Axiomatique de Bachmann Illustrations elliptiques et hyperboliques avec Cabri-géomètre 01 : Présentation Il y a plusieurs façons d’aborder la géométrie - analytique comme Descartes - différentielle comme Gauss - métrique comme Cayley - axiomatique comme Hilbert Même si Poincaré pensait que l’axiomatique appauvrit l’imagination, c’est quand même sur l’évolution de ce point de vue que cette conférence va être consacrée et largement illustrée avec Cabri Yves Martin IUFM de La Réunion martin@univ-reunion.fr Montréal - 15 juin 2001

Axiomatique de Bachmann avec Cabri Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai Familiarisation des modèles des G.N.E. Axiomes et premiers théorèmes Théorèmes sur les faisceaux Les différentes géométries Plongement dans un modèle projectif 02 :Axiomatique de Bachmann Et en particulier nous aborderons l’axiomatique la plus aboutie des plans métriques, celle de Bachmann (1959) L’axiomatique de Bachmann s’inscrit dans une tradition algébrique initiée par Klein en 1872. Les plans métriques dont il va être question ici ne sont pas nécessairement munis d’une distance (en particulier s’ils sont finis) ils sont munis d’une structure d’incidence, d’orthogonalité et d’isométrie vérifiant certains axiomes.

Axiomatique de Bachmann avec Cabri Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai Familiarisation des modèles des G.N.E. Axiomes et premiers théorèmes Théorèmes sur les faisceaux Les différentes géométries Plongement dans un modèle projectif Dans un très bref rappel historique nous regarderons l’évolution des conceptions autour « des géométries » depuis la naissance des G.N.E de deux points de vue : - conceptuel - constructif : ce sera l’occasion d’illustrer des figures Cabri dans les différents modèles hyperboliques Dans un second temps nous présenterons quelques généralités sur la géométrie elliptique, et présentant plusieurs figures. Puis nous aborderons la présentation des axiomes de Bachmann après une lecture algébriques des notions de base dans le champ euclidien. Sans entrer dans le détail de la théorie des faisceaux, nous verrons comment le géométrie absolue généralise bien des résultats euclidiens Enfin, nous aborderons la classification des géométrie par ajout d’axiomes supplémentaires, et ce sera l’occasion de voir pourquoi il a fallu du temps pour sortir de la géométrie euclidienne. S’il reste du temps nous verrons les figures de Brianchon et Pappus en géométrie absolue et dire quelques mots sur le plongement de tout plan métrique dans un plan projectif

La théorie des parallèles (1829) Les droites sont : sécantes parallèles ayant une perpendiculaire commune 04 Lobachevsky Nous faisons commencer l’histoire avec Lobachevsky, même si la préhistoire serait elle aussi riche à commenter. Si deux droites ne sont pas sécantes, en général elles ont une perpendiculaire commune, sauf dans un cas où on dit qu’elles sont parallèles (et donc, en géométrie euclidienne il n’y a pas de parallèle au sens de lLobatchevsky) Prenons les cas des médiatrices d’un triangle. Soit elles - sont concourantes : et les points sont sur un même cercle - ont une perpendiculaire commune : les points sont alors sur une « équidistante » à cette droite - sont parallèles : et les points sont sur un horicycle Il existe un objet spécifique Les horicycles

La science absolument vraie de l’espace (1832) Si le V° postulat d’Euclide est supposé faux, alors la quadrature du cercle est possible 05. Bolyai A la même époque, Janos Bolyai (fils de Farkas Bolyai, amis de Gauss) arrive au même résultat. C’est lui qui a donné le nom d’absolu à cette géométrie ou par un point il passe une ou plusieurs parallèles à une droite donnée (contient donc la géométrie euclidienne et hyperbolique mais pas elliptique : non concevable à l’époque car implique le renoncement à une autre demande d’Euclide : que les droites soient non bornées)

La science absolument vraie de l’espace (1832) Si le V° postulat d’Euclide est supposé faux, alors la quadrature du cercle est possible 06 : Bolyai- quadrature Commenter sur la notion de carré : côtés et angles adjacents égaux et la relation à l’aire connue depuis Lambert. On notera alors que l’on se ramène à la recherche du cercle qui réalise le bon angle pour le carré. (ici l’aire du carré est 2 pi - 4*(pi/4) soit Pi

Géométrie différentielle (1828) Courbure intégrale Géodésiques 07 : Gauss En donnant un nouveau sens à la géométrie intrinsèque des surfaces, Gauss ouvre un champ de nouveau questionnement : quelle est la géométrie de ces surfaces ? Peut-on trouver des surfaces dont la géométrie naturelle soit justement celle des plans de Lobatchevsky ? La question ne s’est pas en fait posée en ces termes … mais la réponse … Géométrie intrinsèque des surfaces

Géométrie elliptique sur la sphère Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie (1854) Géométrie elliptique sur la sphère 09 : Riemann La place de Riemann ici vient de ce qu’il a été le premier à aborder la possibilité de droites finies et donc de la géométrie elliptique à partir du modèle de la géométrie de la sphère. Par ailleurs son travail sur les variétés donnera des arguments à Beltrami pour ses modèles pseudosphèriques Variétés différentielles

Essai d’interprétation de la géométrie non euclidienne (1868) La géométrie sur les surfaces à courbure constante négative sont localement des plans de Lobatchevsky 10 Beltrami A fait le lien entre les travaux de Gauss et ceux de Lobachevsky : la géométrie « naturelle » des surfaces à courbure constante négative est hyperbolique. Beltrami était particulièrement concerné par la construction de ces nouvelles géométries sur une SURFACE RELLE aussi n’a-t-il pas vu qu’il construisait en même temps le premier modèle hyperbolique en géométrie euclidienne. Deux figures illustrent sa théorie sur la pseudosphère A gauche sur le faisceau des médiatrices et à droite sur le pentagone régulier orthogonal. Pour ces deux figures il faut que Cabri soit lancé au préalable et réglé à la main en radian (mais pas par le fichier de préférences sinon celle sur le pentagone ne s’ouvre pas). D’une manière général, il FAUT fermer les figures AVANT de revenir au fichier Powerpoint, et il est préférable de QUITTER Cabri après chaque utilisation dans les diapos pour des questions de changement de couleur par exemple.

Construction du premier modèle hyperbolique plan (1869) 11. Le modèle de Klein Beltrami Comme on l’a dit, c’est Klein, parce qu’il étudiait des généralisations de la théorie de l’absolu de Cayley qui a vu que la construction intermédiaire de Beltrami était un modèle « projectif » (mais non conforme) : lles symétries orthogonales de ce modèle sont des homologies harmoniques de centre le pôle des droites du modèle. L’illustration est une troncature d’un pave régulier: on passe de P(4, 5) : des carrés à 72 degrés à son dual P(5, 4) des pentagones orthogonaux en passant, par troncature par 3 pavages semi-réguliers. Faire une animation multiple sur les deux points A et M. (et quitter Cabri avant de passer à la suite car la figure est vraiment lourde)

Classification des Géométries (1871) Il existe trois types de géométrie projective à courbure constante : • Elliptique • Euclidien • Hyperbolique 12. Nomenclature de Klein La théorie de l’absolue de Cayley (1859) sur la base d’une approche purement métrique a été généralisée par Klein qui obtient ainsi une première classification des géométries, avec une nomenclature qui restera. C’est à cette même époque que Beltrami s’aperçu qu’en fait, la donnée d’une conique fondamentale - « l’absolue » - revient à ne s’intéresser qu’aux surface à courbure constante, les seules sur lesquelles un groupe d’isométrie peut être construit.

Le programme d’Erlangen (1872) L’objet de la géométrie : « Étant donné une multiplicité et un groupe de transformation, développer la théorie des invariants par rapport à ce groupe » 13 - La première approche algébrique Thème connu, chacun a son commentaire personnel On peut dire que dans l’approche de Klein, il y avait un groupe qui opérait sur un ensemble de points, et des ensembles de points que son les droites. Toute la tradition algébrique va essayer de pousser cette approche à sa plus grande application. On arrive à l’aboutissement ultime avec Bachmann, qui va supprimer l’ensemble … des points … et des droites …. Il ne restera plus qu’un groupe opérant sur lui-même.

Les fondements de la Géométrie (1899) 14 - Nous arrivons à l’école de Hilbert R a été déjà construit plusieurs fois, et c’est à l’occasion d’un cours sur la géométrie que Pasch s’est posé la question - en 1882 - d’un nouveau regard - sur l’axiomatique d’Euclide, et en particulier sur sa relation à la construction de R. La question de la causalité est celle de la dépendance ou non de certaines propriétés à certains axiomes … ainsi … Construction catégorique de la géométrie plane euclidienne Indépendance des axiomes (par groupe) Causalité des propositions : introduction d’autres géométries (non arguésienne, non archimédiennes, legendrienne …)

Une classification des géométries 15 - Classification de Dehen Hilbert (au fond) avait demandé à Dehen (devant) de regarder, dans ce tableau la cause en haut à droite : Legendre avait montré qu’elle était vide, en utilisant explicitement l’archimédie de R. La question fut : et sans l’archimédie ? On trouve une géométrie dite depuis « non legendrienne », mais surtout un autre sous produit, une géométrie semi-euclidienne (elle aussi non archimédienne et donc non représentable dans un modèle euclidien) Cette géométrie semi-euclidienne a pu être rencontrée par les enseignants de collège, sans peut-être sans apercevoir. Par exemple quand on essaie de montrer (ou faire montrer à des élèves) que les bissectrices d’un triangle sont concourantes en n’utilisant QUE les angles et la somme des angles d’un triangle, on N’Y ARRIVE PAS tant que l’on n’utilise pas une propriété qui fit basculer de l’indétermination des deux géométries possible (euclidienne ou c’est vrai et semi-euclidienne où ça ne l’est pas) dans le cas euclidien : l’ajout d’une propriété équivalente au fait qu’on se situe dans la case euclidienne permet de conclure, mais on n’a pas utilisé « que les angles ». Pour la lecture du tableau entre les items, choisir un point de vue vertical plus parlant « aucune non sécante » = « un seul cas possible, « une seule » = un seul cas possible, « plusieurs = …. Noter que l’on dit une infinité car à priori on ne se place dans des géométries finies. Ce n’étit pas le propos de l’époque.

Empirisme et intuition chez Hilbert "Nous pensons trois systèmes différents de choses; nous nommons les choses du premier système des points; ...; nous nommons droites les choses du deuxième système...; nous appelons plans les choses du troisième système … Entre les points, les droites et les plans, nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que être sur, entre, congruent; la description exacte et appropriée au but des mathématiques de ces relations est donnée par les axiomes de la géométrie. 15 - Empirisme chez Hilbert Si le travail axiomatique et le foisonnement des recherches est considérable à l’époque autour des fondements de la géométrie, il reste, avec le recul historique que la démarche restait encore empirique, en particulier l’incidence et la congruence sont donnés à priori.

Empirisme et intuition chez Hilbert Pour Hilbert, et pour tous les mathématiciens semble-t-il, l'énoncé des axiomes de la géométrie se fonde sur les propriétés intuitives des points, droites etc . On pourrait dire que c'est la position d'Euclide et interpréter en partie, l'histoire des débats sur les fondements de la géométrie comme l'histoire d'une défiance de plus en plus grande vis à vis des vérités appuyées sur l'intuition de l'espace, mais qui aboutit à la constatation qu'on ne peut pas s'en passer totalement. 15b - Empirisme chez Hilbert Cette phrase est de Gilbert Arsac dans un livre sur l’axiomatique de Hilbert (Edition Aléas - publié par Tangente ou Quadrature) Cette attitude sera rapidement perçue et même avant une axiomatique véritable (Geiger - 1924) des auteurs proposent d’aborder l’axiomatique autrement, en particulier à partir des symétries orthogonales, et de manière plus algébrique, en cherchant des axiomes sur leur composition.

Les modèles euclidiens conformes (1901) 16a - Poincaré Mais avant d’aborder ces question, continuons notre exploration chronologique. Nous voici avec Poincaré, au tout début du XX° Alors qu’il n’était pas tellement concerné par les G.N.E, Poincaré se rendit compte que - en relation avec un groupe de transformations - les pavages réguliers hyperboliques rendaient compte par leurs invariants de certaines propriétés des fonctions qu’il étudiat - Fonctions Fuschienne. Pour étudier cela de plus près, il a été amené à construire des modèle CONFORMES

Les modèles euclidiens conformes (1901) 16b - Poincaré - Modèle du disque (présenter rapidement le modèle) Ici nous illustrons le théorème des milieux : la droite (verte) joignant les milieux de deux côtés d’un triangle a une perpendiculaire commune (rose) avec le troisième côté. Si le théorème des milieux - dont on enseigne la version affine en classe) a une réelle importance en géométrie, il se généralise dans un contexte qui n’a pas de notion de parallèle. La généralisation est la suivante : cette perpendiculaire commune est la médiatrice du troisième côté.

Les modèles euclidiens conformes (1901) 16c - Poincaré - Modèle du demi-plan Présenter le modèle. Dire que l’intérêt dans ce modèle est l’étude des pavages - historiquement des groupes Fuschiens Illustration de la diapo : pavage par des carrés d’angle 60 degrés Figure Cabri : pavage par des hexagones d’aire pi. Quitter Cabri après car la figure d’après est lourde

Les modèles euclidiens conformes (1901) 16d - Poincaré - Modèle du disque Toutefois les pavages sont plus jolis dans le cas du disque Illustration et figure : le passage par troncature de P(4, 5) à P(5, 4). La figure fait 8800 objets, elle est donc lourde à charger : faire une animation multiple sur le point de la troncature et le point A autour du cercle

L’après Hilbert 1905 - Hessenberg • Caractère arbitraire de la notion de parallélisme • Théorème d’antiappariement • Preuve de Pappus dans les plans métriques non euclidiens 17 - Hessenberg A construit sur la sphère privé d’un point (pôle nord) une géométrie euclidienne qui illustre l’approche « empirique » de Hilbert dans son introduction « hative » du parallèlisme dans sa construction. Le Théorème d’ntiappariement (vu avec Bachmann dans le langage des faisceaux) et au cœur de la transitivité des faisceaux et lui a permis (en 1930) de donner une preuve de Pappus dans un cadre plus large sue celui de Hilbert.

L’après Hilbert 1907 - Hjelmslev • Premier travail sur les faisceaux • Théorème fondamental des plans métriques • Notion de demi-rotation pour le plongement projectif 18 - Hjelmslev Parle de symétries et de faisceaux des 1907. Montre le théorème fondamental ur lequel nous reviendrons longuement car il est constructif pour Cabri. A élaboré la bonne notion pour construire les droites idéales du plongement projectif.

L’après Hilbert 1924 - Geiger 1933 - Thomson 1943 - Arnold Schmidt Première définition axiomatique de la géométrie 1933 - Thomson Première tentative de présentation algébrique de la géométrie euclidienne à partir des symétries 1943 - Arnold Schmidt Extension du travail précédent aux cas non euclidiens 19 - Avant Bachmann L’axiomatique de Bachmann s’installe dans un processus d’axiomatisation algébrique comme on le voit ici 1959 - Friedrich Bachmann Algébrisation ultime de la géométrie absolue plane

Axiomatique de Bachmann avec Cabri Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai Familiarisation des modèles des G.N.E. Axiomes et premiers théorèmes Théorèmes sur les faisceaux Les différentes géométries Plongement dans un modèle projectif 20 - Introduction à la géo elliptique La première partie nous a permis de présenter quelques propriétés hyperboliques sur le base de la présentation des différents modèles euclidiens. Avant d’aborder l’axiomatique de Bachmann et parce qu’elle contient les trois type de géométrie, il est utile de faire un petit détour vers les propriétés spécifiques à la géométrie elliptique.

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable 21 - La géométrie elliptique est non orientable Le modèle utilisé ici est celui de Klein l’intérieur d’un cercle (un demi cercle ouvert compris, voir commentaires sur feuille annexe), les droites sont les arcs de cercles coupant le cercle en deux points diamétralement opposés qui sont identifés. Le modèle est conforme. On a ici un cercle et ses deux tangentes issues d’un point extérieur : si on parcourt le cercle dans un sens euclidien, on voit - par identification des points diamétralement opposés, que le cercle elliptique ne peut être orienté.

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable • Notion de pôle et de polaire 22 - Pole et polaire Toutes les droites ortiginales à une droite (AB) passent par un même point appelé « pôle de (AB) ». De même tout point P admet une polaire dont il est … le pôle (détaillé sur le commentaire des figures

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable • Notion de pôle et de polaire 23 - Médiatrices et médiateur Si on appelle médiateur de deux points A et B l’ensemble des points à même idtance, alors le médiateur de deux points est la réunion de deux droite ortogonales en le pôle de (AB). On parlera d’une médiatrice intérieure (vert clair) et extérieur (vert foncé) pour distinguer les deux droites. La clair passe par le milieu intérieur [AB] et l’autre par le milieu extérieur. Ici on voit les cercles de centre A et B passant par B et A se couper en deux points sur la médiatrice intérieure • Le médiateur de deux points est la réunion de deux droites

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable • Notion de pôle et de polaire 23b - Suite Et là se couper en deux autres points sur la médiatrice extérieure. Les figures permettent de mieux se faire une idée des problématiques géométriques et de Cabri-construction. Ces figures sont commentées dans un fichier à part que l’on trouvera dans le dossier de la conférence. • Le médiateur de deux points est la réunion de deux droites

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable • Notion de pôle et de polaire 24 - abraCAbaBRI Java nouvelle formule Sur cette page cliquer sur le lien « explorer » pour aller sur une page elliptique en CabriJava : c’est un polygone régulier elliptique (étoiler) qui illustre encore la non orientabilité : Prendre le point « taille » et faire traverser à ce point la polaire du centre, alors passant de l’autre côté, la rotation change de centre : pour un cercle, une orientation euclidienne donnée peut amener le cercle elliptique à tourner dans les deux sens euclidiens. On notera aussi la colonne de droite du site : elle contient la partie « axiomatique de Bachmann » qui comprend la preuve - et la Cabri présentation » d’une dizaine de théorèmes de base. Avec de nombreuses illustrations dans les différnets cas. • Le médiateur de deux points est la réunion de deux droites

Axiomatique de Bachmann avec Cabri Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai Familiarisation des modèles des G.N.E. Axiomes et premiers théorèmes Théorèmes sur les faisceaux Les différentes géométries Plongement dans un modèle projectif 25 - Axiomatique de Bachmann Nous en avons finis avec les préliminaires culturels à la présentation d’une axiomatique algébrique de la géométrie plane Algébrique signifie que les objets de la géométrie vont être des éléments d’un groupe, donc des transformations et les transformations seront leur action par conjugaison.

Préambule à l’axiomatique de Bachmann Lecture algébrique des propriétés euclidiennes Point et orthogonalité Incidence Composition de 3 symétries - axes sécants Composition de 3 symétries - axes à perpendiculaire commune 26 - Approche algébrique dans le cas euclidien Pour mieux comprendre la démarche de Bachmann, reprenons les notions de point, orthogonalité, et incidence sous le regard algébrique. Manip : lancer successivement les figures associées et rendre Fig 1 : les droites orthogonales (la figure s’auto-commente) Fig 2: le point A sur la droite verticale (idem) Fig 3 et 4 idem, en passant le curseur sur « explication avant de manipuler D’une manière générale, pour affiner son vocabulaire, se familiariser avec ces figures avant (éventuellement) les exposer à d’autres …

L’environnement des axiomes de Bachmann On considère un groupe G noté multiplicativement, d'unité 1, et on note ∆ un ensemble générateur maximal pour ces deux propriétés : Tous les générateurs sont d'ordre 2 L'ensemble des générateurs est globalement stable par conjugaison. Dans toute cette présentation de l'axiomatique de Bachmann, on désignera : • Par une lettre minuscule grecque un élément de G, appelée une isométrie. • Par une lettre minuscule latine un élément de . • Par une lettre majuscule latine le produit de deux éléments de  quand ce produit est d’ordre 2. Par | la relation  : le produit est d'ordre 2 Ainsi a | b signifie (ab)2 = 1 ou encore ab=ba. (et ab ≠ 1) De même P | a signifie (Pa)2 = 1 ou encore Pa = aP 27 - Vocabulaire de Bachmann Tout est dans la diapo, mais on peut commenter Le groupe G opère naturellement par conjugaison sur lui-même, et donc en particulier sur . L'action d'un élément g de G sur un élément a a pour résultat gag-1 et se notera dans la suite ag. On choisit de noter P, Q | a pour signifier P | a et Q | a. De même on écrira P, Q | a, b pour exprimer P, Q | a et P, Q | b. En particulier : si a | b alors ab = a et ba = b. De même si P | a alors Pa = P et aP = a.

On appelle droite les éléments de ∆. Axiome 1 : Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence On appelle droite les éléments de ∆. Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h On appelle point le produit de deux droites quand ce produit est d'ordre 2 Axiomes des trois symétries Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d On dira que deux droites g et h sont orthogonales si g | h. Elles sont alors distinctes. Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d 28 - les axiomes Si on veut jouer le jeu on peut parler de « objets majuscules » et « minuscule » et d’être « d’ordre 2 » .. avant de parler de points et droites d’incidence et d’orthogonalité. Ces 5 axiomes sont à la base de toutes les géométries planes, il n’y a pas de notion d’ordre (contient aussi les géométries finies) et, comme on le verra, de nombreuses propriétés sont absolues au sens de Bachmann. On dira qu’un point P et une droite g sont incidents si P | g. Axiome d'existence d'un plan Si g | h alors le produit gh est un point P incident à g et à h. Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Étant donnés deux points il existe une droite qui leur est incidente. Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence Étant donnés deux points il existe une droite qui leur est incidente. Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h Axiomes des trois symétries Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Si deux points sont incidents à deux droites, alors soit les points, soit les droites sont confondues Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d 29 - Commentaire sur l’incidence On peut dire ici que l’abstraction ultime de l’approche algébrique de la géométrie (celle d’Erlangen) rejoint l’enseignement élémentaire dans nos classe quand on dit aux élève qu’une droite c’est le pli d’un pliage et qu’on fait marquer ce pli au crayon noir : l’axiomatique de Bachmann ne fait en définitive rien d’autre !!! Et alors le point c’est quand on plie le pli sur le pli C’est intéressant de voir que des approches à priori élémentaires et heristiques sont en réalité en même temps les plus profondes qui soient …. une fois la théorisation faite … Axiome d'existence d'un plan Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Si trois droites sont concourantes en un point, leur produit est une droite Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h Axiomes des trois symétries Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d 30 - commentaire sur les axiomes de « tri-symétrie » Les figures associées sont riches (les pratiquer avant de les exposer). Dans celle hyperbolique on peut construire la médiatrice de M et M’ et voir que le centre euclidien est sur la droite des centres ce qui signifie que cette droite est bien en faisceau avec les autres. Pour la partie elliptique, les droites sont toujours concourantes, on trouve un résultat intéressant sur pôles qui sont en « parallélogramme applati. Si trois droites ont une droite orthogonale commune, leur produit est une droite Axiome d'existence d'un plan Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Dans cette géométrie, il existe un triangle rectangle Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h Axiomes des trois symétries Dans cette géométrie, il existe un triangle rectangle Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d 31 - L’axiome d’existence En effet, si on prend dans C le groupe (1, i, -i, -1} on peut voir qu’il vérifie les axiomes 1 à 4 mais pas le 5 - le faire !!! - (on verrait que les droites n’ont que deux points et on veut au moins trois points pour une géométrie générale assez riche. Axiome d'existence d'un plan Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Droites invariantes par l’action d’une droite Action des isométries L'action d'un élément g de G sur un élément a a pour résultat gag-1 que l’on a noté ag. De par les propriétés de G, les isométries : • Transforment les droites en droites Transforment les points en points Conservent l’incidence et l’orthogonalité Droites invariantes par l’action d’une droite 32 - Détail sur les isométries On peut s’amuser à vérifier à la main les trois premiers points, mais c’est assez évident Autrement dit, les seules droites a globalement invariantes par l'action de u sont la droite u elle-même et toutes les droites a orthogonales à u. Soit u et a deux droites. Si a = u, alors uau = a, et donc au = a. Sinon uau = a ssi (ua)2 = 1 ssi u | a.

Pôles et polaires Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1. ab = c a | b a et b orthogonales ab = c = C 33 - le cas du pôle On est - ici sans le savoir à priori - dans le cas elliptique : alors un point est égal à une droite et donc pour nous une symétrie axiale est une symétrie centrale. Voir et commenter les figure dans l’ordre d’apparition Fig 1 : mis en avant de la sym ortho : on reste en « ortho » mais on voit que ça tourne autour du pôle Fig 2 : mise en avant de la distance du segment [MM’] : on voit pieux la symétrie ortho devebnir sym centrale Fig 3 : le curseur permet de se placer dans les différentes situations du tracé d’un segment [XX’] (distance - sym ortho - sym centrale Dans le cas où abc = 1, les droites sont deux à deux distinctes, et chacune égale au point incident aux deux autres.

Poles et polaires - Conséquence pour l’incidence Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1. Quand C = c, on a bien-sûr C | c. Toutefois, pour éviter qu'un point soit incident à lui-même, on ne dit pas que C et c sont incidents. Ainsi la définition sur l'incidence que l'on retiendra sera désormais : (P est incident à a) ssi (P | a et P ≠ a). On écrira P I a. 34 - Retour sur l’inidence Comme un objet (en théorie des ensemble) ne peut appartenir à lui-même un point ne peut être incident à lui-même, il faut donc, pour le cas d’un point ayant une polaire affiner la notion d’incidnece. C’est ce que l’on fait ici. On notera qu’en pratique on traire (pour les preuves, le cas P=aà part, et ensuite le cas P | a et donc le cas de l’incidence. Dès que l’on aura quitté le cas elliptique, il n’y aura jamais ce cas à traiter.

Faisceaux Trois droites a, b, et c sont dites en faisceaux si la composée des trois abc est une droite. Pour trois droites, "être en faisceau" est indépendant de l'ordre. L'axiome 3 veut que si trois droites sont incidentes à un point alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à centre. De même l'axiome 4 veut que si trois droites sont orthogonales à une droite donnée, alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à axe. 35 - La notion de faisceau est au cœur de cette axiomatique. On définit ici la notion d’être en faisceau » pour 3 droites. La force de cette axiomatique est de demander des résultats sur les faisceaux à centre (Axiome 3) et « à axe » (axiome 4) alors qu’il existe un autre type de faisceau (sans support chez Bachmann) : ce sont les droites parallèles au sens de Lobatchevsky) … et qu’elle permet - on le verra assez peu ici il faudrait se plonger plus dans la théorie - de traiter quand même ce cas là Autrement dit, sans l’avoir spécifiquement précisée, l’axiomatique des plans absolus de Bachmann permet de rencontrer la géométrie elliptique par le cas des poles et polaires et les plan hyperboliques avec les faisceaux sans support. Les axiomes ne parlent absolument pas de ces deux cas mais les incorporent comme cas particulier. C’est toute l’élégance de cette axiomatique L’illustration Cabri est un magnifique résultat sur les pieds des hauteur d’un triangle idéal (donc droites en faisceau sans support) La notion est plus générale que ces deux cas particuliers. Quand l'un de ces deux cas n'est pas satisfait, on parle de faisceau sans support.

Premières conséquences (incidence et orthogonalité) Tout point P est le produit de toute paire de droites orthogonales incidentes à P. Il y a équivalence entre l’orthogonalité de trois droites prises deux à deux et le produit des trois égal à 1. Il existe toujours (au moins) une perpendiculaire à une droite incidente à un point donné De plus il y a unicité de cette droite si le point n’est pas le pôle de la droite. 36 - Tout d’abord quelques premières conséquences sur l’orthogonalité des axiomes d’incidence et d’existence du plan. Ces conséquences sont non triaviales (au moins la dernière) à cause de la possibilité pour un point d’être pôle d’une droite. Ces théorèmes sont démontrés en détail dans abraCadaBRI et illustrés de figures Cabri - en fait en CabriJava. Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points

Premières conséquences (incidence et orthogonalité) 37 - illustration d’un cas fini Le plus petit plan de Bachmann possède 9 points et 1é droites. Il est largement détaillé dans les deux figures jointes (des figures statiques commentées par des curseurs) Ici on a deux carrés - qui sont aussi des cercles avec leur centre, à gauche comme intersection des diagonales, à droite comme intersection des médiatrices. Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points

Premières conséquences (axiomes des 3 symétries) Dans l’axiome 3 le produit d= abc est aussi incident à P. Dans l’axiome 4 le produit d= abc est aussi orthogonal à l’axe g. Réciproque de l’axiome 3 : Soit P un point incident à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors P | c. Réciproque de l’axiome 4 : Soit g une droite orthogonale à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors g | c. 38 - Conséquence des axiomes de tri-symétrie On montre - toujours fait dans abraCAdaBRI - les propriétés ci-dessus qui sont de base pour associer le reste (la théorie des faisceaux en particulier)

Théorème fondamental (Théorème de Hjelmslev) AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c Le théorème de Hjelmslev : Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d. Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC). 39 - Prélude au théorème de Hjelmslev Les axiomes 3 et 4 donnaient des propriétés sur les droites,Ici on mélange points et droites. Si on exclus les cas particuliers (de points polaire d’une des droites etc) le premier théorème se lit comme : AbC est une droite ssi (AB) est orthogonal à b et aBc est un point ssi B est sur la perpendiculaire commune à a et c.

Théorème fondamental (Théorème de Hjelmslev) AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c Le théorème de Hjelmslev : Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d. Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC). 40 - Le théorème de Hjelmslev (1907) En fait le théorème est une autre lecture du premier théorème sur AbC : s’en rendre compte. Le théorème de Bachmann est juste une version algébrisée du théorème fondamental des plans métriques (de Hjelmslev)

Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc Le principe avec Cabri : Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau. 41 - conséquence constructive Ce théor a plusieurs conséquences Cabri-essentielles car il permet la construction sur les faisceaux, ie sans s’intéresser de savoir si les droites sont concourantes ou ont une perpendiculaire commune. La première est celle de la construction de abc indépendamment du contexte

Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc Le principe avec Cabri : Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau. 43 - suite de la précédente Bien sûr sur le plan Cabri, il faut savoir construire une perpendiculaire à une droite, ce qui pratiquement dépend quand même du modèle La figure illustre le cas intéressant : le cas hyperbolique puisque l’on a les deux cas distincts faisceau à centre ou à axe (dans le cas elliptique ce sont les mêmes) Il convient de savoir construire la perpendiculaire à une droite donnée appartenant à un faisceau donné, ce qui ne pose aucun problème dans les modèles utilisés

Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’b’) par P Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc' 44 - Autre conséquence Il s’agit ici de construire l’unique droite appartenant à un faisceau passant par un point.

Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’c’) par P Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc' Si A = C, alors A | c' et la droite a convient. Si A et C sont distincts, soit d la (une) perpendiculaire à (AC) issue de P. Alors adc est une droite b passant par P et telle que abc = d. D'après le théorème fondamental b est la droite cherchée car a'bc' est une droite. 45 - suite Avec sa preuve, parce que là c’est intéressant de voir l’application du théorème

Axiomatique de Bachmann avec Cabri Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai Familiarisation des modèles des G.N.E. Axiomes et premiers théorèmes Théorèmes sur les faisceaux Les différentes géométries Plongement dans un modèle projectif 46 - Dans cette partie nous allons juste voir certaines généralisations intéressantes des propriétés remarquable sur les droites d’un triangle en terme de faisceaux. Comme illustration, dans une présentation à un public, on peut parler le l’illustration de gauche, que l’on voit pour la quatrième fois et montrer que l’intersection des droites roses est le point de Gergonne des trois droites oranges :on peut faire la présentation en mettant en évidence - sur le plan constructif, l’application directe de la seconde application de Hjelmslev pour construire les droites roses à partir des bleues (bissectrices intérieures). Ainsi le point de Gergonne d’un triangle se généralise en point de Gergonne d’un trilatère dans le cas hyperbolique. C’est l’esprit de cette partie.

Les Faisceaux : généralisation des faisceaux du triangle Les médiatrices Théorème des milieux Les médianes Hauteurs TRILATERE 47 - Quelques exemples de faisceaux Tout d’abord sur les triangles : Fig sur les médiatrice est la construction d’un triangle dont trois droites en faisceau sont les médiatrices : la construction est la même que dans le cas euclidien et l’utilisation du théo fondamental permet une construction indépendante du fait que les droites soient concourantes ou non. Fig théo es milieux : la même figure contient le cas hyperbolique ET elliptique Fig des médianes : il n’est pas trivial - dans le cas absolu - que les médianes soient concourantes : elles le sont Ensuite les propriétés qui se généralisent au trilatères (trois droites non nécessairement sécantes : les hauteurs d’un trialatère sont en faisceau (en général concourantes : l’orthocentre existe Bissectrice : vu avant La propriété absolue sur les bissectrices est intéressante aussi (celle illustrée sur la diapo : une preuve par les symétries est donc possible alors qu’en général on la montre en utilisant une cocyclicité. Bissectrices Propriété absolue des bissectrices

Les Faisceaux - propriétés absolues Théorème de transitivité : Pour a ≠ b, si abc et abd sont deux droites, alors acd est une droite Conséquence 1 : Deux droites distinctes d’un faisceau caractérisent ce faisceau Conséquence 2 : Deux faisceaux distincts ont au plus une droite en commun 48 - A ce stade de son exposé, Bachman fait une longue théorie des faisceaux que nous n’explicitons pas dans cette présentation, mais qui est essentielle pour la fin de son propos : le plongement projectif. Le théorème de transitivité qui s’obtient par l’application successive du théorème d’anti-appariement (mentionné au transparent de Hessenberg) a pour conséquence que deux notions à priori différentes « trois droites sont en faisceau » et « un droite apparient au faisceau formé par deux autres » sont identiques. Il en résulte que deux faisceaux ont au plus une droite en commun. Des trois figures on retiendra d’un part que l’isogonalitéest une notion absolue, définie bien avant les angles et cette Cabri-construction du Maltati de trialtère. Il est intéressant de noter que la construction est la même que dans le cas euclidien : on ne travaille qu’avec des bissectrices, des symétries et des tangentes à des cercles. Intersection de deux faisceaux « Malfatti » Isogonalité absolue

Axiomatique de Bachmann avec Cabri Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai Familiarisation des modèles des G.N.E. Axiomes et premiers théorèmes Théorèmes sur les faisceaux Les différentes géométries Plongement dans un modèle projectif 49 - Les différentes géométries Nous sommes allés vites sur la théorie des faisceaux pour s’étendre plus sur l’ajout d’axiomes pour séparer les géométries

Classification des géométries Axiome de Polarité Axiome du rectangle Equi-perpendicularité Axiome de connexion Axiome hyperbolique 50 - Les axiomes supplémentaires que nous allons aborder L’illustration est celle d’un Malfati - elliptique les droites vertes joignent les sommets du triangle au point de contact des cercles tangents au côté opposé : leur intersection est le point de Ajima-Malfati (ici elliptique) On voit que le cas euclidien va être plus long que les autres, nous verrons pourquoi …

Axiome de polarité - Géométrie elliptique Il existe une droite a égale à un point A 51 - La géométrie elliptique Un point est égal à une droite (équivalent à il existe abc = 1). Alors tout point est égal à une droite et réciproquement. Dans un plan elliptique toute droite est égale à un point et réciproquement

Axiome de polarité - Géométrie elliptique Pour deux droites distinctes a et b, soient a = A et b = B 52 - Cas de deux droites orthogonales L’idée est ici de donner un sens à A | B qui est une propriété de ce cas particulier. Rappelons que l’on obtient quelque chose qui - en terme de distance sur R dans le cas usuel - est vérifié par la distance : la droite AB a une longueur de Pi et AB = Pi/2 donc B est au milieu de [AA]. B est donc un point distinct de A, milieu de [AA]

Dualité en géométrie elliptique Tout théorème a son dual en inversant la notion de droite et point Son dual ? ….. Ses duaux … Axiomes 1 et 2 Par deux points distincts il passe une et une seule droite Pour tout A ≠ B , il existe un unique d telle que A, B | d 53 - Dualité elliptique Cette page illustre combien la dualité elliptique - de part la structure orthogonale qui s’exprime algébriquement comme l’incidence - est plus riche que celle de l’incidence projective. Chacun verra comment on arrive aux trois duaux présentés ici Dual 1 : Par deux droites distinctes il passe un et un seul point. Dual 2 : Deux droites distinctes ont toujours une et une seule perpendiculaire. Dual 3: Par un point et une droite (non polaire de ce point), il existe une unique perpendiculaire à la droite passant par ce point.

Axiome du rectangle : vers l’euclidien Il existe deux droites qui admettent (au moins) deux perpendiculaires communes  a, b, c, d, a≠b et c≠d tels que a, b | c, d P  R, donc R  P L’axiome du rectangle entraîne que : Par un point il passe une unique perpendiculaire à une droite donnée 54 - Introduction à l’euclidien En introduisant l’axiome du rectangle nous allons voir que celui-ci n’est pas équivalent à être en géométrie euclidienne. On insistera ici que - d’après le dual 2 précédent - puisque P implique qu’il n’y a qu’une perpendiculaire commune à deux droites distinctes, R implique non P : nous avons entamé la séparation des géométries. Comme on est dans Non P on sait par la théo générale que par un point il n’y a qu’une seule perpendiculaire à une droite.

Axiome du rectangle : vers l’euclidien L’axiome R est équivalent au : Il est aussi équivalent au : Théorème du rectangle a et b étant deux droites distinctes Si a, b | c et a | d alors b | d Théorème des 3 points : Le produit de 3 points est toujours un point 55 - Les équivalents à l’axiome de rectangle. En pratique Bachmann montre qu’il est équivalent au théo des 3 points puis au théo du rectangle. Mais on ne parle que d’orthogonalité ici, jamais de non sécantes, il n’y a aucun rapport entre les deux. Enfin si il y a un rapport, justement, et c’est celui-là qui a fait que l’on a mis du temps à NE PAS CONFONDRE droites parallèles et droites ayant une perpendiculaire commune. Car la notion sous jacente à l’axiome du rectangle n’est bien-sûr pas la notion de parallèle - qui n’a aucun rapport - mais bien … Mais l’axiome R ne suffit pas à assurer l’unicité de la non sécante à une droite en un point donné

L’équi-perpendicularité : vers l’euclidien Deux droites sont équi-perpendiculaires si leurs faisceaux de droites orthogonales sont égaux Deux droites équi-perp. sont sans point commun Deux droites ayant une perp. commune sont équi-perp. Plans semi-euclidiens L’axione R est vérifié, mais par un point il passe plus d’une non sécante à une droite donnée 56 - l’équiperpendicularité. Le rapport est bien dans les deux propriétés - Sans point commun car on est dans non P et sinon il y aurait deux perpendiculaires à une même droite passant par l’intersection - Perp. Comm => équi-perp vient de l’axiome 4 et de sa réciproque brièvement évoquée dans les conséquences des axiomes de tri-symétrie Donc avec l’axiome du rectangle on est dans une géométrie déjà vue par Dehen, la géométrie semi-euclidienne, dans laquelle l’équiperpendicularité joue le rôle du parallélisme dans le ca euclidien. … L’équi-perpendicularité des plans semi-euclidiens correspond au parallélisme des plans euclidiens

L’équi-perpendicularité : vers l’euclidien Deux droites sont équi-perpendiculaires si leurs faisceaux de droites orthogonales sont égaux Deux droites équi-perp. sont sans point commun Deux droites ayant une perp. commune sont équi-perp. Plans semi-euclidiens L’axione R est vérifié, mais par un point il passe plus d’une non sécante à une droite donnée 57 - Illustration En effet par un point extérieur à une droite il passe bien une seule équiperpendiculaire à cette droite. Mais quid des parallèles ? Pour que cette équiperpendiculaire soit une parallèle, la seule possibilité est … qu’il n’y ait pas autre chose, c’est-à-dire que deux droites aient toujours quelque chose en commun : un point ou une droite (orthogonale) C’est sur ce point qu’a buté Saccheri alors qu’il avait bien avancé dans les pro)riétés hyperboliques. L’équi-perpendicularité des plans semi-euclidiens correspond au parallélisme des plans euclidiens

Axiome de connexion Géométrie euclidienne Deux droites sont connectables si elles ont un point ou une perpendiculaire en commun Axiome de connexion (C) Deux droites quelconques sont toujours connectables 58 - D’où l’axiome de connexion Plans euclidiens Ce sont les plans dans lesquels l’axiome R et l’axiome C sont vérifiés L’équi-perpendicularité coïncide alors avec le parallélisme

Géométrie hyperbolique On se situe dans  C : Il existe des droites non connectables Axiome H : Par un point il passe au plus deux droites non connectables à une droite 59 - Le cas hyperbolique On se place dans non C. Alors de part la théo générale des faisceaux, une droite appartenant aux faisceau de deux droites a et b non conectables est non connectable à a et à b : les droites non connectables à a et b forment un faisceau. Survient alors la possibilité qu’une droite puisse appartenir à plusieurs faisceaux de droites non connectables. La géométrie hyperbolique est cette géométrie dans laquelle toute droite apparient à au plus deux tels faisceaux On regardera pourquoi l’illustration de gauche (figure proposée dans les commentaires Partie2.pdf accompagnant la présentation des figures Cabri de la partie 2. La géométrie hyperbolique est celle qui vérifie H et  C

Classification des géométries 60 - La classification de Bachmann Note : je n’ai pas trouvé de photo de Bachmann, je serais heureux d’en recevoir : martin@univ-reunion.fr La classification va « désormais » de soi

Classification des géométries 60b Rappeler le snes de chaque signe R, C, P, et H

Classification des géométries Bachmann commence par appeler plan métrique euclidien tout plan qui vérifie l’axiome du rectangle et non euclidien ceux qui ne vérifient pas R

Classification des géométries On commence par le cas R cette fois (on sait que R implique non P et que si on est dans C la question de H ne se pose pas) Bachmann précise que si on se réfère au plongement usuel d’une géométrie euclidienne dans un plan projectif, le cas semi-euclidien - R et non C - correspond au cas où l’on a supprimé la droite de l’infini du plongement projectif sans avoir supprimé les points : ce sont ces points qui font que l’on a non C et que parallèles et équi-perpendicularité ne coïncident pas.

Classification des géométries On notera qu’en fait P implique à la fois non R et C. Le cas semi elliptique est délicat on a C et non R. Non P signifie que n’ayant pas P des droites sont sans pôle et des points sont sans polaires. Bachmann précise qu’on peut construire à partir d’une géométrie elliptique où il y a pour toute droite, son pôle et réciproquement, une géométrie semi elliptique - qui vérifie les 5 axiomes de base - en ne conservant, pour chaque couple (polaire, pôle) que l’un des deux, la droite ou le pôle). En effet, on a vu que dès qu’une droite à un pôle toutes les droites ont un pôle.

Classification des géométries 6f enfin le dernier cas Le cas semi hyperbolique est un exemple de géométrie non lengendrienne vu dans la classification de Dehen. Toutefois Bachmann précise que certaines géométries semi-elliptiques rentrent aussi dans la « case semi-lengendrienne » de Dehen Pour ces exemples pathologiques, il serait intéressant de cherche - dans la littérature ou soi-même des cas finis, puisque des modèles euclidiens semblent non réalisables. L’auteur de ce diaporama est particulièrement concerné par ce type d’illustration. Merci de communiquer vos découvertes en ce domaine.

Axiomatique de Bachmann avec Cabri Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai Familiarisation des modèles des G.N.E. Axiomes et premiers théorèmes Théorèmes sur les faisceaux Les différentes géométries Plongement dans un modèle projectif 61 - Plongement Il s’agit juste de dire quelques mots sur cette question. On sait depuis Klein que toute géométrie plane métrique - mais au sens d’une distance sur R - se plonge dans un plan métrique projectif. Les algébristes ont eu à cœur de réaliser des axiomatiques qui réalisent ce même plongement, mais de manière totalement algébrique et donc en construisant le corps de base en premier. Ce sont les travaux de Hessenberg qui furent particulièrement marquant à ce propos (1905 à 1930) Les voici présentés avec le vocabulaire de Bachmann

Brianchon et Pappus-Pascal absolus On note Fij le faisceau F(ai,bj) de centre fij s’il existe Sommet : Fij d’opposé : Fji Diagonale : unique droite du faisceau de sommets opposés (si elle existe) La géométrie absolue vérifie le théorème de Brianchon : 62 - Brianchon absolu Hilbert travaille avec le théorème dit « de Pascal » qui est en fait, pour nous le théorème de Pappus. On sait qu’il implique la configuration de Desargues, essentielle à la construction du corps des nombres. Ici nous travaillons avec le dual de Pappus, le théorème de Brianchon. Dans le plan idéal - plan de plongement de la géométrie de Bachmann - les objets de base (les points idéaux du plan) sont les faisceaux de la géométrie absolue. D’où l’importance de la théorie des faisceaux. Sur la figure - qui reprend l’illustration, on verra à l’ouverture que les trois diagonales ont une perpendiculaire commune (grise). On peut déplacer l’une des droites de l’un des faisceaux pour que le point C existe. Notons que, dans la théorie, le fait que les diagonales soient « sans support » est aussi pris en compte : elles sont tout simplement « en faisceau ». Les trois diagonales d'un hexagramme issu de deux faisceaux à centre sont en faisceau.

Brianchon et Pappus-Pascal absolus Le faisceau A, a1, a2, a3 devient A1, f12, f13, a. Le faisceau B, b1, b2, b3 devient B1, f31, f21, b. Le dual du théorème de Brianchon est le théorème de Pappus : Si les sommets (Ai) et (Bj) d'un hexagramme sont alternativement sur deux droites données a et b, les trois intersections (Ci) des diagonales opposées (AjBk) et (AkBj) - pour i, j, k différents - sont alignées. 63 - Pappus absolu Traditionnellement le théorème de Pappus est présenté comme le dual de celui de Brianchon. Dans sa présentation, Bachmann insiste sur le fait que plus que le dual, c’est en fait LA MEME PROPRIETE, et la même figure, avec des lectures différentes. On sait que la propriété de Pappus assure que l’on va construire des ensembles de nombres qui seront des corps commutatifs. Question : y aurait-il un lien caché subtil entre cette axiomatique qui fonctionne sur des ensemble finis de points et le fait que les corps finis sont commutatifs ? Là aussi cette question a probablement été abordée dans la littérature allemande. L’auteur de ce diaporama est à nouveau intéressé par des réponses, même parcellaires sur ce point : martin@univ-reunion.fr

Prolongement projectif Tout plan métrique de Bachmann se prolonge dans un plan idéal projectif Les faisceaux de la géométrie sont les points du plan idéal 64 - Vers le plongement projectif Il faut définir les points et les droites … puis voir les transformations associées. On s’intéresse ici au plongement du plan hyperbolique car le plan elliptique est déjà projectif et le plan euclidien … on connaît aussi (bien sur, Bachmann fait son plongement avant la séparation des géométries, c’est la géométrie absolue de son axiomatique qu’il « plonge ». Les points du plan idéal sont les faisceaux. Sur le plan de la représentation Cabri on peut retenir que - les points du plan hyperbolique sont des points du plan idéal - les points idéaux du plan hyperbolique (ici les point du cercle frontière du disque de Poincaré) sont les points associés aux faisceaux sans support (comme dans le cas euclidien, les droites parallèles se coupent à l’infini. - les autres points idéaux (certains ouvrages les appellent « ultra-idéaux » sont les centres des cercles support de la perpendiculaire commune. Pour ce dernier point, on remarquera que l’on retrouve bien tous les points y compris à l’infini du plan projectif. En effet, chaque diamètre du cercle est l’axe d’un faisceau à centre et donc renvoie bien un point « ultra-idéal » à l’infini dans la direction de sa normale. Au moment de cet exposé, je n’ai pas encore travaillé la cabri-construction des droites du plan projectif : il faut mettre en place les demi-rotation qui sont les transformations de centre un point O qui à M associe P milieu de M et M’ où M’ est l’image par M d’une rotation de centre O. Les demi-rotations ne correspondent à des projections orthogonales que dans le cas euclidien. La difficulté théorique et de voir le sens de l’extension de ces demi-rotations dans le plan idéal. Consulter aussi les commentaires du dossier BachmannBonus Les droites idéales sont construisent à partir des demi-rotations.