- 6 - Concepts probabilistes et distributions de probabilité Version 1.1

Sujets abordés On commence le bloc C sur la simulation et la programmation Présentation des lois/distributions utilisées en finance/assurance Génération de tirages et représentation graphique sur Excel

Loi, probabilité, densité, distribution Une loi décrit le comportement d’une variable aléatoire On parle de loi, de densité, de distribution, de densité ou distribution cumulative de manière équivalente Densité de X en un point x = probabilité en un point x (dans le domaine de X) Distribution (cumulative) de X en un point x (dans le domaine de X) Fonction quantile de X ou inverse de la distribution X en un point u (dans l’intervalle [0,1])

Distribution de probabilités Décrit la répartition typique des fréquences d’un ensemble de données Il existe 2 grands types de distributions Distributions empiriques (données historiques) Distributions théoriques (loi de probabilités)

Distribution empirique Est créée à partir du tableau / histogramme de fréquence que nous pouvons tracer à partir de données historiques observées Souvent utilisé quand aucune loi de probabilité connue ne permet de représenter convenablement le phénomène que nous souhaitons modéliser A souvent comme hypothèse sous-jacente que « le passé est garant de l’avenir »

Distribution théorique Illustre les valeurs que peut prendre une variable aléatoire et détermine la probabilité d’occurrence de chaque valeur Il existe des distributions discrètes et des distributions continues Permet la modélisation de phénomènes simples ou complexes Nous devons alors identifier la loi de probabilité qui approxime le mieux le phénomène que nous désirons modéliser

Distribution théorique Il existe de nombreuses lois théoriques : Uniforme Binomiale Normale Student Log-normale Poisson Applications en finance Génération de nombres aléatoires Concept de marches aléatoires Modélisation des rendements et des prix Simulations de Monte Carlo Nous parlerons de ces 6 lois dans le cours puisqu’elles se modélisent avec Excel et sont pertinentes en finance Il faut cependant être conscient qu’il existe plusieurs dizaines de lois théoriques distinctes

Espérance et variance Rappelons la définition de l’espérance et la variance mathématiques (dans le cas continu)

Loi uniforme La plus simple loi de probabilité Forme discrète : Chaque valeur a la même probabilité de se réaliser Exemple : lancer un dé Forme continue : Tous les intervalles de même longueur ont la même probabilité d’occurence Une variable aléatoire « X » qui suit une loi uniforme est notée X ~ U([a,b])

Loi uniforme Caractérisée par 2 paramètres : a = Plus petite valeur qu’il est possible d’obtenir Exemple : obtenir 1 sur un lancé de dé b = Plus grande valeur qu’il est possible d’obtenir Exemple : obtenir 6 sur un lancé de dé Pour des données discrètes, le nombre total de valeurs possibles souvent est noté « n »

Loi uniforme Calcul des probabilités Formules Excel: Distribution discrète : = Probabilité d’obtenir une certaine valeur précise « k » Distribution continue : = Probabilité d’obtenir une valeur comprise au sein de l’intervalle [a,b] Formules Excel: ALEA() ALEA.ENTRE.BORNES(a; b)

Loi uniforme Application principale : Génération de nombres aléatoires Loi symétrique et platikurtique Application principale : Génération de nombres aléatoires Utilisés pour simuler un grand nombre de distributions connues (par la méthode de l’inverse) Plusieurs algorithmes existent Excel, VBA, SPSS, MatLab, SAS, …

Méthode de l’inverse Permet de générer des nombres aléatoires suivants un distribution (continue) donnée avec Y ~ U([0,1]), et F-1 la fonction cumulative inverse, alors X sera distribuée selon la distribution F F(X)

Loi Binomiale Loi de probabilité discrète impliquant des expériences à deux issues possibles La première issue est appelée « succès » Exemple : Obtenir « face » sur jet de 1$ La deuxième issue est appelée « échec » Exemple : Obtenir « pile » sur un jet de 1$ Ce type d’expérience à 2 issues possibles est aussi appelé « épreuves de Bernouilli »

Loi Binomiale Une variable aléatoire « X » qui suit une loi binomiale est notée X ~ B(n,p) Caractérisée par 2 paramètres : n = nombre d’épreuves de Bernouillis p = probabilité de succès à chacune des épreuves La notation « q » est parfois utilisée pour désigner la probabilité d’échec (q = 1 – p)

Loi Binomiale Calcul des probabilités Formules Excel Probabilité en un point : Formules Excel SI(ALEA()>p; …) LOI.BINOMIALE(k; n; p; VRAI ou FAUX) VRAI = probabilité cumulée FAUX = probabilité en un point = Probabilité d’obtenir « k » succès sur un total de n tirages

Loi Binomiale Exemple : 14$ 12$ 10$ 10$ 8$ 6$ n = 2 périodes p = 60 % de chance de hausse Gain de 2$ Perte de 2$ 14$ 60% 12$ 60% 40% 10$ 10$ 40% 60% 8$ 40% 6$ Quelle est la probabilité qu’il y ait 2 hausses (x = k = 2) ? Et si nous avions : n = 50, p = 60% et k = 25 ?

Loi Binomiale Types d’applications : Permet de connaître la probabilité d’obtenir un nombre précis de succès « k » pour une expérience répétée n fois Loi symétrique Types d’applications : Modélisation d’une situation où il n’y a que 2 états possibles Modélisation d’une « marche aléatoire »

Loi Normale Une des principales distributions de probabilité. C’est la loi de référence à laquelle les autres distributions sont comparées. Facile à utiliser d’un point de vue mathématique Se généralise pour des applications en présence de multiples facteurs (loi normale multivariée) La combinaison linéaire de normales indépendantes est un normale Théorème limite centrale

Loi Normale Une variable aléatoire « X » qui suit une loi normale est notée X ~ N(μ,σ2) Caractérisée par 2 paramètres : μ = Moyenne de la population σ2 = Variance de la population Loi symétrique Kurtose de 3 (Excès de kurtose de 0)

Loi Normale Calcul des probabilités Probabilité en un point x : Formules Excel LOI.NORMALE(x; mu; sig; VRAI ou FAUX) VRAI = probabilité cumulée FAUX = probabilité en un point LOI.NORMALE.INVERSE(u; mu ; sig) u = (entre 0 et 1)

Loi Normale centrée réduite Loi normale standardisée avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1 Permet la comparaison de plusieurs variables distribuées normalement Permet l’utilisation des tables de probabilités Facilite l’interprétation et la communication des résultats Formule de normalisation (z-score):

Loi Normale Type d’applications : Modélisation du rendement Modélisation d’une « marche aléatoire » Analyse moyenne-variance (Markowitz) Estimation de la valeur à risque (VaR)

Modélisation du rendement Le « mouvement brownien géométrique » : C’est une façon de modéliser l’évolution probable du prix d’un actif à chaque période. Z ~ N(0,1) : en moyenne le rendement sera égal à μ Nombre aléatoire distribué normalement Dispersion (écart-type) de cette croissance Rendement

Loi de Student Similaire à une loi normale Loi symétrique Mais leptokurtique! La distribution du rendement de nombreux actifs financiers est leptokurtique Il est alors préférable d’utiliser une loi de Student pour ne pas sous-estimer le risque associé aux probabilités extrêmes négatives

Loi de Student Egalement utilisée pour estimer l’espérance d’une population distribuée normalement lorsque : La variance de la population est inconnue La taille de l’échantillon petit À la base de l’épreuve de signification statistique « t-test »

Loi de Student Une variable aléatoire « X » qui suit une loi de Student est notée X ~ Student(v) Caractérisée par 1 paramètre : v = Degrés de liberté Le nombre de degrés de liberté correspond au nombre de valeurs qui peuvent être fixées librement pour spécifier

Vous n’aurez pas à utiliser cette formule dans le cadre du cours Loi de Student Calcul des probabilités Probabilité en un point x : où Γ représente la fonction Gamma d’Euler Vous n’aurez pas à utiliser cette formule dans le cadre du cours Notons que

Loi de Student sur Excel Formules Excel : Attention! LNGAMMA(x)pour calculer la constante La distribution et distribution cumulative n’existent pas sur Excel! LOI.STUDENT(x; v; 1 ou 2) 1 = unilatérale : P(X > x) 2 = bilatérale : P(|X| > x) Dans la fonction, x doit être positif! LOI.STUDENT.INVERSE(u, v) u = probabilité (entre 0 et 1)

Loi Log-Normale Distribution d’une variable aléatoire continue dont le logarithme suit une loi normale Bornée par 0 (pas de valeurs négatives) Loi asymétrique

Loi Log-Normale Une variable aléatoire « X » qui suit une loi log-normale est notée X ~ Log-N(μ,σ2) Caractérisée par 2 paramètres : μ = Moyenne du logarithme de X σ2 = Variance du logarithme de X Les paramètres de la loi log-normale se réfèrent donc à une distribution normale

Loi Log-Normale Calcul des probabilités Probabilité en un point x : Formules Excel : LOI.LOGNORMALE(x; mu ; sig) Probabilités cumulées mu : Moyenne de ln(X) sig : Écart-type de ln(X) LOI.LOGNORMALE.INVERSE(u; mu ; sig) u = probabilité (entre 0 et 1)

Loi Log-Normale Type d’applications Modélisation du prix des actions Modèle de Black & Scholes (évaluation d’options)

Loi de Poisson Loi discrète donnant la probabilité du nombre de réalisations d’un événement rare dans le temps ou dans l’espace Surnommée « loi des événements rares » Souvent utilisée en assurance Bornée par 0 (pas de valeurs négatives) Loi asymétrique

Loi de Poisson Une variable aléatoire « X » qui suit une loi de Poisson est notée X ~ P(λ) Caractérisée par 1 paramètre : λ = Nombre espéré d’occurrences d’un événement dans l’intervalle (moyenne) La loi de Poisson estime la probabilité qu’un événement survienne k fois dans un intervalle donné

Loi de Poisson Calcul des probabilités : Probabilité en un point : Formules Excel LOI.POISSON(k; lamda; VRAI ou FAUX) VRAI = Probabilité cumulée FAUX = Probabilité en un point Aucune loi de Poisson « inverse » n’existe sur Excel

Loi de Poisson Type d’applications Estimation de la probabilité de défaut Distributions de pertes dans le domaine de l’assurance

Résumé Loi de probabilité Commentaires Binomiale P(X = k) Normale Probabilité d’obtenir « k » succès sur « n » tirages à 2 issues possibles Normale P(X = x) Probabilité d’obtenir un résultat (rendement) de « x » sachant µ et σ Student Probabilité d’obtenir un résultat (rendement) de « x » sachant µ=0 et σ=1 Note : Distribution leptokurtique Lognormale Probabilité d’obtenir un résultat (prix) de « x » sachant µ et σ Note : µ et δ sont calculés à partir de ln(X) Poisson Probabilité qu’un événement survienne « k » fois sachant qu’en moyenne il se produit « λ » fois dans l’intervalle de temps