour parler mieux, d’habitude.

II. Des propositions pour l’enseignement Et perspectives… 1904 “ Manuel du Certificat d’Aptitude Pédagogique ” On dit souvent : peu ou point de théorie. Que restera­t­il donc ? La routine, le calcul machinal de chiens savants ou des automates. Nous dirons, nous : sans doute, il faut accoutumer les enfants à opérer vite ; c’est un but matériel et pratique qu’il est désirable d’atteindre. Mais qu’on ne craigne pas non plus de les accoutumer à se rendre compte de leurs opérations. (...) des enfants du cours moyen ne peuvent-ils pas savoir utilement (...) pourquoi dans un produit, on doit reculer la virgule vers la gauche d’autant de chiffres qu’il y en a dans les deux facteurs réunis ?

Référence à la théorie des champs conceptuels II. Des propositions pour l’enseignement Et perspectives… 2004 “ La rénovation des programmes de collège, consultation ” La multiplication de deux décimaux est à mettre en place en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la technique de calcul posé. Le sens de la multiplication de deux décimaux est en rupture avec celui de la multiplication de deux entiers notamment par le fait que, dans ce cas, ''une multiplication'' n'agrandit pas toujours. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. Référence à la théorie des champs conceptuels

II. Des propositions pour l’enseignement 1. Les situations multiplicatives (d’après G Vergnaud) a) Les situations qui portent sur une seule grandeur Addition réitérée (composition additive) : Le périmètre P d’un carré de côté c est donné par la formule P = 4 x c. Transformation d’une grandeur : Claude a agrandi une photo en poster. La photo est un rectangle de 15 cm de longueur et de 10 cm de largeur. La longueur du poster est 1,2 m. Quelle est sa largeur ? Comparaison de mesures d’une grandeur : Le longueur du cercle est égale à π fois son diamètre. Pas d’unité Même unité U Unité U

II. Des propositions pour l’enseignement 1. Les situations multiplicatives (d’après G Vergnaud) b) Les situations de proportionnalité Philippe a acheté 1,450 kg de fraises à 2,60 €/kg. Combien a­t­il payé ? Évelyne a roulé 45 min à 120 km/h. Quelle distance a­t­elle parcourue ? La densité de population française est 112 hab/km² et la superficie de la France est 544 000 km². Quelle est sa population ? Grandeur quotient V / U Grandeur 2 V Grandeur 1 U

II. Des propositions pour l’enseignement 1. Les situations multiplicatives (d’après G Vergnaud) b) Les situations de proportionnalité Philippe a acheté 1,450 kg de fraises à 2,60 €/kg. Combien a­t­il payé ? Évelyne a roulé 45 min à 120 km/h. Quelle distance a­t­elle parcourue ? La densité de population française est 112 hab/km² et la superficie de la France est 544 000 km². Quelle est sa population ? Prix unitaire € / kg 2,60 Prix € 3,77 Quantité kg 1,450

II. Des propositions pour l’enseignement 1. Les situations multiplicatives (d’après G Vergnaud) b) Les situations de proportionnalité Philippe a acheté 1,450 kg de fraises à 2,60 €/kg. Combien a­t­il payé ? 1 2,60 x 1,450 3,77 x 1,450 € kg € 1,450 kg

II. Des propositions pour l’enseignement 1. Les situations multiplicatives (d’après G Vergnaud) c) Les situations de composition de deux grandeurs Grandeur 1 U Combien de bateaux peut­on former à l’aide de coques de 4 couleurs différentes et de voiles de 3 couleurs différentes ? Calculer l’aire d’un rectangle de longueur 3,4 cm et de largeur 2,3 cm. Quelle est la puissance électrique consommée par un radiateur électrique traversée par un courant de 220 V et 9,5 A ? x Grandeur produit U.V Grandeur 2 V

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures de calcul fondées sur une situation a) Sur une situation d’agrandissement (d’après G Brousseau) Situation du puzzle Le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction.

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures de calcul fondées sur une situation a) Sur une situation d’agrandissement (d’après G Brousseau) Situation du puzzle Le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction. Situation du pantographe 3,6 1,5 2,4 10 15 36

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures de calcul fondées sur une situation b) Sur une situation d’aire de rectangle (R Douady et MJ Perrin) Calcul de l’aire d’un rectangle de longueur 3,4 et de largeur 2,3 3,4 x 2,3 = 6 + 9/10 + 8/10 + 12/100 = 7,82

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures de calcul fondées sur une situation c) Sur une situation de double - graduation (ERMEL 6e) Compléter les deux graduations figurant sur la feuille, puis à l’aide de ces données, déterminer le prix d’un bâtard de 200 g et le prix d’un pain de campagne de 600 g. Ce travail conduit au calcul de 0,2 x 16,50 et de 0,6 x 16,50 0,1 Masse en kg Prix en F 16,50 1

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures de calcul fondées sur une situation d) Sur une situation de conversion d’unités Le rôti coûte 16,50 €/kg. Calculer le prix d’un rôti de 0,6 kg. Conversions : 0,6 kg = 6 hg et 16,50 €/kg = 1,65 €/hg Calcul : Prix (€) = 0,6 kg x 16,50 €/kg = 6 hg x 1,65 €/hg = 9,9 €

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures non-contextualisées a) Avec des fractions décimales 3,4 x 4,75  = 34 / 10 x  475 / 100 = 16 150 / 1 000 = 16,15 3,4 x 4,75  = (34 x 0,1) x  (475 0,01) = 16 150 x 0,001

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures non-contextualisées b) Avec des opérateurs 3,4  x 4,75  =  ? x 10 x 100 x 1000 : 1000 34 x 475 = 16 150

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures non-contextualisées c) Avec l’écriture décimale 4, 7 5 x 3, 4 1, 9 0 0 1 4, 2 5 1 6, 1 5 0

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures non-contextualisées d) Avec des ordres de grandeurs 3,4  x 4,75  =  16 150 3 x 5 = 15 ,

II. Des propositions pour l’enseignement 2. Des procédures non-contextualisées e) Et j’allais l’oublier...

II. Des propositions pour l’enseignement 3. Quelques constats sur cet enseignement en 6ème Un contenu très riche qui met en jeu de nombreuses situations, procédures (/propriétés) et représentations. Les programmes recommandent de travailler à la fois le sens et la technique et laissent toute latitude aux enseignants pour le choix des situations et des procédures. En trois heures environ ! Les manuels scolaires proposent, au mieux, une activité sur le sens de la technique ne s’appuyant sur aucun contexte, la technique, puis la multiplication est appliquée, parfois interrogée mais le prolongement des entiers aux décimaux et la modélisation des situations ne sont pas abordés.

III. Des analyses de pratiques à la formation 1. Quatre enseignements étudiés : les contenus Contenus mathématiques Mme Germain M. Bombelli Agnesi Theano Multiplication des décimaux Technique opératoire (T.O.) x « Démonstration » ou justification de la T.O. Estimation du produit Propriétés algébriques de la multiplication x Effet de la multiplication sur l’ordre Multiplication par un facteur inférieur à un Multiplication par zéro ou par un Écritures des nombres Signification de l’écriture décimale x Changement d’unités du système décimal Multiplication d’un décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001... Autres notations que l’écriture « à virgule » Situations multiplicatives Domaine numérique : isomorphisme (prix) x Géométrie : produit de mesure (aire de rectangle) Géométrie : opérateur (agrandissement) Géométrie : composition d’opérateurs Gestion de données : opérateur (pourcentage) Gestion de données : opérateur (diagrammes)

III. Des analyses de pratiques à la formation 2. Quatre enseignements étudiés : les tâches Mme M. Mme Mme Tâches prescrites Germain Bombelli Agnesi Theano Introduction du nouveau savoir Proposition de situation a-didactique Cadres mobilisés Numérique Numérique Numérique Numérique La multiplication est un outil de résolution de problème Problèmes contextualisés x Exercices proposés (niveau collège) Détermination d’un produit 75% 71% 50% 64% - Par application de la technique opératoire 17% 14% La multiplication est un objet de savoir x x x x 09% - Par un calcul mental ou raisonné 33% 43% 17% 00% - Par un calcul approché ou par un encadrement 25% 14% 16% 55% Questions théoriques 29% 18% Problèmes issus de situations multiplicatives Les phases d’institutionnalisation Mode d’intégration dans la séance Bilan Déclaration B + D B + Apport Justification de la technique opératoire x La présentation des propriétés comporte : - Un titre explicatif - Une règle d’action décontextualisé x x x - Un exemple générique x x x x

III. Des analyses de pratiques à la formation 3. Quatre enseignements étudiés : les déroulements Les activités des élèves

III. Des analyses de pratiques à la formation 3. Quatre enseignements étudiés : les déroulements Les activités des élèves Des interactions prof - élèves : La gestion des incidents didactiques L’analyse statistique montre que l’effet professeur est significatif au seuil de : 0,000 1 %.

III. Des analyses de pratiques à la formation 3. Quatre enseignements étudiés : les déroulements Les activités des élèves Des interactions prof - élèves : La gestion des incidents didactiques Gestion ouverte Gestion fermée 1ère heure 2ème heure 3ème heure 4ème heure 5ème heure

III. Des analyses de pratiques à la formation 4. Perspectives pour la formation Des formations centrées sur les besoins, les objectifs et les moyens

III. Des analyses de pratiques à la formation 4. Perspectives pour la formation Des formations centrées sur les besoins, les objectifs et les moyens Des formations centrées sur pratiques : - pour travailler simultanément la tâche et sa gestion en classe - pour identifier les cohérences d’un enseignement - pour rechercher des alternatives envisageables

III. Des analyses de pratiques à la formation 5. Une page de pub avant le débat ! Cahier DIDIREM rouge n° 39 Sur la multiplication des décimaux

III. Des analyses de pratiques à la formation 5. Une page de pub avant le débat ! Cahier DIDIREM rouge n° 39 Sur la multiplication des décimaux Des cahiers sur l’analyse de vidéo - DIDIREM Bleu n° 2 (théorique) - DIDIREM Bleu n° 3 (étude d’une séance) - DIDIREM rouge n°45 (étude d’une séance)

III. Des analyses de pratiques à la formation 5. Une page de pub avant le débat ! Cahier DIDIREM rouge n° 39 Sur la multiplication des décimaux Des cahiers sur l’analyse de vidéo - DIDIREM Bleu n° 2 (théorique) - DIDIREM Bleu n° 3 (étude d’une séance) - DIDIREM rouge n°45 (étude d’une séance) Des cahiers sur la formation 2nd degré - des enseignants : DIDIREM Bleu n°4 - des formateurs (DU) : DIDIREM Bleu n°5

Merci et place à la discussion...