Deux, trois mots sur l’Aérodynamique (V) Régime fluide parfait compressible…ou la montée en Mach 1/2 Régime fluide parfait subcritique…1/7 Pour aller plus loin…1/2 Conclusions

Régime fluide parfait compressible… 1/2 Lorsque la compressibilité du fluide ne peut plus être négligée, le résultat de Bernoulli n’est plus valable… Mais, il fait place à un autre résultat dû à St Venant (1797 - 1886) : ou Cette relation nous apprend que, lorsque la vitesse augmente, il y a une baisse de la célérité du son locale . La température locale baisse. Corrélativement, le Mach local augmente d’autant plus !

Régime fluide parfait compressible… 2/2 Si M∞ est subsonique, le Mach local reste-t-il aussi subsonique, partout ? Se pose alors la question… La réponse est …pas toujours ! Tout dépend de la position de M∞ par rapport à une valeur M* < 1, appelée Mach critique. Si M∞ < M*, l’écoulement reste subsonique partout : C’est le régime subcritique Si M*< M∞ < 1, il apparaît une, ou des poches supersoniques : C’est le régime supercritique

Régime fluide parfait subcritique - 1/7 Que devient le coefficient de pression Cp dans ce régime ? Rappel : Définition alternative : Transformation de la pression dynamique Dans ce régime, on établit que : Avec  = 1.4,

Régime fluide parfait subcritique - 2/7 Donc : Et : (1) Au-delà de la beauté…de cette relation, que nous apprend-elle ? Qu’elle est plus générale que le relation de Bernoulli, retrouvée par passage à la limite quand M∞ tend vers zéro. Rappel, pour  petit :

Régime fluide parfait subcritique - 3/7 Que la pression maximale est toujours obtenue aux points d’arrêt, avec : Par exemple, à M∞=0.6, trouve-t-on Cpmax ≈ 1.093 De façon générale, le Mach augmente les Cp > 0 des zones en compression. Mais qu’en est-il des zones qui étaient en détente, avec Cp < 0 ?

Régime fluide parfait subcritique - 4/7 Plus complexes qu’en incompressible, les équations ont donné beaucoup de mal à nos anciens… Toutefois, ils ont réussi à montrer que : Pour un même profil mince (épaisseur et cambrures relatives faibles) placé à la faible incidence, les Cp entre le subcritique et l’incompressible, sont liés par la règle approchée : Règle de Prandtl (1875-1953) - Glauert (1892-1934) valable hors points d’arrêt. à M∞=0.6 : Les zones en détente, sont plus détendues :

Régime fluide parfait subcritique - 5/7 Cp*≈ -0.779 Mmax ≈ 0.92

Régime fluide parfait subcritique - 6/7 Conséquences pour les coefficients aérodynamiques Le paradoxe de d’Alembert reste encore valable ! Le coefficient de portance provient essentiellement de la différence entre les Cp intrados - extrados… Les Cp étant amplifiés, leur différence également :

Régime fluide parfait subcritique - 7/7 Grâce à la règle de Prandtl-Glauert, on montre que le foyer reste fixe. Soit, pour tout profil mince : Par contre, l’amplification des coefficients de pression, implique, également, une amplification de la valeur du CmF, soit :

Pour aller plus loin - 1/2 Il est utile d’établir le lien entre le Mach local, Mach amont et la vitesse locale : Ceci permet d’établir une autre formule donnant le coefficient de pression, qui fait intervenir, au lieu de V/V∞ comme en (1), le Mach local : Ainsi, la donnée du Cp, le Mach M∞ étant connu, permet de remonter au Mach local…cf. p.8… (2)

Pour aller plus loin - 2/2 L’intérêt de la relation (2) est de pouvoir calculer le coefficient de pression, noté Cp*, qu’il y a, ou qu’il y aurait, en un point localement sonique. (3) Par exemple en p.8, à M∞ = 0.7, on trouve que Cp* = -0.779 , de sorte que, pour notre NACA0012 à incidence nulle, on peut affirmer être en subcritique, car Cp > Cp* est équivalent à M < 1.

Conclusions On vient de voir, sur un profil, l’influence du nombre de Mach, sur les coefficients aérodynamiques, Cxa, Cza, CmF et la position du foyer F… … mais uniquement en régime subcritique Que se passe-t-il si l’on entre dans le régime supercritique, c’est-à-dire pour un Mach M∞ qui, tout en restant subsonique est supérieur au Mach critique M* ? On aborde alors, un domaine très complexe dont la solution numérique n’a été obtenue que dans les années 1970 ! A suivre, donc…