Optimisation du coût des lignes de transfert reconfigurables – approche par programmation linéaire – Antoneta Iuliana BRATCU – stagiaire post-doc sous la direction d’Alexandre DOLGUI – Présentation G2I / 26.05.2005 – 1 / 15

Sommaire  Positionnement du sujet  Description du problème – notations  Agrégation des contraintes. Formulation comme programme linéaire  Pré-traitement : réduction du modèle, bornes  Discussion sur un exemple  Conclusion et perspectives Présentation G2I / 26.05.2005 – 2 / 15

 Positionnement du sujet Lignes de transfert… plusieurs stations en série exécution sérielle des blocs dans chaque station tête d’outil multifonctionnel : bloc – exécution parallèle des opérations  utilisées dans l’usinage (production de masse)  grande productivité  investissements importants l’optimisation initiale est justifiée … mais la ligne manque de flexibilité … reconfigurables : concevoir dès début la ligne de sorte à minimiser son coût pour toute une famille de produits Présentation G2I / 26.05.2005 – 3 / 15

?  Description du problème – notations La ligne doit usiner : sous les contraintes… Ni – opérations Gi – graphe de précédence Tci – temps de cycle … d’inclusion – p produits – pour chaque i=1,2…p … de précédence – Dori … de temps avec un ensemble de blocs (têtes d’outils) connu : Cbr – coût tbr – temps opératoire B – pour chaque r=1,2…| B | … d’exclusion – Dbs Cs0 – coût (fixe) d’une nouvelle station m0 – nombre maximal de stations n0 – nombre maximal de blocs par station en sachant en plus : Combien de stations, y et quelle affectation des blocs aux stations, xrk = faut-il avoir afin de minimiser le coût total de la ligne : Cs0·y + ·xrk ? Présentation G2I / 26.05.2005 – 4 / 15

 Agrégation des contraintes  agrégation des contraintes de précédence – superposition des p graphes de précédence individuels, Gi  graphe G’ – puisqu’il peut y avoir des précédences contraires dans les différents Gi, G’ peut contenir des circuits, – … alors le sens stricte de la notion de précédence doit être relâché – … et les nœuds de chaque tel circuit sont agglutinés pour former une seule macro-opération  G orienté acyclique  agrégation des contraintes d’inclusion – chaque élément de chaque qui contient seulement des parties d’une macro-opération est étendu avec les opérations manquantes – les ensembles ayant des intersections non vides sont réunis  agrégation des contraintes d’exclusion – les blocs qui ne peuvent exécuter que des parties de macro-opérations sont éliminés,… – … donc les éléments de Dbs qui les contiennent seront aussi éliminés Dbs Présentation G2I / 26.05.2005 – 5 / 15

 Formulation comme programme linéaire. Paramètres additionnels bornes m* – une borne inférieure du nombre de stations – pour chaque bloc r, l’intervalle K(r) = [head(r), tail(r)], head(r) est la station la plus tôt tail(r) est la station la plus tard où le bloc r peut être assigné La famille Fs = {F1,…Fv} de paires de blocs ayant des opérations communes  Fs est un sous-ensemble de blocs alternatifs (seulement un bloc de chaque paire de Fs peut être utilisé dans une décision) F0 = B\ – l’ensemble de blocs qui sûrement apparaissent dans une décision M(r) – les opérations prédécesseurs des opérations de Br, qui n’appartiennent pas à Br DtDos – pour chaque bloc r bloc Br wrt=|BrDt| H(r) = {BtB | BtM(r)≠} Wt = {BrB | wrt>0} H={BrB | M(r)} Ut = {BrB | itBr}, avec it une opération fixée de l’ensemble DtDos Br  H BtH(r) htr=|BtM(r)| R* – une borne supérieure de l’ensemble des blocs à affecter à la dernière station Présentation G2I / 26.05.2005 – 6 / 15

 Formulation comme programme linéaire Minimiser Cs0·y + ·xrk sous les contraintes :  exécution de chaque opération de l’ensemble agrégé, N, dans une seule station, aussi bien par des blocs qui n’ont pas d’intersections (de F0), que par les autres blocs (de Fs)   exécution de toutes les opérations de N  respect des contraintes de précédence agrégées (décrites par le graphe de précédence « total », G)  respect des contraintes d’inclusion agrégées, Dos  respect des contraintes d’exclusion agrégées, Dbs  contrainte du nombre maximal de blocs par station  y  kxrk, rR*, kK(r), km* contrainte sur le nombre de stations  respect des temps de cycle de tous les produits Présentation G2I / 26.05.2005 – 7 / 15

 Pré-traitement : réduction du modèle … portant sur l’ensemble de blocs, après l’agrégation des contraintes et l’élimination des blocs ne pouvant exécuter que des parties de macro-opérations 1. Identifier les « circuits » de blocs a). u v B w i j B x q s B z i B r j k l B t k l B y a) b) « Briser » chaque tel circuit en éliminant le plus coûteux bloc de par son coût par opération. 2. En particulier, si 2 blocs forment une « boucle » b), alors ils seront traités comme des blocs alternatifs. 3. Éliminer tout bloc pour lequel il n’existe pas un sous-ensemble de blocs B’, tel que : – les opérations de B’ donnent l’ensemble total, N, – |B’|  m0n0, – tous les blocs de B’ sont mutuellement disjoints. Présentation G2I / 26.05.2005 – 8 / 15

décrit dans un travail antérieur  Pré-traitement : calcul des bornes  Calcul de K(r), pour chaque bloc r. graphe de précédence agrégé, G algorithme A décrit dans un travail antérieur a) contraintes d’inclusion agrégées, Dos q–(i), i=1,2,…|N| matrice des distances d(i,j) = graphe inversé, Ginv algorithme A b) Dos q+(i), i=1,2,…|N| matrice d c) k+/–(i) = [q+/–(i)/n0], i=1,2,…|N| head(r) = max{k–(i) | i  Br} tail(r) = min{k+(i) | i  Br} d)  Calcul de m* : m* = max{k–(i)| i  N}  Calcul de R*. a) tail_max  max{tail(r)| Br  B}. b) Notons par head_min le minimum des heads des blocs ayant le tail égal à tail_max. c) R* est formé des blocs qui ont le tail strictement supérieur à head_min. Présentation G2I / 26.05.2005 – 9 / 15

 Un exemple de petite taille – données d’entrée  p = 3 produits N1={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, |N1|=10 N2={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, |N2|=12 N3={1,2,5,7,8,9,10,11,12,13}, |N3|=10 |N|=13    contraintes de précédence 1 6 3 4 2 8 9 5 10 11 G 7 12 1 6 3 2 7 8 4 9 10 5 G 1 13 5 12 8 2 9 10 11 G 3 7  contraintes d’inclusion Présentation G2I / 26.05.2005 – 10 / 15

 Un exemple de petite taille – données d’entrée  les blocs Bloc r Opérations Temps opératoire, tbr [u.t.] Coût, Cbr [u.m.] B1 {1,3,6,13} 9 250 B2 {1,3,13} 8 170 B3 {1,2,7,8} 6 281 B4 {2,5,9} 10 150 B5 {2,5,7,8,11} 275 B6 {2,6,9,10} 11 230 B7 {4,6,8,10} 13 211 B8 {4,7,8} 160 B9 {4,7,8,9} 215 B10 {5,12,13} 158 B11 {10,11,12,13} 12 B12 {2,5,10,11,12} 260         contraintes d’exclusion  les temps de cycle : Tc1=23 u.t. Tc2=25 u.t. Tc3=21 u.t. Présentation G2I / 26.05.2005 – 11 / 15

 Un exemple de petite taille – pré-traitement  le graphe de précédence agrégé 1 6 9 4 3 8 7 a = {2,5} b = {10,11,12} G 13  … l’ensemble de blocs Bloc r Opérations tbr [u.t.] Cbr [u.m.] B1 {1,3,6,13} 9 250 B2 {1,3,13} 8 170 B3 {1,2,7,8} 6 281 B4 {2,5,9} 10 150 B5 {2,5,7,8,11} 275 B6 {2,6,9,10} 11 230 B7 {4,6,8,10} 13 211 B8 {4,7,8} 160 B9 {4,7,8,9} 215 B10 {5,12,13} 158 B11 {10,11,12,13} 12 B12 {2,5,10,11,12} 260  2 macro-opérations  … « circuits » de blocs a 6 B 1 3 13 B 2 9 B 9 4 7 8 B 8 a 9 B b B 12 13 b B 11  … les contraintes d’inclusion  b  … les contraintes d’exclusion a b Présentation G2I / 26.05.2005 – 12 / 15

 Un exemple de petite taille – bornes… Bloc head tail m* R* B1 1 4 2 {1,2,3,4,5,6} B2 5 B4 B8 B9 B12 t  … optimisation Fs={{B1,B2}, {B4,B12}, {B4,B9}, {B8,B9}} F0= R={1, 2, 4, 8, 9, 12} |Dospt|=nic=3 H={B4, B8, B9, B12} wrt, r  R, t=1,2,…nic=3 M(r) H(r) htr, r  R, t  R W1={B1,B2} W2={B8,B9} W3={B4,B12} B1 B2 B4 B8 B9 B12 2  1 {4,7,8} {B8,B9} 3 {3,6,13} {B1,B2} {4} r t 2 Station 1 ts =9, Cs =600 2 Station 2 ts =21, Cs =825 B 1 { 1, 13, 3, 6 } tb =9 Cb =250 B 9 { 4, 7, 8, 9 } tb =10 Cb =215 B 12 { b , a } tb =11 Cb =26 solution optimale Présentation G2I / 26.05.2005 – 13 / 15

 Conclusions…  … à faire  … perspectives  lignes de transfert : investissement initial important  – optimisation dans la phase initiale de conception justifiée… – … encore plus dans le cas d’une famille de produits, assurant la reconfigurabilité à moindres frais  conception des lignes de transfert reconfigurables : agrégation des contraintes  … à faire  amélioration des bornes  tests numériques plus amples  couplage avec des heuristiques  … perspectives  reformuler le problème en tenant compte des coûts de fonctionnement Présentation G2I / 26.05.2005 – 14 / 15

Merci de votre attention ! Présentation G2I / 26.05.2005 – 15 / 15