E. A NTERRIEU (OMP-LAT 2 ) 14, avenue Edouard Belin T OULOUSE - F RANCE Atelier «Imagerie Multidimensionnelle & Observatoire Virtuel» Observatoire de Nice - 23/24 Octobre 2006 La mission SMOS de l'ESA: de la radioastronomie à la télédétection spatiale et chemin inverse

2 Télédétection par Imagerie à Synthèse dOuverture PLAN Modélisation de linstrument Grilles déchantillonnage Problème inverse Simulations numériques Le projet SMOS e esa 2 nd opportunity mission

3 Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples dantennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple dantennes. Modélisation de linstrument La synthèse douverture i LO 0 T 0 T b o u =u = g

4 Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples dantennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple dantennes. Modélisation de linstrument La synthèse douverture LO 0 T 0 T b o u =u =

5 Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples dantennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple dantennes. synthèse... Modélisation de linstrument La synthèse douverture n d² 4 d n n 3 d

6 Modélisation de linstrument Équation de base F : gain des antennes r : fringe washing V : visibilités T : température ~ - 2j u kl · e d V kl || || 2 1 * F k ( ) F l ( ) 1 - || || 2 T( ) r kl ( - ) u kl · fofo ~ 1 k l 2 1 O y x z k l b kl o u kl =

7 n = 3n = 3 n = 23 Modélisation de linstrument Équation de base r(t) 1, rend compte des effets de décorrélation spatiale : - 2j u kl · e d V kl || || 2 1 * F k ( ) F l ( ) 1 - || || 2 T( ) r kl ( - ) u kl · fofo ~ 1 k l 2 1 O y x z k l b kl o u kl = ~ t = (u · ) / f o [nsec] r( t )r( t ) ~ antennes par bras

8 Modélisation de linstrument Opérateur de modélisation G : opérateur de modélisation V : visibilités T : température - 2j u kl · e d V kl || || 2 1 * F k ( ) F l ( ) 1 - || || 2 T( ) r kl ( - ) u kl · fofo ~ 1 k l V kl = (G T) kl 2 1 O y x z k l b kl o u kl =

9 Modélisation de linstrument Données et inconnues V kl = (G T) kl H 36 fréquences 10 antennes 45 visibilités 256 pixels - 2j u kl · e d V kl || || 2 1 * F k ( ) F l ( ) 1 - || || 2 T( ) r kl ( - ) u kl · fofo ~ 1 k l

10 Modélisation de linstrument Données et inconnues V kl = (G T) kl H 36 fréquences 10 antennes 45 visibilités 256 pixels - 2j u kl · e d V kl || || 2 1 * F k ( ) F l ( ) 1 - || || 2 T( ) r kl ( - ) u kl · fofo ~ 1 k l

11 Modélisation de linstrument Gains des antennes F(, ) = D(, ) e j (, ) 2 o (, ) = [ L x sin + L zx ( 1 - cos )]cos 2 + [ L y sin + L zy ( 1 - cos )]sin 2 D(, ) = D o cos 2n cos 2 + cos 2m sin 2 D(, ) (, ) 2 o

12 Modélisation de linstrument Filtres des récepteurs j[ + 2 (f - f )] e H ( f ) = rect [ ] f f - f f 2 f f f - f /2f + f /2 1 f, f -2j f t r kl (t) = H k ( f-f o ) H l (f-f o ) e df - + * ~

13 Modélisation de linstrument Cette modélisation est celle du démonstrateur MIRAS (10+1 antennes, f o = GHz, d = o ) construit par ASTRIUM pour le compte de lESA. Il a été testé avec avec succès sur le site de lINRA à Avignon et a volé à bord dun Hercule C130 de la Royal Danish Air Force. La modélisation de SMOS (69 antennes et récepteurs) nest pas encore arrêtée… Le démonstrateur MIRAS

14 Modélisation de linstrument …des problèmes à résoudre comparables à ceux de linterféromètre ALMA, mais avec les contraintes du spatial en plus: antennes, récepteurs, corrélateurs…! Linterféromètre ALMA

15 Modélisation de linstrument SMOS ALMA nombre dantennes fréquence longueur donde diamètre des antennes largeur du lobe primaire distance minimale champ synthétisé distance maximale résolution angulaire GHz 21.2 cm 18.5 cm 70° 18.5 cm (1000 Km) 82° 6.75 m (50 Km) 3° à 950 GHz 1 cm à 300µm 12 m 3 à 8 15 m 2 à m à 18 Km 12 à 0.5 (compact) 0.13 à 0.01 (extended) (Al W OOTTEN )

16 Modélisation de linstrument G n est pas une transformée de F OURIER =++ V = G TV = G T T = U T ^ =++ 75% ||V||² 0.1% ||V||² 21% ||V||² 78% ||T||² 20% ||T||² 2% ||T||² 78% ||T||² ^ 20% ||T||² ^ 2% ||T||² ^ T = K 100 K 185 K 300 K

17 Grilles déchantillonnage Domaine de F OURIER Instrument u = d / o u (1) u (2) d H

18 Grilles déchantillonnage Domaine de F OURIER Instrument u = d / o u (1) u (2) d

19 Grilles déchantillonnage Domaine de F OURIER Instrument u U (1) = n u (1) U (2) = n u (2) u d

20 Grilles déchantillonnage Domaine de F OURIER Domaine spatial u = u = 2 / 3 avec u = n u et = n (i) U (j) (i) u (j) i,j

21 Grilles déchantillonnage Quelle structure de données pour un échantillonnage hexagonal ? Domaine de F OURIER U (1) U (2)

22 Grilles déchantillonnage n² pixels sur une grille hexagonale n² pixels sur une grille cartésienne q1q1 q2q2 q2q2 q1q1 q = q mod n Domaine de F OURIER

23 Grilles déchantillonnage Quelle structure de données pour un échantillonnage hexagonal ? Domaine spatial (1) (2)

24 Grilles déchantillonnage n² pixels sur une grille hexagonale n² pixels sur une grille cartésienne p2p2 p1p1 p = p mod n p1p1 p2p2 Domaine spatial

25 p1p1 p2p2 p p q1q1 q2q2 uquq q ^ Grilles déchantillonnage Quel algorithme pour calculer la transformée de F OURIER discrète ? réseaux réciproques: (i) U (j) = (i) u (j) = i,j - 2 j p u q e p p q = ^ p q n - 2 j e p p q = ^ p = p 1 (1) + p 2 (2) Domaine spatial Domaine de F OURIER u q = q 1 u (1) + q 2 u (2)

26 p1p1 p2p2 p p q1q1 q2q2 uquq q ^ Grilles déchantillonnage Quel algorithme pour calculer la transformée de F OURIER discrète ? FFT p q n - 2 j e p p q = ^ p2p2 p1p1 p = p mod n q2q2 q1q1 q = q mod n Domaine spatial Domaine de F OURIER p q n - 2 j e p p q = ^

27 p1p1 p2p2 p p Grilles déchantillonnage Interpolation Les fonctions échelles translatées e p ( ) forment un ensemble de fonctions orthogonales centrées sur le pixel p : e p ( ) = e 0 ( - p ) avec p = p 1 (1) + p 2 (2) Toute fonction se décompose alors naturellement dans cette base : e 0 ( ) joue donc le rôle dune fonction dinterpolation. p ( ) = p e p ( )

28 Grilles déchantillonnage Interpolation fonction échelle cartésienne sinc 2 sinc 1 e 0 ( ) = 1 2

29 Grilles déchantillonnage Interpolation fonction échelle hexagonale sin sinc sin sinc sinc sinc e 0 ( ) =

30 Grilles déchantillonnage Interpolation Les cartes de températures reconstruites dans le repère Oxyz attaché à linterféromètre (cosinus directeurs: 1 = sin cos et 2 = sin sin ) sur une grille déchantillonnage hexagonale devront être projetées à la surface de la Terre. 2 1 O y x z

31 d Grilles déchantillonnage Apodisation En raison de lextension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut sattendre à observer des oscillations (phénomène de G IBBS ) dans les cartes de températures reconstruites. = 3 2 d o

32 Grilles déchantillonnage Apodisation En raison de lextension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut sattendre à observer des oscillations (phénomène de G IBBS ) dans les cartes de températures reconstruites.

33 Grilles déchantillonnage Apodisation En raison de lextension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut sattendre à observer des oscillations (phénomène de G IBBS ) dans les cartes de températures reconstruites.

34 Grilles déchantillonnage Apodisation Des facteurs de mérite caractérisent les performances des différentes réponses impulsionnelles apodisées en termes de résolution spatiale et de sensibilité radiométrique.

35 Grilles déchantillonnage Apodisation La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille déchantillonnage hexagonale dans le repère attaché à linterféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre… 2 1 O y x z

36 Grilles déchantillonnage Apodisation La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille déchantillonnage hexagonale dans le repère attaché à linterféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre… 2 1 O y x z

37 Grilles déchantillonnage Apodisation La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille déchantillonnage hexagonale dans le repère attaché à linterféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre… …un problème semblable à celui du HST avant COSTAR!

38 Problème inverse G n est pas une transformée de F OURIER V kl = (G T) kl nombre de données < nombre dinconnues - 2j u kl · e d V kl || || 2 1 * F k ( ) F l ( ) 1 - || || 2 T( ) r kl ( - ) u kl · fofo ~ 1 k l

39 Problème inverse Quest ce quun problème mal posé? J. H ADAMARD (1902), R. C OURANT (1962): A problem satisfying the requirements of existence, uniqueness, and continuity is said to be well-posed. Comment régulariser un problème? Le principe général des méthodes de régularisation est dintroduire de linformation a priori pour compenser la perte dinformation dans le processus dimagerie. Quest ce quun problème inverse? T G T = V problème direct problème inverse T = G -1 V V

40 Problème inverse G * G est singulière T R n 2 min || V - G T || 2 G * G T = G * V T r = G + V with G + = ( G * G ) -1 G * valeurs propres de G * G moindres-carrés

41 Problème inverse est le paramètre de régularisation de L AGRANGE T r = G + V avec G + = ( G * G + I ) -1 G * T R n 2 min || V - G T || 2 + || T || 2 R valeurs propres de G * G + I régularisation de T IKHONOV ( G * G + I ) T = G * V

42 Problème inverse m joue le rôle dun paramètre de régularisation valeurs singulières de G min || T || 2 T R n 2 V = G TV = G T T r = G + V with G + = v i u i G = i u i v i (SVD) i 1 T i 1 T i 1 T r = G + V with G + = v i u i G m = i u i v i (TSVD) mm m 1 i m i m i 1 TT G * ( GG * ) norme minimale

43 Problème inverse P H = U * Z Z * U joue le rôle dun paramètre de régularisation valeurs singulières de A T R n 2 ( I - P H ) T = 0 min || V - G T || A * A T H = A * V with A = G U * Z ^ T r = U * Z A + V with A + = ( A * A ) -1 A * bande-passante limitée

44 Problème inverse || V - G T r || || T r || = m= A+A+ G+G+ m G+G+ Choix du paramètre de régularisation

45 Problème inverse Propagation des erreurs aléatoires Lopérateur de reconstruction R + reliant les visibilités V à la carte de température reconstruite T r peut ici inclure des post-traitements (apodisation, …). ! || R + || f croit avec N v. || V || || T r || E[ || T r || 2 ] || T r || E[ || V || 2 ] || V || || R + || f N v =

46 Problème inverse Propagation des erreurs aléatoires Des artefacts de reconstruction dans T r peuvent être identifiés, du point de vue qualitatif et quantitatif, au cours dune analyse derreurs complète impliquant les vecteurs singuliers T k de lopérateur R (en particulier ceux associés aux plus petites valeurs singulières). T r = ( T k | T r ) T k k

47 SVDTSVD INV Problème inverse Mise en œuvre numérique CALL A(T,V) V = A.T CALL G(T,V) V = G.T CALL A(T,V) V = A.T CALL G(T,V) V = G.T A*AA*AG*GG*G AG bande limitéeT IKHONOV / norme minimale

48 Problème inverse En résumé... Tr = U*W Z A+ VTr = U*W Z A+ V A + = (A * A) -1 A * avec A = G U * Z Tr = U*W U G+ VTr = U*W U G+ V G + = (G * G + I) -1 G * avec R Tr = U*W U G+ VTr = U*W U G+ V m G + = v i u i avec m 1 T i=mi=m NvNv i 1 m T R n 2 ( I - P H ) T = 0 min || V - G T || 2 T R n 2 min || V - G T || 2 + || T || 2 min || T || 2 T R n 2 V = G TV = G T T IKHONOV norme minimalebande limitée (G * G + I) T = G * V A*A TH = G* VA*A TH = G* V ^

49 Problème inverse Avantages et inconvénients... bande limitée T IKHONOV norme minimale paramètre de régularisation nombre dinconnues stabilité de linversion complexité de linversion apodisationresampling

50 Simulations numériques carte de température originale, à son plus haut niveau de résolution (utilisée pour simuler les visibilitiés complexes) carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument

51 Simulations numériques diagrammes des antennes filtres des récepteurs carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument norme minimale T = K o bande limitée T = K o F OURIER T = 10 K o SMOS ALMA

52 Simulations numériques carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument norme minimale T = K o bande limitée T = K o T est une erreur systématique o

53 Simulations numériques carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument norme minimale T = K o bande limitée T = K o

54 Simulations numériques carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument norme minimale T = K o bande limitée T = K o 0 T [K] size of the discontinuity [K]fraction of the energy in H [%]

55 Simulations numériques carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument norme minimale T = K bande limitée T = K ( T )² - ( T )² = K o ( T )² - ( T )² = K o 23.3 K/K 0.54 K/K V = 0.08 K

56 Simulations numériques carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument norme minimale T = K bande limitée T = K V = 0.08 K 10,000 tirages V [0, 0.08 K]

57 Simulations numériques carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument norme minimale T = K bande limitée T = K V = 0.08 K valeurs singulières de A valeurs singulières de G norme minimale T = K

58 Simulations numériques carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument bande limitée T = K V = 0.08 K norme minimale T = K 10,000 tirages V [0, 0.08 K]

59 Modélisation de linstrument Équation de base Opérateur de modélisation G j u kl · e d || || 2 1 * F k ( ) F l ( ) 1 - || || 2 T( ) r kl ( - ) u kl · fofo ~ V kl = (G T) kl

60 Modélisation de linstrument Équation de base ½ est la matrice 4 4 des gains co-polaires (R X et R Y ) et cross- polaires (C X et C Y ) associés aux ports X et Y des antennes: * R k C lR k C l XX * C k R lC k R l XX * C k R lC k R l YY * C k R lC k R l YY - - j( * R k R lR k R l XX * C kC lC kC l YY * R k C lR k C l YX * C k R lC k R l XY * C k R lC k R l XY * R k C lR k C l YX + - ) * C kC lC kC l XX * R k R lR k R l YY * R k C lR k C l XY * C k R lC k R l YX * R k C lR k C l XY * C k R lC k R l YX + - ) ) ) * R k C lR k C l XX * C k R lC k R l XX * R k C lR k C l YY * C k R lC k R l YY * R k R lR k R l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l YX * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX () () ( ( () () * R k R lR k R l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l YX * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX () () 1212 j2j j2j j2j2 j2j2 || || 2 1 u kl · fofo ~ V kl (2) (3) (4) (1) T ( ) (2) (3) (4) (1) - 2j u kl · e d r kl ( - ) 1 - || || 2 ½ ( ) kl kl

61 Modélisation de linstrument Gains des antennes ½ est la matrice 4 4 des gains co-polaires (R X et R Y ) et cross- polaires (C X et C Y ) associés aux ports X et Y des antennes: * R k C lR k C l XX * C k R lC k R l XX * C k R lC k R l YY * C k R lC k R l YY - - j( * R k R lR k R l XX * C kC lC kC l YY * R k C lR k C l YX * C k R lC k R l XY * C k R lC k R l XY * R k C lR k C l YX + - ) * C kC lC kC l XX * R k R lR k R l YY * R k C lR k C l XY * C k R lC k R l YX * R k C lR k C l XY * C k R lC k R l YX + - ) ) ) * R k C lR k C l XX * C k R lC k R l XX * R k C lR k C l YY * C k R lC k R l YY * R k R lR k R l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l YX * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX () () ( ( () () * R k R lR k R l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX * C k C lC k C l XY * R k R lR k R l YX * R k R lR k R l XY * C k C lC k C l YX () () 1212 j2j j2j j2j2 j2j2 kl C YC Y C XC X RYRY RXRX

62 Modélisation de linstrument Opérateur de modélisation G C YC Y C XC X RYRY RXRX

63 Modélisation de linstrument Opérateur de modélisation G C YC Y C XC X RYRY RXRX

64 Simulations numériques G ( - 25 dB) complète T = 0.55 K o T = 0.50 K o T = 0.05 K o T = 0.30 K o T = 0.65 K o T = 0.67 K o T = 0.06 K o T = 0.40 K o bande-limitée norme minimale cartes de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument

65 Simulations numériques G ( - 25 dB) bloc-diagonale cartes de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument bande-limitée norme minimale T = 0.99 K o T = 1.26 K o T = 0.86 K o T = 2.92 K o T = 0.99 K o T = 1.26 K o T = 0.86 K o T = 2.94 K o

66 Simulations numériques G ( - 10 dB) complète cartes de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument bande-limitée norme minimale T = 0.95 K o T = 0.50 K o T = 0.10 K o T = 0.64 K o T = 1.07 K o T = 0.75 K o T = 0.12 K o T = 1.26 K o

67 Simulations numériques G ( - 10 dB) bloc-diagonale cartes de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de linstrument bande-limitée norme minimale T = 13.2 K o T = 11.9 K o T = 2.65 K o T = 20.4 K o T = 13.0 K o T = 11.7 K o T = 2.65 K o T = 19.9 K o

68 Conclusion problématique identique aux préoccupations de la synthèse douverture en astronomie (ALMA) ; formulation du problème indépendante de la méthode numérique dinversion/résolution; régularisation du problème et sa solution unique ont une signification physique; nombre dinconnues réduit au strict minimum; propagation des erreurs sous contrôle et artefacts de reconstruction identifiables; méthode numérique dinversion/résolution choisie parmi les plus récentes/performantes; traitement temps réel (différé) et reconstruction simultanée de plusieurs scènes possibles.