Relations et fonctions

Une relation est un lien (un rapport) existant entre des choses, des situations ou des personnes. La mathématique permet de quantifier ou de qualifier ces différentes relations. Exemple : Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. On aimerait trouver une manière permettant de calculer le salaire de la secrétaire. x En représentant le nombre d’heures travaillées par une simple lettre soit et le salaire de la secrétaire par une autre lettre soit y, nous pouvons décrire la relation suivante : Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées y = 20 $ X x y = 20 x Cette règle signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire de la secrétaire .

x x Le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. Construisons un tableau représentant le salaire en fonction des heures travaillées. Heures travaillées : x Salaire ($) : 1 20 2 40 3 60 4 80 5 100 6 120 7 140 8 160 y = 20 X En donnant des valeurs à , nous pouvons calculer des valeurs pour y. x x Dans ce genre de situations, les lettres ( et y ) sont appelées des variables, car elles varient (elles prennent plusieurs valeurs) dans une même situation. x est appelée la variable indépendante : elle ne dépend d’aucune autre. y est appelée la variable dépendante : elle dépend des calculs effectués avec x .

Certaines relations portent le nom de fonctions. les variables. Ce qui les distingue des autres relations est le lien particulier existant entre Une relation entre deux variables est dite fonctionnelle, ou tout simplement fonction, lorsque à chaque valeur de la variable indépendante est associée au plus une valeur de la variable dépendante. L’exemple de la secrétaire démontre qu’elle ne peut pas avoir deux salaires différents pour un même nombre d’heures travaillées. Cette relation est donc une fonction.

ne peut avoir plus qu’une (x) valeur d’ordonnée ne peut avoir plus qu’une Ainsi, dans le plan cartésien, une valeur d’abscisse (y) . y x y x y x y x y x Ce sont toutes des fonctions.

Ici, chaque abscisse possède 2 ordonnées différentes. Chaque valeur de x possède 2 valeurs de y. y x y x Ce ne sont pas des fonctions, mais des relations.

Afin de distinguer les fonctions des autres types de relations, nous utilisons une notation particulière appelée notation fonctionnelle. Nous savons que l’exemple du bureau de médecin offrant 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale est une fonction. Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées Nous pourrions écrire : y = 20 x Mais, nous écrirons plutôt : f(x) = 20 x Car, c’est une fonction. Ce symbole signifie que les valeurs de la fonction (les valeurs de la variable dépendante) se calculeront en fonction des valeurs données à la variable indépendante. Exemple : f(x) = 20 x f(5) = 20 X 5 = 100 donc f(5) = 100 soit le couple (5 , 100) f(8) = 20 X 8 = 160 donc f(8) = 160 soit le couple (8 , 160)

Une fonction sera désignée par la notation fonctionnelle. Lorsqu’on travaille avec plusieurs fonctions simultanément, on les désigne par des lettres différentes. Exemples : f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 h(x) = x / 100 Une fonction sera désignée par la notation fonctionnelle. Une relation sera désignée par f(x) et x y et x y x y x f(x) = x y2 = - x2 + 1

Exercice 1 Voici deux fonctions : f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule f (13) : f(x) = 2x + 5 f(13) = 2 X 13 + 5 = 31 Calcule f (a) : f(x) = 2x + 5 f(a) = 2 X a + 5 = 2a + 5 Calcule f (a + 1) : f(x) = 2x + 5 f(a + 1) = 2(a + 1) + 5 = 2a + 2 + 5 = 2a + 7 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule g(4) : g(4) = 42 + 5 X 4 + 6 = 42

x2 + 7x + 11 Exercice 2 Voici deux fonctions : f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule g(a + 3) : g(a + 3) = (a + 3)2 + 5(a + 3) + 6 = g(a + 3) = a2 + 6a + 9 + 5a + 15 + 6 = a2 + 11a + 30 Calcule f(x) + g(x) : 2x + 5 + x2 + 5x + 6 = x2 + 7x + 11 Calcule f(x) X g(x) : (2x + 5) (x2 + 5x + 6) = 2x3 + 15x2 + 37x + 30