SYSTEMES NON LINEAIRES EN COMMUNICATION

INTRODUCTION Exemples : Circuit électrique RLC Filtre numérique PLL Modulation sigma delta

Circuit RLC

Filtres numériques Principe H(z) {h(n)} U(z) u(n) Y(z) y(n)

Filtres numériques Représentation par fonction de transfert Equations : y(k)= a0x(k)+a1x(k-1)+...+anx(k-n) - b1y(k-1)-...-bmy(k-m)

PLL Les boucles à verrouillage de phase (Phase-Locked Loops or PLLs) ou encore boucles à asservissement de phase permettent : d’extraire à partir d'un signal reçu la fréquence de synchroniser la phase

PLL Les éléments de base de la PLL sont : Un comparateur de phase Un Filtre passe bas Un VCO : oscillateur commandé en tension

PLL Equations

Modulation Sigma Delta Le principe de la modulation sigma delta consiste à: Suréchantillonner le signal Le quantifier sur un nombre de bits réduit Appliquer un filtre de décimation

Modulation Sigma Delta Schéma Équation

Les limitations des modèles linéaires En réalité tous les systèmes physiques sont non linéaires Dans certains cas il est possible de décrire le comportement d’un système physique par un modèle linéaire autour d’un point de fonctionnement En général le modèle linéaire est inadéquat et imprécis Certaines non linéarités sont voulus par l’ingénieur : Limitation de courant, commande tout ou rien, ….

Définition : Un système non linéaire est un système qui n’est pas linéaire c.à.d. qui ne peut pas être représenté par des équations différentielles à coefficients constants. Définition négative donc extrêmement non exhaustive Non existence de méthode générale pour l’étude des systèmes non linéaires Définition relative à la précision puisqu’un système non linéaire peut être considéré linéaire dans un certain domaine

Modèles mathématiques Représentation d’état Système dynamique non contrôlé Système dynamique contrôlé

Modèles mathématiques Systèmes bilinéaires Systèmes linéaires

Modèles mathématiques Équations différentielles u(t) : entrée , y(t) : sortie Ai ctes ---->  système linéaire stationnaire Ai(t)  ----> système linéaire mais non stationnaire Ai (x(t),y(t),y’(t),….) ----> système non linéaire  

Modèles mathématiques Systèmes à non linéarité séparable Avec H(p) la fonction de transfert du système linéaire

Exemples de non linéarité Saturation Plus ou moins Plus ou moins avec seuil Hystérésis Non linéarité essentielles : non linéarisable

Ce que l’on sait faire en linéaire Représentation des systèmes linéaires Équations différentielles à coefficients constants Fonction de transfert Représentation d’état

Ce que l’on sait faire en linéaire Analyse Réponse fréquentielle Réponse temporelle Stabilité précision

Ce que l’on sait faire en linéaire Commande Synthèse fréquentielle Synthèse dans l’espace d’état

Propriétés des SL qui ne sont plus valables dans le cas des SNL Principe de superposition Méthodes fréquentielles Méthode temporelle : caractérisation du système par un signal test Fonction de transfert Existence et unicité des solutions Stabilité

Phénomènes typiquement non linéaires Existence de points d’équilibre isolés et multiples Existence de cycles limites Présence d’oscillations avec composantes harmoniques d’ordre supérieur ou inférieur Sensibilité vis à vis des conditions initiales Sensibilité vis à vis des paramètres Comportement complexe et chaotique

Objectifs du cours Étude des systèmes linéaires dans l’espace d’état : cas continu et discret Comprendre et connaître les phénomènes non linéaires Introduire les outils mathématiques de base pour l’analyse des systèmes non linéaires Applications aux systèmes de communication