Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #5: Conception de contrôleur: lieu des racines & critère de stabilité de Routh Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours # 5 Retour sur le cours #4 Conception de contrôleur: Lieux des racines Critère de stabilité de Routh (1ère partie): Démonstration générale sur les polynômes d’ordre n Exemple avec des polynômes d’ordre 3 et 4 (au tableau) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (I) Un système de deuxième ordre sous forme normalisée (Laplace): Se traduit, dans le domaine temporel par la réponse indicielle: Le comportement de la réponse d’un système de deuxième ordre est donc directement lié à ses paramètres (ζ, ω) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (II) La performance d’un système peut s’exprimer selon certains critères de performance: Stabilité (les pôles sont-ils tous à partie réelle négative?) Dépassement P (en %), en anglais (« overshoot ») Le temps de dépassement Tp Le temps de réponse Ts à 2%, à 5% La constante d’erreur de position vis-à-vis l’échelon (kp) La constante d’erreur de vitesse vis-à-vis la rampe (kv) La constante d’erreur d’accélération vis-à-vis la parabole (ka) La bande passante BW (en anglais « bandwidth ») Le gain à la fréquence de résonnance Mm Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (III) Temps de dépassement Tp: En dérivant l’expression de y(t): Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (IV) Le dépassement P Il s’agit simplement d’évaluer y(Tp): Par conséquent: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (V) Le temps de réponse Ts: Encore une fois, en observant la réponse temporelle d’un système de 2ième ordre: On s’intéresse au moment lors duquel l’amplitude du sinus sera environ égale à 0.02 (pour la réponse à 2%) ou 0.05 (pour la réponse à 5%). Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (VI) L’amplitude du sinus peut être approximée par : Donc: Temps de réponse à 2%: Temps de réponse à 5%: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (VII) Exemple d’application de ces formules pour un système quelconque de deuxième ordre: Théoriquement, en appliquant les formules que nous venons de démontrer: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (VIII) En utilisant les outils tf() et ltiview de MATLAB: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (IX) Type du système et réponse en R.P. Soit un système représenté par le digramme fonctionnel général suivant: Si on s’intéresse à la performance de ce système en tant que suiveur (suivi de consigne), on s’intéresse donc à la fonction de transfert entre l’erreur et l’entrée: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (X) Type du système et réponse en R.P. 1) Si nous injectons un échelon unitaire à l’entrée de ce système, alors: 2) Si nous injectons une rampe unitaire à l’entrée de ce système, alors: 3)Dans la même veine, en appliquant une entrée parabole: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XI) Type du système et réponse en R.P. Nous avions alors introduit la notion de « type du système », qui correspond en fait au nombre de pôle(s) nul(s) de G(s)=G1(s)G2(s). La notion de type est utile puisqu’elle permet entre autre de connaître immédiatement l’erreur en R.P. d’un système face à une entrée connue: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XII) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Soit: Avec: Alors, l’erreur en régime permanent: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XIII) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XIII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Donc l’erreur en régime permanent se calcule directement à partir de la constante d’erreur de position (entrée échelon): Donc; Dans Simulink: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XIV) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XIV) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Bleu: Référence Vert: Sortie du système Considérons le même système avec, cette fois-ci, une entrée de type rampe. Alors: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XV) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Bleu: Référence Vert: Sortie du système Considérons le même système avec, cette fois-ci, une entrée de type parabolique. Alors: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XVI) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XVI) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 2 Remplaçons maintenant le contrôleur par un intégrateur afin d’augmenter le type de G(s): Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XVII) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XVII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 2 Bleu: Référence Vert: Sortie du système Avec le même contrôleur (intégrateur), essayons une entrée rampe unitaire: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XVIII) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XVIII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 2 Erreur en fonction du temps Bleu: Référence Vert: Sortie du système Avec le même contrôleur (intégrateur), essayons une entrée parabole: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XIX) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XIX) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 3 Bleu: Référence Vert: Sortie du système Considérons un nouveau système et remplaçons encore le contrôleur par cette fois-ci un double intégrateur afin d’augmenter (encore) le type de G(s): Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XX) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 3 Bleu: Référence Vert: Sortie du système Avec le même contrôleur (double intégrateur), essayons une entrée rampe unitaire: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Rappel du cours #4 (XXI) Type du système et réponse en R. P Rappel du cours #4 (XXI) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 3 Erreur en fonction du temps Bleu: Référence Vert: Sortie du système Avec le même contrôleur (intégrateur), essayons une entrée parabole: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de boucles de commande (XX) Soit maintenant un système affecté d’une perturbation non-négligeable. On s’intéresse à la performance du système (ici, l’erreur en régime permanent) en tant que régulateur (rejet des perturbations). Donc, on cherche la fonction de transfert entre l’erreur (sortie) et la perturbation (entrée): Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de boucles de commande (XX) Ainsi, pour une perturbation quelconque qui s’exprime telle que: L’erreur en régime permanent, en utilisant le théorème de la valeur finale, sera: Donc, simplement par observation de cette dernière expression, l’erreur en régime permanent sera: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours #5

Conception de contrôleur (I) À la lumière de l’analyse que nous venons de faire sur la relation entre le type de G(s) et l’erreur en régime permanent d’un système suiveur ou régulateur, il est évident que pour améliorer la réponse d’un système en régime permanent, il suffit simplement d’inclure des intégrateurs dans G1(s) afin d’augmenter le type du système, ou d’inclure des gains K afin d’augmenter le plus possible la constante d’erreur Kp, Kv ou Ka. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (II) Ce qui est moins évident est la manière d’améliorer la performance en régime transitoire du système suiveur. L’analyse du système normalisé du deuxième ordre fournit cependant des indications sur les positions des pôles qui donnent lieu au comportement désiré. Dans cette section, nous allons étudier la manière dont les pôles se déplacent en fonction de la structure et des paramètres du contrôleur. Ceci nous permettra de déplacer les pôles du système en boucle fermée de façon à obtenir la réponse désirée en régime transitoire. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (III) Lieux des racines Le fait d’introduire un contrôleur dans la boucle de commande nous donne des degrés de liberté au niveau du comportement du système en boucle fermée. Les différents gains associés au contrôleur permettent de changer la position des pôles du système en boucle fermée et donc, aussi de modifier le comportement du système en régime transitoire. Par exemple, considérons encore le système général suivant: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (IV) Lieux des racines Comme nous l’avons déjà démontré, la fonction de transfert d’un tel système s’écrit tel que: Considérons maintenant un contrôleur de type proportionnel donc la fonction de transfert s’écrit: Alors, la fonction de transfert du système se ré-écrit: Les pôles du polynôme caractéristique seront situés tel que: Donc: La position des pôles du système en boucle fermée est affectée par le paramètre K choisi par le concepteur! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (V) Lieux des racines Puisque les pôles du système en boucle fermée dépendent de K, il serait utile de pouvoir visualiser sur un graphique le déplacement des pôles du système en fonction de K: ce graphique se nomme le lieu des racines. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (VI) Lieux des racines – Exemple tiré de [2] Par exemple, voici la caméra ACS-2000-P1A CameraMan de la compagnie « Parker Vision »: Cette dernière suit le mouvement d’un individu vêtu d’émetteurs infrarouges. L’enregistrement vidéo est donc guidé par le rayonnement infrarouge. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (VII) Lieux des racines – Exemple [2] Le diagramme fonctionnel de ce système s’écrit comme suit: Coordonnées de l’individu Coordonnées de l’individu données par la caméra Amplificateur En fermant la boucle Coordonnées de l’individu Coordonnées de l’individu données par la caméra Où K=K1K2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (VIII) Lieux des racines – Exemple [2] K=0 Autre remarque: K=0 donne un système marginalement stable, ce qui est indésirable en pratique! La fonction de transfert est donc: Lieux des racines dans Matlab: K=25 Remarque: On voit donc qu’il est possible, dans ce cas-ci, d’obtenir un système soit sous-amorti, soit en amortissement critique ou soit sur-amorti: il suffit simplement de bien choisir le gain K! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (IX) Lieux des racines À ce point, nous réalisons qu’une représentation graphique du lieux des racines d’un système est très utile pour bien concevoir un contrôleur / boucle de commande. Attardons-nous maintenant à présenter une méthode qui permet de tracer à la main le lieu des racines, et ce, même pour des systèmes complexes. Supposons que G(s) s’écrit comme suit: Les zi sont les zéros de la fonction de transfert, tandis que les pi sont les pôles. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (X) Lieux des racines Rappelons-nous que la fonction de transfert d’un système en boucle fermée avec un contrôleur de type proportionnel est: Et donc que les pôles du système sont les valeurs de s telles que: Par contre, puisque « s » est complexe, cette dernière équation représente en fait deux équations. On pourrait penser à poser: Cependant, de manière générale, on utilise plutôt les notions d’amplitude et d’angle. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XI) Lieux des racines i) La relation d’amplitude: ii) La relation d’angle: Ce système de deux équations étant équivalent à l’équation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement s’il répond à ces deux équations. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XII) Lieux des racines - Remarques Étant donné un point qui appartient au lieu des racines, la relation d’amplitude donne la valeur du gain K qui donne lieu à ce pôle. On pourrait construire le lieu des racines à partir de ces relations par tâtonnements ; cependant, il existe un ensemble de règles, dites les règles d’Evans, qui simplifient beaucoup la construction manuelle du lieu. On pourrait aussi construire le lieu des racines en utilisant la commande MATLAB rlocus (tel que démontré précédemment), mais les règles d’Evans permettent d’obtenir une bonne compréhension de la forme du lieu, compréhension qui est essentielle au choix de la structure du contrôleur! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XIII) Règles d’Evans 1) Nombre de branches: Le lieu des racines comprend un nombre de trajectoires qui est égal au nombre de pôles du système en boucle ouverte G(s). 2) Symétrie du lieu: Le lieu des racines est symétrique par rapport à l’axe des réels. 3) Points de départ : Pour K = 0, les n branches commencent dans les pôles du système en boucle ouverte de G(s). 4) Points d’arrivée : Lorsque K→∞, m des n branches se terminent dans les zéros de G(s). Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XIV) Règles d’Evans 5) Centre de gravité des asymptotes : Lorsque K→∞, les n − m autres branches tendent vers l’infini, en s’approchant d’asymptotes sous forme de lignes droites avec le point d’intersection: Ce point d’intersection est dit le centre de gravité des asymptotes. Les angles des asymptotes sont donnés par Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XV) Règles d’Evans 6) Branches du lieu appartenant à l’axe réel : Un point s0 sur l’axe des réels appartient au lieu des racines si et seulement si la somme du nombre de zéros et du nombre de pôles qui se trouvent à la droite de s0 est un nombre impair. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XVI) Règles d’Evans 7. Points de séparation ou points d’entrée : Les points pour lesquels des branches du lieu des racines s’intersectent sont donnés par les zéros de: Comme G(s) est de la forme : Alors, cela équivaut à écrire que: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XVII) Règles d’Evans 8. Angles de départ ou d’arrivée : À K = 0, les branches quittent les pôles avec un angle qui permet de respecter la relation d’angle. Pour le calculer, il suffit de choisir un point près du pôle et de calculer la contribution des tous les angles sauf celle du pôle près du point. On calculera l’angle de départ afin de respecter la relation d’angle. Ainsi: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XVIII) Règles d’Evans 9. Croisement de l’axe des imaginaires : Si cela est pertinent, le gain et le point au croisement de l’axe des imaginaires peuvent être trouvée en utilisant s = jω dans l’équation caractéristique ou en utilisant le critère de Routh (que nous verrons plus tard). Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XIX) Règles d’Evans – Exemple I Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XX) Règles d’Evans – Exemple I Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXI) Règles d’Evans – Exemple II Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXI) Règles d’Evans – Exemple II Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXII) Règles d’Evans – Exemple III Voici le bras articulé ISAC (Intelligent Soft Arm Control) qui vise à aider les gens à capacité réduite. Le bras utilise une technologie nommée « rubbertuator  » qui, en gros, est un actuateur pneumatique composé de tubes en caoutchouc qui se contractent sous pression et qui s’allongent lorsque la pression est relachée. La photo et l’exemple proviennent de [2] et de [5] . Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXIII) Règles d’Evans – Exemple III Le diagramme fonctionnel représentant le contrôle de la position de la cuillère est représenté ci-dessous: Vous êtes en présence d’un système d’ordre 5, vous voulez choisir un gain du contrôleur (K) qui placera les pôles du système selon ce que vous souhaitez. Vous tracez donc le lieux des racines en utilisant les règles d’Evans. Rubbertuator Contrôleur Position actuelle de la cuillère Y(s) R(s) Position désirée de la cuillère Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXIV) Règles d’Evans – Exemple III En utilisant Matlab: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXV) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Lors des cours précédents, nous avons insisté sur le fait que pour qu’un système quelconque soit stable, les pôles de la fonction de transfert de ce dernier doit tous êtres à partie réelle négative (i.e.: demi-plan gauche du plan complexe). Dans certains cas, par exemple pour des fonctions de transfert d’ordre élevé, il peut être difficile de déterminer les pôles de la fonction de transfert d’un système. Pour les systèmes d’ordre un et deux, les pôles de la fonction de transfert seront à partie réelle négative si tous les coefficients du polynôme caractéristique sont tous du même signe: très simple! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXVI) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Pour des système d’ordre trois et plus, il est toujours nécessaire que les coefficients soient positifs, mais cela n’est pas suffisant. Le critère de Routh permet de vérifier la stabilité d’un polynôme sans en calculer les racines! En effet, considérons le polynôme caractéristique d’un systèeme quelconque : Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXVII) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXVIII) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXIX) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXX) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Position actuelle de la cuillère Position désirée de la cuillère Conception de contrôleur (XXXI) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Exemple Reprenons l’exemple du bras articulé ISAC: En boucle fermée en prenant K=1: Rubbertuator Contrôleur Position actuelle de la cuillère Y(s) R(s) Position désirée de la cuillère Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXXII) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Exemple La table de Routh-Hurwitz est donnée ci-dessous: Conclusion: Avec un gain K=1, le système est stable puisqu’il n’y a aucun changement(s) de signe dans la première colonne de la table de Routh-Hurwitz. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXXIII) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Exemple Maintenant, en boucle fermée en prenant K=1500: La table de Routh-Hurwitz: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Conception de contrôleur (XXXIV) Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie) Exemple La table de Routh-Hurwitz contient deux changements de signes, donc 2 pôles sont situés dans le demi-plan droit du plan complexe et cause l’instabilité du système. En effet, les pôles sont: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Références [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] Kara, A., Kawamura, K., Bagchi, S., and El-Gamal, M. Reflex Cibtrik if a Robotic Aid System to Assist the Physically Disabled. IEEE Control System, June 1992, pp71-77. Jean-Philippe Roberge - Février 2011