Raisonnement et logiques Préambule à l’intelligence artificielle CWR - Philomaths 20.03.2015

Pourquoi raisonne-t-on ? A => B Question => Réponse Hypothèse => Conclusion Situation => Décision Cause => Conséquence => est une implication A et B sont connus. Le raisonnement sert à démontrer ou à justifier B à partir de A, par exemple démonstration mathématique ou défense d’un accusé par un avocat. A est connu, B est inconnu. C’est le cas classique de la résolution d’un problème, calcul, recette, etc. B est connu, on recherche A. C’est le cas d’une panne (moteur), d’un dysfonctionnement (ordinateur, par exemple), d’une maladie (symptôme). CWR - Philomaths 20.03.2015

Représentation du raisonnement (1/2) : arbre de décision CWR - Philomaths 20.03.2015

Représentation du raisonnement (2/2) : organigramme CWR - Philomaths 20.03.2015

Modes de raisonnement en fonction de la complexité et de la formalisation Intuition Logiques non standard Analogie Association Complexité - Logique classique Syllogisme Bon sens Formalisation -- CWR - Philomaths 20.03.2015

La logique classique (1/2) 3 principes : Identité « un énoncé vrai est vrai » Non-contradiction « un énoncé ne peut pas être vrai et faux » Tiers exclu « un énoncé est soit vrai, soit faux » CWR - Philomaths 20.03.2015

La logique classique (2/2) * Syllogisme 1 : « Tous les hommes sont mortels. Socrate est un homme. Donc Socrate est mortel. » * Syllogisme 2 : « Tout ce qui est rare est cher, Un cheval bon marché est rare, Donc un cheval bon marché est cher. » * Syllogisme 3 : « La vache est un mammifère La vache produit du lait Donc tous les mammifères produisent du lait. » CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique et théorie des ensembles (1/4) Les 3 principes s’écrivent : A = A (identité) A ∩ Ā = Ø (non-contradiction) x ϵ A ou x ϵ Ā (tiers exclu) où A est un ensemble, Ā (ou non-A) son complémentaire, Ø l’ensemble vide, ∩ l’intersection d’ensembles, ϵ l’appartenance, ou désigne « ou exclusif ». A CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique et théorie des ensembles (2/4) * Syllogisme 1 : M est l’ensemble des mortels. H est l’ensemble des hommes. H ⊂ M (les hommes sont mortels) s ϵ H (Socrate est un homme) => s ϵ M (donc Socrate est mortel) => est une inférence ou une implication. M H CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique et théorie des ensembles (3/4) La théorie des ensembles est inapplicable aux « faux » syllogismes. * Syllogisme 2 : « Tout ce qui est rare est cher » s’écrit : {rare} ⊂ {cher} Soit C un cheval bon marché : C Ɇ {cher} (par définition) « Un cheval bon marché est rare » s’écrit : C ϵ {rare} ce qui est impossible. {cher} {rare} CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique et théorie des ensembles (4/4) * Syllogisme 3 : « La vache est un mammifère La vache produit du lait Donc tous les mammifères produisent du lait. » Vache ϵ {Mammifères} Vache ϵ {Producteurs de lait} => {Mammifères} = {Producteurs de lait} L’inférence => est une induction. (cas précédents : déduction) {Mammifères} {Producteurs de lait} CWR - Philomaths 20.03.2015

Limites de la logique classique (1/2) Logiques non standard Binaire : une proposition est vraie ou fausse (2 valeurs de vérité) Multivalente : une proposition peut être vraie, fausse, ou autre chose Statique : une proposition vraie/fausse est toujours vraie/fausse Évolutive : une proposition peut être vraie, puis fausse (ou l’inverse) Finie (entre le début, marqué par la mise en place des hypothèses, et la fin constitué par la conclusion) Indéfinie (les conditions peuvent changer au cours du raisonnement) Reproductible à l’identique Défaisable (une action peut, en retour, modifier les conditions de répétition de cette action) CWR - Philomaths 20.03.2015

Limites de la logique classique (2/2) Les 3 principes mis en défaut par les logiques non standard : Identité (une chose n’est pas toujours égale à elle-même) La « vérité » peut changer avec le temps, avec le contexte, avec le point de vue (logiques modale, temporelle, non monotone ) Non-contradiction (la vérité peut être une chose et son contraire) En logique floue, une chose peut être partiellement vraie et partiellement fausse Tiers exclu (plus de 2 valeurs de vérité) Logiques multivalentes (une chose peut être vraie, fausse ou indéterminée) CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique modale Il est nécessaire que A soit vrai ; Toujours dans l’avenir A sera vrai ; Il y a un instant dans le futur où A sera vrai ; X sait que A est vrai ; X croit que A est vrai ; Il est possible, eu égard aux connaissances de X, que A soit vrai ; etc. CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique temporelle A sera vrai au moins une fois dans le futur ; A a été vrai au moins une fois dans le passé ; A sera toujours vrai dans le futur ; A a toujours été vrai dans le passé. CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique non monotone (ou défaisable) 3 types de règles : (1) les règles strictes, qui spécifient qu'un fait est toujours la conséquence d'un autre ; (2) les règles défaisables, qui spécifient qu'un fait est généralement la conséquence d'un autre ; (3) les défaiseurs, qui spécifient les exceptions aux règles défaisables. Exemple : la règle « toutes les autruches sont des oiseaux » est une règle stricte. La règle « tous les oiseaux volent » est défaisable, et a pour défaiseur « les autruches ne volent pas ». CWR - Philomaths 20.03.2015

Logiques multivalentes En réponse à un questionnaire, 3 possibilités : OUI NON Ne sait pas CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique floue (1/4) Cette logique est fondée sur la théorie des ensembles flous inventée par Lotfi Zadeh (1965). Un ensemble flou ressemble à un nuage. Un élément peut appartenir partiellement à un tel ensemble. CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique floue (2/4) Soit F un ensemble flou et μF(x) est la fonction d’appartenance d’un élément x à cet ensemble, μF(x) est compris entre 0 et 1, μF(x) = 1 si l’appartenance est totale, μF(x) = 0 s’il y a exclusion totale. CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique floue (3/4) Inférence classique Inférence floue A vrai A → B => B vrai où A et B sont des propositions classiques. A’ vrai (A’ proche de A) A → B => B’ vrai (B’ proche de B) où A’ et B’ sont des propositions floues. CWR - Philomaths 20.03.2015

Logique floue (4/4) Le langage est « flou », le raisonnement peut être « flou », mais le résultat est toujours binaire : OUI ou NON FAIRE ou NE PAS FAIRE etc. CWR - Philomaths 20.03.2015