Du point A on veut placer le vecteur    w = 4 u + 2v    w = 4 u + 2v A  V  u

Du point A on place le vecteur :  u

puis le vecteur :  2 u A  u  u  V  u

puis le vecteur :  3 u A  u  u  u  V  u

enfin le vecteur :  4 u A  u  u  u  u  V  u

maintenant le vecteur :  v

Et le vecteur :  2 v  V  V A  u  u  u  u  V  u

Voici les vecteurs   4 u et 2 v  2 V A  4 u  V  u

Pour faire leur somme on applique la règle du parallélogramme  2 V A  4 u  V  u

Le vecteur en rouge est :    W = 4 u + 2 v    W = 4 u + 2 v    W = 4 u + 2 v  2 V A  4 u  V  u

On trace deux axes    W = 4 u + 2 v  2 V A  4 u  V  u

Que l’on nomme (ox) et (Oy)    W = 4 u + 2 v  2 V A  4 u  V O x  u

  W = AB y B    W = 4 u + 2 v  2 V A  4 u  V O x  u

On vient de construire un repère     u et v sont appelés vecteurs unitaires y B  W  2 V A  4 u  V O x  u

Calculons OA en fonction de u et v    Calculons OA en fonction de u et v y B  W  2 V A  4 u  V O x  u

La règle du parallélogramme donne    OA = 2 u + 3 v y    OA = 2 u + 3 v y B  W  3V A  V O x  u  2u

On fait de même avec le vecteur :  OB y W A  V O x  u

Et on obtient    OB = 6 u + 5 v y  5 V B  W A  V O x  u  6u

Et on retrouve le système de coordonnées classique B 5  W A 3 1  V O x  u 1 2 6

En conclusion y B 5 A O x     Au lieu d’écrire :     W A 3 1 O  V x  u 1 2 6 Au lieu d’écrire :     OA = 2u + 3v on écrira OA(2 ; 3) et A(2 ; 3) Et de même     OB = 6u + 5v put s’écrire OB(6 ; 5) et B(6 ; 5) En remarquant que          OB + AB = OA soit encore OB – OA = 6u + 5v – 2u – 3v     On a AB = (6 – 2)u + (5 – 3)v ce qui peut s’écrire AB(6 – 2 : 5 – 3)

Dans le repère (O ; I ; J )  xA xB yA yB O A B   Dans le repère (O ; I ; J )  Le vecteur AB peut s’écrire deux façons différentes    AB = (xB – xA) i + yB – yA) j Ou alors : AB (xB – xA; yB – yA) Tout point M du plan a les mêmes coordonnées que le vecteur OM xA xB yA yB O A B  J i