Circuit RLC série en régime harmonique forcé Diana Campos-Garcia Petra Marčanová Anne Boutin Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Présentation & généralités Objectif: acquérir les connaissances de base sur les circuits RLC. Modélisation mathématique de la réponse d'un circuit. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique forcé Sujets abordés Généralités sur les circuits électriques Étude d'un circuit série en régime forcé: résonance en courant Application du circuit: les filtres Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Définition des conditions de l'étude: régime de courant Régime transitoire Lors de l'établissement du courant le régime propre du circuit se superpose au régime de la source de courant. Ce régime est appelé régime transitoire : il est amorti et disparaît plus ou moins rapidement dans le temps. Régime forcé Lorsque tous les signaux sont stabilisés, i.e lorsqu'ils suivent le régime imposé par la source, le circuit est alors en régime permanent ou harmonique forcé. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Définition des conditions de l'étude: régime de courant (2) Résolution de l'équation différentielle On va obtenir certains termes qui seront amortis par des exponentielles négatives, et d'autres pas. Le régime transitoire est donné par les termes de la solution qui sont amortis exponentiellement,les autres termes définissent le régime permanent. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Mise en équation d'un circuit Dipôles passifs soumis à une tension V(t) Soit s(t) la variable étudiée. L'équation du circuit peut se mettre de façon générale sous la forme: a0s+a1s'+a2s"+…+ans (n) =k V(t) ai constants La solution de l'équation est de la forme s(t)=s1(t)+s2(t) s1(t) solution de l'EHA : régime transitoire (amorti) s2(t) SPEC: régime forcé de même nature que la stimulation(V(t)) Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Grandeurs et notations Modélisation mathématique des grandeurs en régime sinusoïdal U & I sont des fonctions sinusoïdales du temps qui peuvent se mettre sous la forme : s(t)=Sm cos(ωt+φ) ω est la pulsation du signal. Elle est liée à la période selon la relation T=2π/ω. Sm est l'amplitude du signal. Celui-ci peut varier de –Sm à +Sm. φ est la phase à l'origine, ωt+φ la phase à l'instant t. φ indique qu'à t=0 le signal peut avoir une valeur quelconque comprise entre –Sm et +Sm. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Grandeurs et notations (2) Notations relatives aux complexes La grandeur complexe associée au signal sinusoïdal s(t) sera notée s(t) j²=-1 L'amplitude complexe associée au signal sera notée S Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Représentation complexe Signification Une grandeur sinusoïdale peut être représentée par un vecteur tournant de vitesse angulaire ωt. Or, un vecteur est aussi une représentation géométrique d’un nombre complexe. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Représentation complexe (2) Ainsi, la valeur instantanée complexe d’un signal sinusoïdal est donnée par la relation suivante: forme cartésienne: s(t)=Sm (cos(ωt+φ)+ j sin(ωt+φ)) forme complexe: s(t)= Sm e j(ωt+φ) Amplitude complexe : S=Sm e jφ Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Représentation complexe (3) Pertinence de l'utilisation des complexes L'utilisation des complexes en régime sinusoïdal s'avère très utile lors de la résolution de l'équation différentielle, les opérations sur les exponentielles étant plus aisées que celles sur les fonctions sinus et cosinus. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Représentation complexe (4) Représentation graphique: diagramme de Fresnel Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique forcé Présentation du circuit Problème de la résistance équivalente UC UL UR V(t) Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique Définition du problème Régime: harmonique forcé Objet de l'étude: variations du courant Mise en équation du circuit loi des mailles: en dérivant on obtient: Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique (2) v(t)=Vm cos(ωt) (origine des phases) i(t)=Im cos(ωt+φ) Ce qui revient à : Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec une solution de la forme i(t)=i1(t)+i2(t). L'étude se limitant au régime harmonique forcé on cherche seulement la SPEC. La résolution de cette équation sous cette forme ne permet pas une étude aisée du circuit. La méthode la plus évidente consiste à la résoudre à l'aide des complexes les opérations de dérivation et intégration étant plus simples. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique (3) Résolution par les complexes On définit les amplitudes complexes: Devient Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique (4) En divisant par on a Utilité des impédances complexes Les impédances complexes sont intéressantes dans le cas du régime harmonique puisqu'elles permettent un accès facile aux phases. Elles simplifient en outre la résolution de l'équation du circuit. Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en régime harmonique forcé Équation du circuit par les impédances complexes Les impédances complexes donnent directement accès aux valeurs complexes de i et u. L'équation n'apparaît plus sous sa forme différentielle. On en déduit aisément la valeur du courant. Circuit RLC série en régime harmonique forcé