Deux, trois mots sur l’Aérodynamique (II) De quoi dépend la résultante des forces aérodynamiques ? L’analyse dimensionnelle à notre secours… - Exemple 1 : Volume de la sphère 1/2 Qui a-t-il au menu aujourd’hui ? En entrée une petite question…En place de résistance , un peu d’analyse dimensionnelle…et en dessert, et en pousse-café….quelques conclusions… - Exemple 2 : Pendule simple 1/2 - Retour à l’aérodynamique 1/8 Conclusions

Deux, trois mots sur l’Aérodynamique (II) De quoi dépend l’une quelconque composante de la résultante aérodynamique , par exemple la traînée ? Reprenons l’exemple de la sphère, dont la géométrie est simple, uniquement définie par son rayon R ou son diamètre D . La traînée Xa dépend vraisemblablement : - de son diamètre D - de la masse volumique  du fluide soit - du module de la vitesse aérodynamique Va

L’analyse dimensionnelle à notre secours… Un résultat important d’analyse dimensionnelle (théorème de Vaschy - Buckingham) exprime que la physique se moque du choix des unités… Tout doit s’exprimer en fonction de rapports sans dimension. Ainsi, la traînée Xa rendue sans dimension, doit s’exprimer en fonction d’autres groupements également sans dimension.

Exemple 1 : Volume d’une sphère - 1/2 Imaginons que l’on ne se souvienne plus du volume d’une sphère en fonction de son rayon R, soit V = f(R)… On cherche alors les groupements sans dimension que l’on peut construire avec V et R. S’il n’y en a qu’un, il s’agit d’une constante ! S’il y en a deux, l’un est fonction de l’autre, S’il y en a trois, l’un est fonction des deux autres, …etc…!

Volume de la sphère - 2/2 Pour trouver les paramètres sans dimension, on forme : Et l’on cherche l’exposant b, pour que K soit sans dimension.. Or, un volume est une longueur à la puissance 3, noté [L]3, alors que le rayon est une longueur notée [L]. Pourquoi le rapport est-il unique : on est parti de 2 paramètres (V et R) et une seule unité [L] …2-1 = 1 Donc : qui ne peut être sans dimension que si : Donc est sans dimension. Ce rapport est unique..c’est une constante universelle, soit :

Exemple 2 : Pendule simple - 1/2 On fabrique un pendule avec une bille en plomb, de masse m, et un fil de nylon, de masse négligeable, de longueur l. Quelle est la période d’oscillation T de ce pendule ? Ce pendule oscille à cause de l’accélération de la pesanteur g, et l’on pense, raisonnablement, que T = f(m, l, g)… donc on forme : Ici quatre paramètres T,m, l, g et trois unités [M], [L], [T]….4-3= 1 Et l’on cherche les exposants b, c et d pour que K soit sans dimension. La période est un temps, noté [T] , la masse m est une …masse notée [M], la longueur l , une …longueur notée [L], et l’accélération de la pesanteur est en [L T-2]… donc :

Pendule simple - 2/2 Qui ne peut être sans dimension que si : Donc : Il n’existe qu’un seul paramètre sans dimension qui est donc une constante, et l’on écrira : Période d’un pendule simple.

Retour à la traînée de la sphère - 1/8 Avec : On forme : Une force est une masse multipliée par une accélération, donc du [M L T-2]. Le diamètre, une longueur [L] La masse volumique, du [M L-3] On part de quatre paramètres Xa, D, rho, Va et trois unités interviennent [M], [L], [T]…4-3 = 1 La vitesse, du [L T-1], donc : Soit : qui est sans dimension, pour :

Retour à la traînée de la sphère - 2/8 Les exposants c, b et d s’expriment simplement avec : devient : Donc : Il n’y a qu’un seul paramètre sans dimension, qui est donc une constante universelle, soit : Hélas…!

Retour à la traînée de la sphère - 3/8 Ce résultat ne marche pas car deux propriétés importantes de l’air ont été oubliées ! 1ère propriété : L’air est un fluide compressible. Cette compressibilité se traduit par une vitesse de propagation des perturbations : c’est la vitesse du son, notée a.

Retour à la traînée de la sphère - 4/8 La vitesse du son change avec la température. Quand la température augmente, l’agitation moléculaire également, et la vitesse du son augmente également…. On montre que pour un gaz parfait : Pour un gaz diatomique,  = 1.4, et l’air est assimilé à ce type de gaz. Moins un corps est compressible, plus la vitesse du son est élevée…L’eau est plus difficilement compressible que l’air…et pour l’eau a= 1500m/s..plus de 4 fois la vitesse dans l’air…et pour l’acier inox 5660 m/s…presque 17 fois celle de l’air. Avec r la constante massique des gaz parfaits, qui, pour l’air, est proche de 287 m2 s-2 K-1. Exemple : à 15°C, soit T = 288.15 K a ≈ 340.29 m/s ≈ 1225 km/h ! T : température en degrés Kelvin

Retour à la traînée de la sphère - 5/8 2ème propriété : L’air est un fluide visqueux. 0.00001711 Viscosité dynamique  - Dimension [M L-1 T-1]. C’est en 1687 qu’Isaac Newton donna la 1ère expression des forces de frottement sur une paroi faisant intervenir la viscosité dynamique…De son expression qui sera vue ultérieurement, on tire les dimensions de 

Retour à la traînée de la sphère - 6/8 Finalement : Et l’analyse dimensionnelle permet de trouver les paramètres sans dimension, en formant : Soit : On manipule 6 paramètres, et trois unités…on aura 6 - 3 paramètres sans dimension. Ou c = -1 - f d = -2 - e - f b = -1 + 3c - d - e + f Sans dimension si : Soit : b = - 2 - f

Retour à la traînée de la sphère - 7/8 Il existe ainsi, trois paramètres sans dimension, et l’un est nécessairement fonction des deux autres, donc : En pratique, on utilise plutôt : - les paramètres physiques de l’air non perturbé notés ∞, a∞, ∞… - le groupement 1/2 ∞Va2 , que l’on retrouvera ultérieurement… - Et, spécifiquement pour la sphère, la surface π D2/4 comme surface de référence.

Retour à la traînée de la sphère - 8/8 Nombre de Reynolds Plus le Reynolds est élevé, moins les effets visqueux se font sentir. Nombre de Mach Plus le Mach est élevé plus les effets de compressibilité se font sentir. Donc : Roland Garros : p∞=101325 N/m2 - T∞=293.15 K - D = 0.06509 m Service à la vitesse record de 263 km/h (soit 73.06 m/s) Nombre de Mach M∞ = 0.213 - Nombre de Reynolds ReD = 3.17 105 L'Australien Samuel Groth lors d'un tournoi Challenger à Busan, en Corée du Sud. Autoroute : p∞=101325 N/m2 - T∞=293.15 K - L = 4.276 m Vitesse 130 km/h (soit 36.11 m/s)…pour des raisons connues… Nombre de Mach M∞ = 0.105 - Nombre de Reynolds ReL = 10.28 106

Conclusions e L l On vient d’introduire deux nombres sans dimension, fondamentaux en aérodynamique, le Mach et le Reynolds. Mais, il manque encore pas mal de choses ! e Que représente ? L Et on se souvient qu’il y avait aussi la portance Za, l’effort latéral Ya… Cette plaque exhibe trois échelles de longueurs (et non une comme la sphère)… Comment généraliser à un autre objet qu’une sphère ? l A suivre, donc..!