MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 4 (Sec 1-4) François Meunier DMI

Utilités des notions de dénombrement Les techniques de dénombrement sont très utiles dans la conception de logiciels. Ex: Quelle dimension devrait avoir une matrice, une table de hachage? Ex: Quelle est la complexité moyenne d’un algorithme de tri comme le quick-sort? Les réponses découlent de notre capacité de compter. Les notions de comptage peuvent aussi être utilisées dans le domaine des jeux de hasard. Ex: Quelle stratégie devriez-vous envisager au Poker?

Combinatoires L’étude du nombre de façons de combiner des objets ensembles. Ex: Dans un concours ou 100 personnes participent, Combien de combinaisons de 10 tirages (ex: prix de présence) peuvent être générées? Ex: Si un password a 6-8 lettres et/ou chiffres, Combien peut-ont générer de passwords différents?

Règles de la somme et du produit Posons m le nombre de façons de faire une tâche 1 et n le nombre de façons de faire la tâches 2, Avec m et n, nombres qui sont indépendents de la façon avec laquelle est faite l’autre tâche, Supposons que chaque tâche n’est pas effectuée de façon simultanée. Alors, nous avons les règles: De la somme: La tâche “soit la tâche 1 ou la tâche 2, mais pas les deux” peut être faite de m+n façons. Du produit: La tâche “faire les tâches 1 et 2” peut être faite de mn façons.

Dénombrement et Théorie des ensembles Si A est l’ensemble des façons de faire la tâche 1, et B l’ensemble des façons de faire la tâche 2, et si A et B sont disjoints, Alors: Les façons de faire les tâches 1 ou 2 sont représentées par AB, et |AB|=|A|+|B| Les façons de faire les tâches 1 et 2 sont représentées par AB, et |AB|=|A|·|B|

Exemple: Règle de la somme Nous avons 3 boîtes de livres Boîte 1 contient 15 livres de math Boîte 2 contient 12 livres de chimie Boîte 3 contient 10 livres d’informatique. Un étudiant veut sélectionner un livre dans une des trois boîtes. De combien de façons cet étudiant peut-il faire cette tâche? T1: Choix d’un livre de math T2: Choix d’un livre de chimie T3: Choix d’un livre de TI 15 +12+10

Exemple: Règle de la somme Compter les nombres de 11 bits de longueur avec une séquence de 7 bits. Lesquels des nombres suivants devraient être comptés: 10011001010 0110111101011 10000000011 10000000101 01111111010

Exemple: Règle de la somme Compter les nombres de 11 bits de longueur avec une séquence de 7 bits. Lesquels des nombres suivants devraient être comptés: 10011001010 Non!, pas de séq. de 7. 0110111101011 Non! Chaîne trop longue. 10000000011 Non! Séq. trop longue. 10000000101 Oui! 01111111010 Oui!

Exemple: Règle de la somme Nous devons déterminer la cardinalité de l’ensemble: A = {chaînes de 11 bits avec une séq. de 0s de 7 bits}  B = {chaînes de 11 bits avec une séq. de 1s de 7 bits} A et B sont-ils disjoints?

Exemple: Règle de la somme A et B sont disjoints. Si nous avions les deux séq. de 0s et de 1s de 7 bits dans une chaîne, elle serait plus longue que 11 et d’au moins 14. Pour compter la cardinalité d’ensembles disjoints nous utilisons: Règle de la somme: Si A et B disjoints Alors |A  B| = |A|+|B| Par symétrie, |A| et |B| sont égaux donc nous obtenons 2|A| ou 2|B|.

Exemple: Règle de la somme Décomposons: A = {chaînes de 11 bits avec une séq. de 0s de 7 bits} dans des sous-ensembles et utilisons la règle de la somme: A1 = {00000001***} (* des 0 ou 1) A2 = {100000001**} A3 = {*100000001*} A4 = {**100000001} A5 = {***10000000}. Application de la règle de la somme: |A| = |A1| +|A2| +|A3| +|A4| +|A5|

Exemple: Règle de la somme Comptons chacun des sous-ensembles. A1 = {00000001***}. Avec 3 *’s, 2 choix/* (0 ou 1), règle du produit donne |A1| = 23 = 8 A2 = {100000001**}. Avec 2 *’s., |A2| = 22 = 4 A3 = {*100000001*}, A4 = {**100000001} Similairement: |A2| = |A3| = |A4| = 4 A5 = {***10000000}. |A1| = |A5| = 8 |A| = |A1| +|A2| +|A3| +|A4| +|A5| = 8+4+4+4+8 = 28. Alors 2|A| = 56.

Exemple: Règle du produit Combien de chaînes de n bits peut-ont produire? => 2n chaînes. Preuve : Avec S = {Chaîne de n bits}. S est en correspondance 1-à-1 avec: Donc par la règle du produit nous déduisons:

Exemple: Règle du produit Combien de plaques d’immatriculation différentes sont disponibles si chaque plaque est constituée de séquences de 3 lettres et de 3 chiffres? _ _ _ _ _ _ 26 lettres possibles 10 chiffres possibles 26.26.26.10.10.10 = 17 576 000

Exemple d’adresse-IP– Règles de la somme et du produit Convention du Internet Protocol, version 4: Adresses valides des ordinateurs sont de 3 types: Class A : Adresses IP contenant 7-bits de “netid” ≠ 17, et 24-bits de “hostid” Class B: Adresses IP de 14-bits de netid et 16-bits de hostid. Class C: Addresses IP de 21-bits netid et de 8-bits de hostid. Les bits du Hostids doit être != 0s ou tout des 1s. Combien d’adresses valides peuvent être utilisées? Class NetID HostID A 7 bits 24 bits

Sol’n: Adresses IP (# addresses) = (# classe A) + (# classe B) + (# classe C) (règle de la somme) # classe A = (# valides netids)·(# valides hostids) (règle du produit) (# valide classe A netids) = 27 − 1 = 127. (# valide classe A hostids) = 224 − 2 = 16,777,214. La même chose pour les autres classes nous donne au total: 3,737,091,842 (3.7 milliard d’adresses IP)

Principe d’Inclusion-Exclusion Supposons que km des façons de faire la tâche 1 permettent aussi de faire la tâche 2. Et sont aussi des façons de faire la tâche 2. Alors, le nombre de façons de faire: “Soit la tâche 1 ou la tâche 2” est mnk. Théorie des ensembles: Si A et B ne sont pas disjoints, alors |AB|=|A||B||AB|. Si ils sont disjoints, |A|+|B|.

Principe d’Inclusion-Exclusion Visuellement. Diagramme de Venn donne une preuve du principe d’Inclusion- Exclusion: U A-AB AB B-AB

Exemple: Inclusion/Exclusion Quelques règles d’hypothèses pour les passwords: Passwords sont de 2 caractères de longueur. Chaque caractère doit être une lettre a-z, ou un chiffre de 0-9, ou un des caractères de ponctuation !@#$%^&*(). Chaque password doit contenir au moins 1 chiffre ou un caractère de ponctuation.

Problème de password Un password légal a un chiffre ou un caractère de ponctuation à la position 1 ou la position 2. Ces cas se chevauchent, donc le principe d’inclusion/exclusion s’appliquent. (# de passwords avec symboles valides à la position #1) = (10+10)·(10+10+26) (# de passwords avec symboles valides à la position #2): aussi 20·46 Exclure les cas communs: (# avec des symboles OK aux 2 places): 20·20 Réponse: 920+920−400 = 1,440

Principe du Pigeonhole Si ≥k+1 objets doivent être assignés à k places, alors au moins 1 place aura ≥2 objets. En termes de fonction d’assignation: Si f:A→B et |A|≥|B|+1, alors quelques éléments de B ont ≥2 pré-images sous f. i.e., f n’est donc pas 1-à-1.

Exemple du principe Pigeonhole Il existe 101 façons possibles de donner une note sur 100 (0%-100%) arrondie à l’entier le plus proche. Si aussi, nous avons >101 étudiants dans la classe. Alors, il y aura au moins une note assignée à plus de 1 étudiant. i.e., la fonction d’étudiants vers une note sur 100 n’est pas une fonction 1-à-1.

Généralisation du principe Pigeonhole Si N objets sont assignés à k places, alors au moins une place aura au moins N/k objets. Ex:, Si nous étions N=280 étudiants dans cette classe. Avec k=52 semaines dans l’année. Il devrait y avoir au moins une semaine avec au moins 280/52= 5.38=6 étudiants dont se sera la fête.

Preuve du G.P.P. Par contradiction. Supposons que chaque place a < N/k objets, alors ≤ N/k−1. Alors le nombre total d’objets est au plus: Donc, il y a moins de N objets, ce qui est en contradiction avec la supposition de N objets □

Exemple: G.P.P. Sachant que: Nous avons 280 étudiants dans une classe. Selon le G.P.P. au moins combien d’étudiants n peuvent être nés le même mois? Réponse: 280/12 = 23.3 = 24

Permutations Une permutation d’un ensemble S d’objets est une séquence contenant chaque objet dans S exactement 1 fois. Un arrangement ordonné de r éléments distincts de S est une r-permutation de S. Le nombre de r-permutations de S avec n=|S| éléments est: P(n,r) = n(n−1)…(n−r+1) = n!/(n−r)!

Exemple: Permutation Supposons que nous avons une palette de couleur– Red, Green, Blue, et Pourpre. De combien de façons peut ont combiner deux couleurs différentes? RG, RB, RP, GR, GB, GP, BR, BG, BP, PR, PG, PB n = 4 et r = 2 n!/(n-r)! = 4.3 = 12

Exemple: Permutation Si vous êtes dans un film de Batman et que vous êtes assis sur une bombe que vous devez désactiver en coupant 3 des 10 fils dans le bon ordre. Quel est votre chance de survie si tous les fils sont de la même couleur? P(10,3) = 10!/(10-3)! 10·9·8 = 720, donc nous avons 1 CHANCE sur 720 de survivre!

Combinaisons Une r-combinaison d’éléments d’un ensemble S est le sous-ensemble TS avec r membres, |T|=r. Le nombre de r-combinaisons d’un ensemble de n=|S| éléments est Notez que C(n,r) = C(n, n−r) Donc choisir les r membres de T revient à choisir les n−r non-membres de T.

Nombre de r-combinaisons Combien peut-on choisir de sous-ensembles de 2 bagels parmi un ensemble de 4? => C(4,2). { , , , } C(4,2) = 6. C (4,2) = (4·3)/(2·1) = 12/2 = 6

Dérivation de la formule: r-combinaison La formule de la r-combinaison: C (n,r ) = P (n,r ) / r ! Cette forme suggère qu’il existe un lien entre les r-combinations et les r-permutations: En fait selon la règle de division nous avons r ! r-permutations pour chaque r-combinaison. Ex: 3-combinaison {1,2,5} correspond à 3! = 6 3-permutations différentes: (1,2,5),(1,5,2),(2,1,5),(2,5,1),(5,1,2),(5,2,1). La règle de division permet de dire: chaque r-combo est une cellule contenant r ! r-permutations.

Règle de la division Nouvelle règle de dénombrement: RÈGLE DE DIVISION: Supposons S un ensemble fini divisé en cellules de cardinalité d. Donc le nombre de cellules est |S | / d. Si vous avez un trésor de187 pièces d’or qui sont réparties dans des saca de 17 pièces chacun. Combien avez-vous de sacs de pièces d’or? => 187 / 17 = 11

Exemple: Combinaison Combien de mains de 7-cartes distinctes peuvent être tirées d’un paquet de 52-cartes standard? L’ordre des cartes dans la main n’est pas important. Réponse C(52,7) = P(52,7)/P(7,7) = 52·51·50·49·48·47·46 / 7·6·5·4·3·2·1 52·17·10·7·47·46 = 133,784,560

Exemple: Combinaison Chaque paquet est constitué de 52 cartes (sans les Jokers). Ces 52 cartes sont divisées en 4 types (suites, sortes) : Coeur Carreau Pique Trèfle

Exemple: Combinaison Chaque suite est constituée de 13 cartes: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10, valet,reine,roi

Cartes: Poker Une main poker consiste en un ensemble de 5 cartes. Il existe différentes configurations de mains avec chacune leur nom spécifique.

Glossaire des mains de Poker Straight flush Five cards in sequence in the same suit. A royal straight flush (A-K-Q-J-10 in same suit) is the highest non-joker poker hand possible. Four of a kind Four cards of the same rank. Full house Three of a kind and a pair. When matching full houses, the one with the higher three of a kind wins. Flush Five cards of the same suit. Straight Any five cards in sequence but not all of the same suit. Three of a kind Three of the same rank with two unmatched cards. Two pairs Two cards of one rank with two cards of a different rank with one dissimilar card. When matching pairs occurs between players, the one with the higher fifth card wins. One pair Any two cards of the same rank.

Exemple: Cartes: Poker Combien est-il possible de produire de mains différentes au Poker? Ce nombre de mains correspond au nombre de sous-ensembles de 5-éléments à partir d’un ensemble de cardinalité 52. C (52,5) = 52!/(5!(52-5)! = 2,598,960

Exemple: Cartes: Poker Combien de mains différentes correspondent à une full house? Selon la régle du produit: Une paire et un triplet ( 3 cartes pareils) Nombre de pairs: 13·C (4,2) Choix d’un rang (ex: As, valet etc.): 13 Choix de 2 parmi 4 types: C (4,2) Nombre de 3 pareils: 12·C (4,3) Choix d’un rang différent: 12 Choix de 3 parmi 4 types: C (4,3) Nombre total: 13·C (4,2)·12·C (4,3) = 3744

Coefficients Binomiaux C(n, r) peut être utilisés comme coefficent dans une expression comme (x + y)n C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3)

Triangle de Pascal Identité de Pascal Triangle de Pascal C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k) Triangle de Pascal