Les fonctions de référence Thème: Les fonctions Séquence 3: Les fonctions de référence Connaître les variations des fonctions racine carrée et valeur absolue et leur représentation graphique. Capacités: Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [ 0 ; + ∞ [ Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions qui à x on associe x, ou x² ou 𝑥 . Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. Mevel Christophe

Mevel Christophe 1°) La fonction racine carrée a) Sens de variation Définition : La fonction définie sur [0;+∞[ , qui à tout nombre réel positif x associe sa racine carrée x , est appelée fonction racine carrée. a) Sens de variation Propriété : La fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[. Démonstration : Pour démontrer que f : x 𝑥 est croissante sur l’intervalle I = [0;+∞[ , il suffit de prouver que si u et v sont deux nombres de I tels que 0 ≤ u < v , alors f (u)< f (v). Autrement dit, si u - v < 0 , alors f (u) - f (v)< 0 ou encore 𝑢 − 𝑣 < 0 . u et v étant positifs : u - v = ( 𝑢 )² - ( 𝑣 )² = ( 𝑢 + 𝑣 )( 𝑢 − 𝑣 ) Par hypothèse, u - v < 0 . De plus, comme une racine carrée est une quantité positive ou nulle, 𝑢 + 𝑣 > 0 . D’après la règle des signes, on en déduit que 𝑢 − 𝑣 < 0 . En conclusion, si u - v < 0 alors 𝑢 − 𝑣 < 0 : la fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[ . Mevel Christophe

Mevel Christophe 𝑥 b) Représentation graphique c) Positions relatives Un tableau de valeurs permet de tracer la courbe. Sur l’intervalle[0;+∞[ , les fonctions f : x → x, g : x → 𝑥 et h : x → 𝑥 2 ont le même tableau de variations. (conjecture) x 𝟏 𝟒 1 4 9 𝑥 Mevel Christophe

Mevel Christophe Graphiquement, on conjecture que : · Les trois courbes ont en commun les points O(0;0) et A(1;1) · Pour x ∈ ]0;1[ , la courbe 𝐶 𝑓 est au-dessus de 𝐶 𝑔 , elle-même au-dessus de 𝐶 ℎ · pour x >1, la courbe 𝐶 ℎ est au-dessus de 𝐶 𝑔 , elle-même au dessus de 𝐶 𝑓 · dans un repère orthonormé, les courbes 𝐶 𝑓 et 𝐶 ℎ sont symétriques par rapport à 𝐶 𝑔 . Propriété : · Pour tout nombre réel x de l’intervalle[0;1], 𝒙 ² ≤𝒙 ≤ 𝒙 · Pour tout nombre réel x de l’intervalle[1;+∞[, 𝒙 ≤𝒙 ≤ 𝒙 ² Démonstration : Pour tout nombre réel positif x , x² - x = x(x-1) est du signe de (x -1), donc pour 0 ≤ x ≤1 on a x² - x ≤ 0 et pour x ≥1, x² - x ≥ 0 x - 𝑥 = 𝑥 ( 𝑥 −1 ) est du signe de ( 𝑥 −1 ) donc pour 0 ≤ x ≤ 1, 𝑥 ≤ 1 et x - 𝑥 ≤ 0 et pour x ≥ 1, 𝑥 ≥ 1et x - 𝑥 ≥ 0. Mevel Christophe

Mevel Christophe 2°) La fonction valeur absolue a) Valeur absolue d’un nombre réel Définition : Sur une droite graduée d’origine O, x est l’abscisse d’un point M. La valeur absolue du nombre réel x , notée x , est la distance OM. Exemples : |7,3| = 7,3 ; |-5,2| = 5,2 ; |1- 2| = 2 -1 Propriétés : Pour tout nombre réel x : |x | ≥ 0 |-x | = x Démonstration : Comme une valeur absolue est définie à l’aide d’une distance, elle est positive ou nulle, M et M’ d’abscisses respectives x et -x sont symétrique par rapport à l’origine O, donc OM=OM’, c’est-à-dire x = -x . Mevel Christophe

Mevel Christophe |x| = - x |x| = x b) Etude de la fonction valeur absolue La fonction f : x |x |, définie sur ℝ , est, par définition de la valeur absolue d’un nombre, une fonction affine « par morceaux ». En effet : · Sur l’intervalle ]- ∞;0], f est égale à la fonction affine strictement décroissante x -x · Sur l’intervalle[0;+ ∞[ , f est égale à la fonction affine strictement croissante x x Théorème : La fonction f :x |x |définie sur ℝ est : · strictement décroissante sur l’intervalle ]- ∞; 0]; · strictement croissante sur l’intervalle[0; + ∞[ . |x| = - x |x| = x Représentation graphique : Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites d’origine O. Pour tout nombre réel x , |x| = |-x| , soit f (x) = f (-x) . Ainsi, les points M(x; f (x)) et M’ (-x; f (-x))sont symétriques par rapport à l’axe (Oy) . En conséquence, les deux demi-droites sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Mevel Christophe

Mevel Christophe 3°) Sens de variation des fonctions associées L’algorithme suivant permet de calculer la valeur absolue d’un nombre réel. On remarque qu’il n’est pas nécessaire de tester si x est positif. Déclaration de Variables X un nombre de type réel Début Lire X Si X < 0 alors −X → X FinSI Afficher X Fin 3°) Sens de variation des fonctions associées a) Somme de fonctions Théorème: Soit un réel k et deux fonctions u et v définies sur un intervalle I • Les fonction u et u + k ont même sens de variation. • Si les fonctions u et v sont croissantes alors u + v est croissante. • Si les fonctions u et v sont décroissantes alors u + v est décroissante. Attention: Si les fonction u et v n’ont pas les mêmes variations, on ne peut rien dire de leur somme comme par exemple: a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 𝑒𝑡 𝑔 𝑥 =− 𝑥 2 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑒𝑡 𝑔 𝑥 =−𝑥² Mevel Christophe

Mevel Christophe x - ∞ 0 +∞ F(x) -5 Démonstration : Supposons la fonction u croissante sur I. (Démonstration par disjonction des cas) Pour tous nombres a et b de l’intervalle I, si a ≤ b , alors u (a) ≤ u (b), d’où u (a) + k ≤ u (b) + k . La fonction u + k est donc croissante sur l’intervalle I. On démontre de la même façon que si la fonction u décroissante sur I, alors u + k l’est aussi. Soit u et v deux fonctions croissantes sur I. Pour tout nombre a et b de l’intervalle I, si a ≤ b, alors u(a) ≤ u(b) et v(a) ≤ v(b). Par conséquente, u(a) + v(a) ≤ u(b) + v(a) ≤ u(b) + v(b). La fonction u + v est donc croissante sur l’intervalle I. Démonstration analogue. x - ∞ 0 +∞ F(x) -5 Exemples : Déterminer les variations des fonctions suivantes définies sur I a) f(x) = x² − 5 avec I= R b) g(x) = −5x + 3 +1/x avec I=]0, +∞[ c) h(x) = x² + 2x − 5 avec I= [0; +∞[ On décompose la fonction f en u + k avec u(x) = x²et k = −5. La fonction f a donc les mêmes variations que la fonction carrée. b) On décompose la fonction g en u + v avec u(x) = −5x + 3 et v(x) = 1/x • La fonction u est une fonction affine de coefficient directeur a = −5 < 0. La fonction u est donc décroissante sur ]0; +∞[ • La fonction v est la fonction inverse qui est décroissante sur ]0; +∞[ Par somme de fonctions décroissantes, la fonction g est décroissante sur ]0; +∞[ c) On décompose la fonction h en u + v avec u(x) = x²et v(x) = 2x − 5. • La fonction u est la fonction carrée qui est croissante sur R+. • La fonction v est une fonction affine de coefficient directuer a = 2 > 0. La fonction v est donc croissante sur R+ Par somme la fonction h est croissante sur R+ Par contre on ne peut rien dire de la fonction h sur R− car les fonction u et v ont des variations inverses. Mevel Christophe

Mevel Christophe b) Produit par une constante Théorème: Soit un réel λ et une fonction u définie sur un intervalle I • Si λ > 0, les fonction u et λu ont mêmes variations • Si λ < 0, les fonction u et λu ont des variations contraires Démonstration : Prouvons le résultat dans le cas où u est strictement croissante sur I et λ négatif. Prenons les nombres a et b dans l’intervalle I tels que a < b . Puisque la fonction u est strictement croissante, alors u (a) < u (b) On multiplie les deux membres par λ , et on obtient λ u (a) > λ u (b) ce qui montre que la Fonction λu est strictement décroissante. On démontre les autres cas de manière analogue. Exemple : Construire le tableau de variations de la fonction f définie sur ℝ ∗ 𝑝𝑎𝑟 𝑓 𝑥 = −4 𝑥 On décompose la fonction f en u et λ avec 𝑢 𝑥 = 1 𝑥 et λ = −4. Comme λ < 0, les fonctions u et λu ont des variations contraires. La fonction u est la fonction inverse donc décroissante sur ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[, donc la fonction f est croissante sur ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[. On obtient alors le tableau de variation suivant : x - ∞ 0 +∞ F(x) Attention, on ne sait rien sur la variation du produit de deux fonctions! Exemple: f(x) = 2x + 1 , g(x) = 3x+2 f(x) * g(x) =… Mevel Christophe

Mevel Christophe c) Racine carrée et inverse d’une fonction Théorème: Soit une fonction u définie sur un intervalle I Racine carrée Si la fonction u est positive sur I, alors les fonctions u et 𝒖 ont mêmes variations. Inverse Si la fonction u est non nulle et de signe constant sur I, alors les fonctions u et 𝟏 𝒖 ont des variations contraires. Démonstration: Cas pour lequel la fonction u est croissante sur un intervalle I. Comme la fonction u est croissante, si a et b sont deux réels de I tels que a > b, on a : u(a) > u(b) • La fonction racine carrée est croissante sur ℝ + , donc si u ≥ 0, on a alors : 𝑢(𝑎) > 𝑢(𝑏) La fonction √u est croissante sur I • La fonction inverse est décroissante sur ] − ∞; 0[ U ]0; +∞[, si u est non nulle et a un signe constant, on a alors 1 𝑢(𝑎) < 1 𝑢(𝑏) La fonction 1 𝑢 est décroissante sur I. Mevel Christophe