Thème: Les fonctions Séquence 4 : Variations d’une fonction Modéliser un problème par une inéquation. Résoudre graphiquement des inéquations de la forme : f (x) < k ; f (x) < g(x). Capacités : Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations : comparer les images de deux nombres d’un intervalle déterminer tous les nombres dont l’image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée. Mevel Christophe

Mevel Christophe 1°) Etude qualitative de fonctions L’activité sur la marégramme du port de Brest nous a permis d’approcher la notion de croissance/décroissance pour extrapoler une définition indiquer ci-dessous: Soit f une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative 𝒞 dans un repère. La croissance d’une fonction f b) La décroissance d’une fonction f Pour tous nombre réels u et v de I, si u ≤ v alors f(u) ≤ f(v). Cela traduit la croissance de la fonction f. Pour tous nombre réels u et v de I, si u ≤ v alors f(u) ≥ f(v). Cela traduit la décroissance de la fonction f. Mevel Christophe

Mevel Christophe Tableau de variation V(h) 0h52 6h47 13h13 19h09 24 On résume le sens de variation d’une fonction dans un Tableau de variation h V(h) 0h52 6h47 13h13 19h09 24 1,53 7,60 7,40 Tableau de valeurs 1,20 1,15 2,20 Représentation graphique Définitions: a désigne un nombre réel de l’intervalle I. Dire que f(a) est le maximum d’une fonction f sur I signifie que pour tout réel x de I: f(x) ≤ f(a). Dire que f(b) est le minimum d’une fonction sur I signifie que pour tout réel x de I: f(x) ≥ f(b). Exemple: 7,60m est le maximum et 1,15m est le minimum Sur l’intervalle [0; 24] Source: http://maree.info/76?d=20141125 Mevel Christophe

Mevel Christophe 2°) Résolutions graphiques d’inéquations a) Inéquations du type f(x) > k où k est un nombre réel Source: http://maree.info/82 Exemple: La hauteur de l’eau est supérieure à 2,70m entre 2h16 et 10h49 mais aussi entre 14h43 et 23h15. Autrement dit, l’ensemble solution de l’inéquation V(h) > 2,70 où V est la fonction qui à l’heure associe la hauteur de l’eau en mètre est ]2h16; 10h49[ U ]14h43; 23h15[. Propriété: Les solutions de l’inéquation f(x) > k (resp f(x) <k) sont les abscisses des points de la courbe 𝒞 situés au dessus (resp en-dessous) de la droite d’équation y = k. Mevel Christophe

Mevel Christophe b) Inéquations du type f(x) > g(x) Exemple: Soient les fonctions f et g définies sur [-3 ; 3] par f(x) = x²- 5 et g(x) = 0,5x. L’ensemble solution de l’inéquation f(x) > g(x) est : [-3; -2[ U ]2 ; 3]. L’ensemble solution de l’inéquation f(x) ≤ g(x) est: [-2 ; 2]. Propriété: Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) (resp f(x) < g(x)) sont les abscisses des points de la courbe 𝒞f situés au-dessus (resp en dessous) de la courbe 𝒞g. Mevel Christophe