Le modèle de Black & Litterman Equilibre et croyances

Les motivations du modèle de Black-Litterman La performance limitée des exercices d’optimisation. In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black: “Our asset allocation optimizer is extremely sensitive to its inputs. What can we do?”

Les fondements statistiques Mixer diverses informations

Les fondations statistiques La réponse statistique : Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

Les fondations statistiques  

Les fondations statistiques  

Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information : La théorie économique  Pour Fischer Black, le CAPM décrivait l’état autour duquel devait graviter l’économie réelle.

Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information (suite) : Des opinions informées (views)  Sur les niveaux des rendements Sur les différences des rendements.

2 opinions d’analystes financiers : Exemples de views Un univers de 3 titres 1, 2, 3 2 opinions d’analystes financiers : Le rendement moyen du titre 1 est de 5% Celui du titre 3 de -2% Comment entrer ces opinions dans un modèle économétrique?

Exemples de views  

Exemples de views  

Dont la matrice P décrit les portefeuilles associées aux views Exemples de views Dont la matrice P décrit les portefeuilles associées aux views Si l’on a N views et J titres alors P sera une matrice (N,J) Dans l’exemple, P sera alors  

Exemples de views L’équation sera donc :  

Un exemple de views relatives 2 opinions d’analystes financiers : Exemples de views Un exemple de views relatives 2 opinions d’analystes financiers : Le rendement moyen du titre 2 dépassera celui du titre 3 de 2% Le rendement des valeurs bancaires (par exemple le titre 1) sera inférieur de 2% à celui des valeurs technologiques (les titres 2 et 3 dans notre univers).

Exemples de views    

Exemples de views L’équation sera donc :  

Les fondations statistiques    

Les fondations statistiques    

Les fondations statistiques    

Les fondations statistiques Pour le système :  

Les fondations statistiques Pour le système :  

Les fondations statistiques Pour le système :  

Le modèle de B & L

Black & Litterman (1992) Black and Litterman (1992) “Global Portfolio Optimization” use the same formula to combine a prior, “Equilibrium” with an investor’s “Views”

Le modèle de B&L L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions, Notamment pour gérer les erreurs d’estimation

B & L : un a priori L’ « information » additionnelle de Black & Litterman : l’a priori que l’économie doit graviter autour du CAPM, Donc les rendements des titres doivent être liées à ceux du CAPM

B & L : un outil L’estimation mixte Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

La formule de B&L La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé au rendement d’équilibre P la matrice des opinions (KxJ) définissant les actifs impliqués dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans les opinions Q le vecteur des opinions (Kx1)

La formule de B&L

B&L Comment calculer les rendemnts du CAPM? Quelles views?

Les rendements du CAPM Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72

Deux approches pour déterminer le rendement implicite le CAPM  le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta l’optimisation inverse (Sharpe (1974))

L’optimisation inverse Les conditions marginales (avec actif sans risque)   Où est le portefeuille de marché

L’optimisation inverse (suite) Le coefficient d’aversion au risque

Le portefeuille de marché

Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient. Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.

Par exemple : les rendements historiques (bruités) Quelles views ? Par exemple : les rendements historiques (bruités) La contribution de B & L : « ancrer » les données observées à la théorie pour filtrer le bruit.

Un exemple A partir d’un échantillon initial Resampling des données pour créer des échantillons artificiels Et comparaison des résultats obtenus en appliquant Markowitz, Black & Litterman, ou en sélectionnant le portefeuille equipondéré.

nom périodicité début fin observ. capitalisation US LARGE CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 21,74% US MID CAP VALUE 3,02% US SMALL CAP VALUE 1,61% US LARGE CAP GROWTH 18,01% US MID CAP GROWTH US SMALL CAP GROWTH 1,85% EM ASIA 3,19% EM EUROPE EM LATIN AMERICA 2,12% EMU 19,25% JAPAN 15,62% UNITED KINGDOM 10,36%

Markowitz  Eu ratio de Sharpe Er volatilité VAR 5% TE equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06% 2,53% marché 5,76% 10,29% 13,47% -11,86% 2,43% optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83%   moyenne 3,10% 0,55 12,23% 18,40% -18,03% 3,58% écart-type 5,28% 0,20 2,80% 5,18% 8,37% 1,84% 5,00% -6,84% 0,17 6,67% 12,75% -32,53% 0,47% 25,00% -1,22% 0,42 11,26% 13,61% -25,17% 1,98% 50,00% 4,65% 0,57 12,73% 17,23% -16,16% 3,61% 75,00% 7,60% 0,70 14,21% 22,10% -10,38% 4,96% 95,00% 9,65% 0,85 16,25% 29,50% -7,90% 6,65%

BL  Eu ratio de Sharpe Er volatilité VAR 5% equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06% marché 5,76% 10,29% 13,47% -11,86% optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83% moyenne 7,30% 0,67 11,59% 13,10% -9,96% écart-type 0,25% 0,02 0,22% 0,28% 0,45% 5,00% 6,95% 0,65 11,16% 12,58% -10,48% 25,00% 7,22% 11,54% 13,01% -10,17% 50,00% 11,64% 13,16% -10,02% 75,00% 7,40% 0,68 11,70% 13,26% -9,80% 95,00% 7,60% 0,70 11,80% 13,39% -9,23%

Au-delà du problème d’erreurs d’estimation, La richesse de B & L : sa capacité à intéger n’importe quel type de views.

Le mécanisme de B&L Évaluation des « rendements du marché » par l’optimisation inverse Prise en compte des opinions : opinion absolue : « l’actif A aura un rendement de x% » opinion relative : « l’actif A sur-performera l’actif B par x points de % »

Le mécanisme de B&L La nature des opinions Des intuitions d’investisseurs Des données empiriques (valeurs des rendements moyens récents) Des prévisions économétriques des rendements

Un exemple (Idzorek)

Un exemple 3 opinions : Intern’ Developped Equity va avoir un rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%) Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%) US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)

Mise en oeuvre

La matrice de covariance des erreurs des opinions

La matrice de « participation » Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)

Idzorek

Variances des « individual portfolio view »

La solution de He & Litterman (1999) et ? La solution de He & Litterman (1999) Numériquement :

Propriété de BL: La déformation du portefeuille induit par la prise en compte des opinions dépend de l’importance relative des sur-performances (selon l’opinion et le rendement implicite) Exemple de l’opinion 3

Opinon 3 : actifs sur-performants

Opinon 3 : actifs sur-performants

Un exemple Mêmes données que précédemment L’opinion : US Equity sur-performera World Equity par 150 pts Avec une confiance de 75%

La statistique bayésienne Les fondements de B&L La statistique bayésienne A priori sur les paramètres + vraissemblances C. Robert La décision bayésienne Les modèles bayésiens de choix de portefeuille Scherer & McDouglas