REVISIONS POINTS COMMUNS LES FONCTIONS REVISIONS POINTS COMMUNS

Vous connaissez Les fonctions linéaires : Les fonctions affines : les fonctions représentées par : Les fonctions linéaires : Les droites qui passent par l’origine du repère Les fonctions affines : Les droites qui ne passent pas par l’origine du repère les fonctions du second degré : Les paraboles les fonctions inverses : Les hyperboles

Les droites

Domaine de définition d’une fonction C’est l’ensemble des valeurs de l’inconnue x qui ne sont pas interdites par les opérations mathématiques utilisées par la fonction. Deux opérations sont interdites en mathématiques : 1 – la division par zéro 2 – la racine carrée d’un nombre négatif Donc toutes les fonctions ont un domaine de définition = R, c’est l’ensemble des nombres réels sauf la fonction inverse et la fonction racine carrée

Parité d’une fonction Une fonction est paire si la puissance de x est paire : exemple x² la représentation graphique des fonctions paires est symétrique par rapport à un axe vertical, souvent l’axe des ordonnées y. Une fonction est impaire si la puissance de x est impaire : exemples : x3 ; 1/x = x-1 La représentation graphique des fonctions impaires a une symétrie centrale, souvent l’origine du repère Toutes les autres fonctions ne sont ni paires ni impaires

Tableaux de valeurs x -2 -1 1 2 y -3 - 1 3 5 Il faut choisir les x ! 1 2 y -3 - 1 3 5 Il faut choisir les x ! Puis calculer les y à partir de l’équation Exemple f(x) = 2x + 1 et f(x) = y Je remplace x par -2 et je calcule f (-2) = 2 x (-2) + 1 = - 3 donc y = -3 Retrouvez les autres valeurs de y mentalement ou avec votre calculette !

Les droites : y = ax & y = ax + b Domaine de définition = R ensemble des réels Aucune opération n’y est impossible Les fonctions affines ne sont ni paires ni impaires : pas de symétrie Variations : si a > 0 les fonctions sont croissantes si a < 0 les fonctions sont décroissantes

Tableau de variations Des fonctions linéaires et affines pour un coefficient directeur a > 0 Si a est positif, la fonction est croissante Des fonctions linéaires et affines pour un coefficient directeur a < 0 Si a est négatif, la fonction est décroissante

Une droite, exemple de fonction affine : a = 2 & b = 1 f(x) = 2x + 1 b = 1

Nomenclature d’un repère Axe vertical des ordonnées y Origine du repère Axe horizontal des abscisses x Les coordonnées de ce point sont : (1 ; -2) (x puis y) Valeurs négatives de x

Les paraboles

Les PARABOLES f(x) = y = a x² Domaine de définition = R La fonction du second degré est paire donc son graphique est symétrique par rapport à OY Variations : si a > 0 si a < 0 Tableau de 10 valeurs positives + les symétriques

Tableaux de variations a > 0 a est positif La parole est un bol a < 0 a est négatif La parabole est un chapeau

f(x) = 2 x2 A est positif La parabole est un bol Une parabole

Les hyperboles La division par zéro est impossible, d’où le domaine de définition de la fonction inverse = R -{0} ou R *

HYPERBOLES si a > 0 fonction toujours décroissante Domaine de définition = R -{0} ou R * La fonction inverse est impaire : f(x) = - f(-x) Variations : si a > 0 fonction toujours décroissante si a < 0 fonction toujours croissante Tableau de valeurs : 10 points + les symétriques

Tableau de variations de la fonction inverse f (x) = a / x si a>0 la fonction est toujours décroissante D’où le double trait dans le tableau de variation sous la valeur à supprimer ! 0 est une valeur impossible pour x La division par zéro est impossible

Une hyperbole pour la fonction inverse f(x) = 1/x ici a = 1

Utilisation des courbes : recherche des points communs à deux fonctions Il faut étudier (et tracer) chaque fonction sur le même graphique, puis lire les coordonnées des points communs

Points communs F(x) = x2 g(x) = 2x - 1

Points communs F(x) = x2 g(x) = 2x - 1 Point commun coordonnées (1;1)

Points communs F(x) = x2 g(x) = 2x - 1

Retrouver ce résultat graphique par le calcul f(x) = x2 g(x) = 2x - 1 Posons f(x) = g(x) Donc x2 = 2x - 1 Ce qui donne l’équation du second degré : x2 - 2x + 1 = 0 C’est ici un cas particulier : le second produit remarquable (x – 1)² = x² - 2x + 1 donc x = 1 est bien solution du système ce qui corrobore les résultats graphiques précédents